初中二次函數中幾種常見的解題方法

山東省曹縣第一初級中學 孫 靜

一、二次函數的基本內容

1.表達式

（3）a決定二次函數圖像開口的方向和大小。當a＞0時，開口向上；當a＜0時，開口向下。a的絕對值越大，圖像開口越小，反之越大。

二、二次函數的常見問題

1.最值問題

定義域是閉區間時，二次函數存在最大值和最小值，如果圖像頂點橫坐標在區間內，那么在頂點處與距頂點較遠的端點處各取一個最值（最大值和最小值）；如果不在，那么在區間兩端點處各取一個最值。定義域是開區間時，二次函數只有圖像頂點橫坐標在區間內，才在頂點處取得一個最值，否則最值不存在。

2.三角形問題

該問題主要有兩類，一是拋物線與x軸的兩個交點和與y軸的交點所組成的三角形；二是拋物線與x軸的兩個交點和頂點所組成的三角形。一般在解這樣的問題時，我們都會應用到平面幾何的相關定理，比如等腰三角形三線合一、直角三角形的勾股定理、直角三角形斜邊中線定理和射影定理，然后再結合兩點間的距離公式及二次方程的求根公式、判別式定理、韋達定理等知識進行求解。從數學思想的角度看，一旦需要借助于幾何數學來進行求解，不可避免地會應用到數形結合思想，有時還需要應用分類討論思想和轉化思想。

關于二次函數的解題方法，套用最經典的一句話就是：萬變不離其宗。通過分析上述例題我們發現，只要牢記并靈活運用二次函數的公式和性質，很多問題都很容易解決，即便遇到二次函數與幾何圖形相結合的問題，借助幾何圖形的性質和定理也很容易輕松化解，但對于這類題型，難點在于學生如何能夠將所有情況都考慮到，做到不漏解。