構造函數證明不等式的構造途徑

山東省平邑第一中學 唐共芳

一、不等式兩邊同一變數直接構造法

需要證明的不等式兩邊是同一個變量，一般移項直接構造為一個函數，轉化為利用函數最值解決問題。

二、兩變數所在數學結構相同，兩變數同時看作一個變量的構造法

當不等式中兩變數所在不等式或經過變形處理，使得兩變數所在數學結構相同，并且兩變數有大小區分，可以把兩變數看作一個自變量x構造出一個函數，兩變數相當于函數自變量的兩個瞬間值，利用函數的單調性證明不等式。

例2：已知i，m，n是正整數，且1（1+n）m。

分析：高考標準答案中是運用二項式定理證明的，此題構造函數，利用導數證明更簡單。

三、把某一字母直接看作自變量的構造法

當變數較多或不能變為兩變數所在結構相同時，可以直接把某一個變數或整體看作自變量x來構造函數，利用函數單調性或最值證明不等式。

例3：已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，證明：ab+bc+ca>-1。

分析：已知式子給了三個變量的數值范圍，而且都是關于a，b，c的對稱式，不能轉化為相當于兩個變量結構相同的式子。不妨選取其中一個為主變量，相當于自變量x(一般不用換)，另兩個為參變量，從而轉化為在一個變量的范圍下求函數的范圍。

證明：設f（a）＝ab+bc+ca+1＝（b+c）a+bc+1 (－1

要證ab+bc+ca>-1，只要證明f（a）>0，

當-1

∴只需要證明f（-1）>0且f（1）>0，

而f（1）= b+c+bc+1＝(1+b)( 1+c)，

f (－1)＝－b－c+bc+1＝(1－b)( 1－c)，

∵|b|<1，|c|<1，∴1±b>0，1±c>0，∴f（-1）>0，且f（1）>0，

∴f（a）>0，即ab+bc+ca>-1。

四、觀察題干及其結論，聯想常用函數的構造法

當要證明的不等式的結構讓你聯想到某一函數的結論定理時，不妨直接構造這樣的函數，由條件向結論靠攏。

例4：設a，b，c為實數且4a－4b+c>0，a+2b+c<0，證明：b2>ac。

分析：此題從正面通過綜合法、分析法不好論證，仔細觀察結論b2>ac的結構，極易聯想一元二次方程根的判別式，構造相應的一元二次函數f（x）=ax2+2bx+c。

證明：當a≠0時，設f（x）=ax2+2bx+c，

由4a－4b+c>0，a+2b+c<0得f (－2)>0，f（1）<0。

函數值有正有負，不論二次函數圖像是開口向上還是開口向下，都會與x軸有兩個交點，

故Δ＝b2－4ac>0，即b2>ac。

當a=0時，由已知條件可得4b

∴b<0，∴b2>0，而ac=0，∴b2>ac。

（此題也可以直接把a或c其中一個看作自變量x 來證明）

構造函數法證明不等式簡捷、明快、精巧、清晰，但構造法并不是無章可循，只要勤于觀察、善于聯想、勇于探索、大膽設計，弄清條件的本質特點，找準明確的方向，就能構造所需函數，并且利用函數的性質或定理成功證明不等式。