數學中的曲與直之美
——“曲”“直”轉化解函數中求參問題

東莞市東莞實驗中學 陳德煜

普通高中數學課程標準指出“數學是研究數量關系和空間形式的一門科學。數學源于對現實世界的抽象，通過符號運算、形式推理、模型構建等，理解和表達現實世界中事物的本質、關系和規律”“數學承載著思想和文化，是人類文明的重要組成部分”。數學的美是自然之美的一種反映，是自然科學美的重要組成部分。中學數學課程中隱含著大量的“美育”因素，我們通過發掘數學課程中的美，讓學生發現并感知數學的美，從而喜歡數學。

在高中的函數問題解決中，存在著大量的曲（線）與直（線）之美，即將未知曲線問題轉化為已知曲線與直線問題或簡單未知曲線（可通過導數知識研究其圖像）與直線問題進行求解，既體現了曲與直之美，又體現解題的簡潔之美。

一、曲與直的轉化解決函數中的恒成立（存在性）問題

函數的恒成立（存在性）條件下求參數的取值范圍，一直以來都是高考數學的熱點，幾乎每年的高考試卷中都能發現它的身影。

例1：已知函數f（x）=x2lnx-a（x2-1）（a∈R），若f（x）≥0在0

解法一：換元法，數形結合

點評：本題是2018年天津高考理科的第14題，解法有多種，但如果巧妙分離，轉化成二次函數與直線（射線），那么利用圖形可以直觀地解決問題。此解法的好處是分離的兩個函數更簡單，只需研究其極端情況相切就行。

三、曲與直的轉化解決不等式中整數解的個數問題

點評：本題是2015年全國高考新課標I卷理科第12題，解法有多種，可以直接利用導數先研究函數的圖像與性質，再畫出該函數的草圖，結合圖像確定參數范圍。但由于原函數含有參數，直接研究圖像比較麻煩。如果巧妙地分離轉化成一個未知函數(不含參數，可通過導數知識研究其圖像)與直線，那么可以直觀地解決問題。

四、總結與反思

含參數的函數問題是高中函數與導數的重點與難點，在歷年的高考中是?？純热?，既可以體現在選擇題、填空題中，也可以體現在解答題中。對于選擇題、填空題中所出現的含參數函數問題，一般會出現恒成立（或存在性）問題、研究函數零點個數（或方程的根的個數）問題、研究函數不等關系中的整數解個數問題。這種題型如果直接構造函數，利用導數先研究函數的圖像與性質，再畫函數草圖，結合圖像確定參數范圍，必定會遇到所構造函數含有參數，直接研究圖像比較麻煩的情況。如果能巧妙地分離轉化成一個已知曲線與直線或轉化為簡單未知曲線（可通過導數知識研究其圖像）與直線，那么利用圖形可以直觀求解。一般來說，轉化后的函數是個不含參數的簡單函數，直線中的參數一般代表斜率或截距的幾何含義，通過直線的繞定點旋轉或平行移動觀察直線與曲線的位置關系可解。在日常教學中，教師要注意幫助學生總結好如何轉化，引導學生掌握上述幾種轉化思想，這樣，當學生遇到不同的函數時會有明確的思維轉化方向，能將復雜的問題簡單化。