整體思想在數列定義教學中的應用

內蒙古自治區赤峰市喀喇沁旗錦山實驗中學 劉月飛

在數列的教學中，很多老師困惑的是對于較復雜的數列表達式，學生對于前后項的書寫有困難，一不小心就容易寫錯，不能深層次地把握數列中項與項之間的變化關系。下面就把我個人在數列定義及等差數列定義（等比數列在此文中不做說明，教學策略類似等差數列）教學中的一點感悟做如下分享。

一、數列定義教學

數列定義：按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫作這個數列的項。數列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數稱為這個數列的第一項（通常也叫首項），排在第二位的數稱為這個數列的第二項，排在第n位的數稱為這個數列的第n項。所以，數列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，簡記為數列{an}。

我們在數列定義教學中除了把以上內容講明白之外，重點是對定義的拓展認知，一般情況下，學生只認識到{an}是數列，而對于如{an+1-an}、{an2+n}、{nan}等組合得到的數列，學生認知度不夠，所以在教學中，我們就要滲透整體思想意識，讓學生自由書寫數列并寫出它的項數變化，例如：

學生A：數列{an+1-an}，首項是a2-a1，第二項是a3-a2，以后依次是a4-a3，…，an+1-an……

學生B:數列{a2n+n}，首項是a21+1，第二項是a22+2，以后依次是a23+3，…，a2n+n……

學生C：數列{nan}，首項是1a1，第二項是2a2，以后依次是3a3，…，nan……

教師可以組織小組討論，讓每一個學生都可以放開思想，任意書寫數列，從而達到真正意義上的理解。如果每一位學生對數列的定義能上升到以上所述的理解，那么對數列定義的認知就會上升到一個新的高度，也進一步提升了學生對數學中換元思想的認知。

例題：設數列{an}滿足a1+3a2+…+（2n-1）an=2n，求{an}的通項公式。

二、等差數列定義教學

等差數列定義：一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫作等差數列。可符號表示為：an+1-an=d（d為常數，n∈N*）。

在等差數列教學的過程中，同樣要對定義進行拓展，讓學生從整體的角度去理解等差數列的定義。

學生A：等差數列{an+1-an}，則有：（an+1-an）-（an-an-1）=d（n≥2，n∈N*，d為常數）。

學生B：等差數列{a2n+n}，則有（a2n+n）-（a2n-1+n-1）=d（n≥2，n∈N*，d為常數）。

學生C：等差數列{nan}，則有（n+1）an+1-nan=d（n∈N*，d為常數）。

這樣讓全班學生完全放開去書寫，并得到相應的等差數列定義式，進一步提升學生的整體換元意識。對于等比數列定義的教學，可以讓學生按等差數列的定義教學去自主研究，小組合作探究，很自然就可以達到目標。

例題：已知{an}是各項均為正數的等差數列，公差為d，對任意的n∈N*，b是an和an+1的等差中項。設cn=a2n+1-b2n，n∈N*，求證：數列{an}是等差數列。

說明：此題就是要證（b2n+1-b2n）-（b2n-b2n-1）=常數（n≥2，n∈N*），學生要有整體意識來認知數列{b2n+1-b2n}（n∈N*）為等差數列。

總之，踐行新課程理念，就是要實現全人的教育，而立德樹人的任務就要在學科內完成。通過數學學習，應該達到培養學生有耐心、細心、有恒心、有毅力的優良品質的目標。那么，高中數學課堂教學評價就要以這個目標達成為核心，不僅關注教師對知識的傳授，更要關注教師如何引領學生解決問題。從關注教師的“教”到關注學生的“學”，這一視角的轉變，為傳統的課堂教學評價注入了全新的內容。對定義的教學一定要關注定義的本質，要明白學生理解的誤區，從而有針對性地進行教學，引領學生耐心地觀察問題，細心地發現問題，有恒心地探索問題，有毅力地解決問題，把新課標理念融入數學課堂教學中。