小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)命題的思維導(dǎo)向

范艷華

【摘要】小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)測試是對學(xué)生六年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個綜合性測試，作為畢業(yè)測試卷的命題人員，既要關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況，也要關(guān)注學(xué)生對于基本數(shù)學(xué)思想的習(xí)得情況。同時，一份好的數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷，應(yīng)該具有明確的思維導(dǎo)向，給小學(xué)數(shù)學(xué)教師平時的教學(xué)提供關(guān)于學(xué)生思維培養(yǎng)的目標指引。筆者從教研員的視角，選取了小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試題中一些較為典型的題例，給出有關(guān)小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)命題中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面的導(dǎo)向的一些建議。

【關(guān)鍵詞】畢業(yè)測試 推理 變與不變 動態(tài)思維 導(dǎo)向

小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)測試是對學(xué)生六年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個綜合性測試，通過測試可以讓學(xué)生評價自身在六年的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中是否能獨立、綜合地運用所學(xué)數(shù)學(xué)知識深入分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力。通過檢測可以讓教師看到作為教者在自身的六年教學(xué)中給學(xué)生留下了什么，是否真正促進了學(xué)生思維的發(fā)展。因此，作為畢業(yè)測試卷的命題人員，既要關(guān)注學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能的掌握情況，也要關(guān)注學(xué)生對于基本數(shù)學(xué)思想的習(xí)得情況。一份好的數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷，應(yīng)該具有明確的思維導(dǎo)向，給小學(xué)數(shù)學(xué)教師平時的教學(xué)提供關(guān)于學(xué)生思維培養(yǎng)的目標指引。筆者從教研員的視角，選取了近幾年所在區(qū)域蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試題中一些較為典型的綜合性較強的題例，分析其在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維方面的導(dǎo)向作用。

一、由此及彼，學(xué)會推理

推理一般分為演繹推理與合情推理，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的推理是合情推理，演繹推理可以根據(jù)學(xué)生的實際思維水平進行適當?shù)臐B透，因為當學(xué)生升入初中以后，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)將以演繹推理為主。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，無論是合情推理還是演繹推理，都是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的重要方式。在小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷中可以適當設(shè)計一些簡單的推理題，讓學(xué)生調(diào)用已有的知識和經(jīng)驗進行推理，但是對學(xué)生推理過程的表述則不作要求。

例1：（如圖1）從一張等腰梯形紙的一個角上，沿梯形的一條高折去一個三角形。已知梯形高3cm，下底長10cm，陰影部分的面積是（ ）cm2，原梯形的面積是（ ）cm2。

例1中，一個等腰梯形的底角是45，當梯形的一個底角沿著高向內(nèi)翻折，由三角形的內(nèi)角和知識，得出折角的陰影部分為一個等腰直角三角形，從而推理得出這個等腰三角形的兩條直角邊長度等于梯形的高3cm。進而推理得出陰影部分三角形的面積為3×3÷2=4.5（cm2），原梯形的面積為陰影部分面積的2倍加上空白部分平行四邊形的面積：4.5×2+（10-6）×3=21（cm2）;或者通過邊與邊之間的關(guān)系推理得出梯形的上底為4cm，因此梯形的面積為：（4+10）×3÷2=21（cm2）。

這道題給學(xué)生帶來的思維導(dǎo)向是：要抓住題中已知的關(guān)鍵信息，分析其與所求問題之間的關(guān)系。特別是根據(jù)題中等腰梯形底角為45°推理出陰影部分是個等腰直角三角形。這一步是推理出陰影部分面積和原梯形面積的關(guān)鍵思維點。同時，這道題給教師平時教學(xué)帶來的思維導(dǎo)向是：教師可以經(jīng)常在數(shù)學(xué)問題中設(shè)置一些間接條件，讓學(xué)生學(xué)會“順藤摸瓜”、由此及彼的簡單推理，從而提高學(xué)生的邏輯思維能力。

二、緊扣本質(zhì)，在“變”中尋求“不變”

“變與不變”是一種重要的數(shù)學(xué)思想。數(shù)學(xué)問題情境中已知信息可以順著一定的線索進行變化，如果只看到題中“變化”的量而找不到“不變”的量，常常會找不到解決問題的突破口。因此抓住數(shù)學(xué)信息中的不變量進行分析，是解決數(shù)學(xué)問題常用的思考方法。

例2：沙漏也叫做沙鐘，是古時候一種計量時間的裝置。可以根據(jù)所計時間的長短設(shè)定不同的計時沙漏。現(xiàn)將一沙漏倒置，過了幾分鐘發(fā)現(xiàn)漏下的占未漏下的[18]，又過了13分鐘后，漏下的占未漏下的[23]，請問：這是一個（ ）分鐘沙漏。

例2中，已知信息是沙漏在不同的時間漏下的占未漏下量的分率，以及涉及時間的“又過了13分鐘”這個信息。而就這些信息表面很難推理出這是一個幾分鐘沙漏，必須找到這兩個分率與“13分鐘”的關(guān)系。通過分析，可以知道：雖然沙子不停地往下漏，但是“沙漏中上下兩部分沙子的總量”是不變的，這就找到了解決問題的突破口。由第一時段“漏下的占未漏下的[18]”可推理出，漏下的占沙子總量的[19]，由“又過了13分鐘后，漏下的占未漏下的[23]”可推理出，13分鐘后，漏下的占沙子總量的[25]。這樣就可以通過兩個時段漏下沙子的差占總數(shù)的“[25] - [19]=[1345]”，得出這是一個45分鐘的沙漏。

例2的命題者根據(jù)沙漏的特點，即容器上下兩部分加起來的沙子總數(shù)是不變的，再結(jié)合分數(shù)實際應(yīng)用設(shè)計了這道題。這道題給平時的教學(xué)帶來的思維導(dǎo)向是：教師要善于設(shè)計變化的數(shù)學(xué)問題情境，并且在“變化”中蘊設(shè)一個“不變”的量，讓學(xué)生在變化中尋找出“不變”的量，分析和建立數(shù)量間的相等關(guān)系，找到解決問題的“突破口”和”“巧妙路徑”，從而促進學(xué)生對于“變與不變”數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用。

三、沖破定式，打開新的思維路徑

小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，有時由于知識應(yīng)用的單一性，常常會形成一些思維定式。即當條件的呈現(xiàn)方式發(fā)生變化時，不會變通思考，在固有的思維圈子里不知所從。如關(guān)于如何求圓的面積，學(xué)生固有的思維是：要求圓的面積，必須知道圓的半徑，然后用S=πr2求出圓的面積。然而對于已知r2的題，學(xué)生則不會變通，鉆在固有的思維里走不出來。

例3：（如圖2）已知正方形的面積是16平方厘米，求圓的面積。因為16這個平方數(shù)學(xué)生會用湊數(shù)的方法進行開方，得到圓的半徑是4厘米，所以圓的面積可以求出。但是，如果換成正方形的面積是8平方厘米，那多數(shù)學(xué)生就會覺得無所適從，因為沒法得到圓的半徑。在這里學(xué)生往往不會直接根據(jù)r2求出圓的面積來。

例4：（如圖3）已知圓的面積是64平方厘米，求圓的面積。學(xué)生如果沒有打破思維定式，即如果已知半徑的平方（即以圓的半徑為邊長構(gòu)成的正方形的面積），就能直接求出圓的面積，那么這道題更加讓學(xué)生無所適從。如果學(xué)生打破了這個思維定式，那就會想辦法去構(gòu)造以半徑為邊長的正方形，就會想到把這個正方形以它的內(nèi)切圓圓心為中心點平分為四個小正方形（如圖4），每個正方形的面積為：64÷4=16（平方厘米），即r2=16，從而得到圓的面積為16π平方厘米。

上面的例3、例4中，之所以學(xué)生走不出固有的思維定式，要求圓的面積，必須要知道圓的半徑，究其原因其實也是教師在平時教學(xué)這部分內(nèi)容時一直是按照這個方法引導(dǎo)的，并且在所涉及這部分內(nèi)容的練習(xí)中也沒有出現(xiàn)過已知r2求圓的面積的變式題。

因此，這道題給教師平時教學(xué)帶來的思維導(dǎo)向是：要善于進行變式，防止學(xué)生形成僵化的思維定式。同時教師在教學(xué)中要善于打通知識的界限，讓學(xué)生學(xué)會用聯(lián)系的眼光分析數(shù)學(xué)問題。比如例3、例4兩題中，就是引導(dǎo)學(xué)生將正方形和圓聯(lián)系起來，找出圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系，從而靈活地解決數(shù)學(xué)問題。

四、滲透動態(tài)思維，在“動”中尋找規(guī)律

在小學(xué)六年數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，除了圖形的變換初步知識中關(guān)于圖形的軸對稱、旋轉(zhuǎn)平移的內(nèi)容，其他一般都是對靜止狀態(tài)下的數(shù)學(xué)問題的思維，很少涉及對動態(tài)數(shù)學(xué)問題的思維。但是學(xué)生一旦升入初中，在平面幾何與函數(shù)的領(lǐng)域，特別是在一些綜合性的數(shù)學(xué)問題里，經(jīng)常要用到動態(tài)思維。因此，在小學(xué)里適當滲透一些運用動態(tài)思維是非常有必要的，一方面為中學(xué)學(xué)習(xí)做好準備，另一方面也讓學(xué)生嘗試在動中尋找規(guī)律，發(fā)展學(xué)生的思維能力。

例5：（如圖5）直線l1和l2互相平行，三角形ABC的面積是6cm2。（1）如果A點沿直線l1向右移動到A1處，C點沿直線l2向右移動到C1處，三角形A1BC1的面積是9cm2，這時線段BC1∶線段BC=（ ）∶（? ? ）;

（2）如果A點繼續(xù)沿直線l1向右移動到A2處，C點沿直線l2向右移動到C2處，這時線段BC2∶線段BC=4∶1，那么三角形A2BC2的面積是多少平方厘米？

例5這道題之所以用動點的形式呈現(xiàn)，主要是引導(dǎo)學(xué)生通過用動態(tài)的視角和思維來觀察、思考題目，找出題目中所蘊含的規(guī)律：因為平行線之間的距離處處相等，所以像這樣無論點A和點B向右或者向左移動到哪里，在這個移動的過程中AC點的對應(yīng)點與B點所形成的三角形的高始終是不變的，移動后所形成的三角形與原三角形的面積比就是它們的底邊之比。由于問題呈現(xiàn)方式的改變，看似是一個涉及“動點”問題，但是對于小學(xué)六年級的學(xué)生而言卻完全可以“夠得著”。重要的是這樣的題目讓學(xué)生的視域得到了拓展，也使其思維得到了提升。

綜上所述，小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)測試雖然不是選拔性的考試，但是一份好的小學(xué)數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷，可以讓學(xué)生對自己在分析問題時的思維方式、習(xí)得的數(shù)學(xué)思想有一個提煉、應(yīng)用的過程。同時，對于教師而言，一份好的數(shù)學(xué)畢業(yè)試卷，通過分析試題內(nèi)容以及學(xué)生的答卷情況，定將會對自己之前的數(shù)學(xué)教學(xué)進行深入的反思，也會給未來的數(shù)學(xué)教學(xué)帶來更加合理的思維導(dǎo)向。

（作者單位：江蘇省無錫市錫山區(qū)教師發(fā)展中心）