疫情環境下高等代數混合教學模式探索與實踐
——以四川文理學院為例

余躍玉

(四川文理學院 數學學院，四川 達州 635000)

為深入落實教育部《關于在疫情防控期間做好普通高等學校在校教學組織與管理工作的指導意見》、四川省教育廳《關于切實做好新冠肺炎疫情防控期間學校教育教學組織與管理工作的通知》(川教函 [2020]47號)精神，四川文理學校從2月初就開始利用網絡信息化教學手段，統籌整合各大教育平臺和優質課程資源，對全校教師進行了的各種在線課程網絡教學培訓，為實現做好“停課不停學”[1]的目的做足了功課.

2月24日，正當全校師生滿懷激情集結于云端時，由于各大教學平臺都不同出現了超負荷運轉，導致教學受阻.面對這種現象，大家選擇利用多種技術和平臺，靈活組織各自的教學活動.具體做法如下.

1 正視疫情環境下在線教學的機遇與挑戰

“停課不停學”的倡議是我國教育行政部門在新冠肺炎疫情弒略下，學校師生無法正常開學的背景下，做出的一個不得已而為之的舉措.由于疫情發展的突然且迅速，來不及給學校時間與空間去系統的進行在線教學準備.在此環境下，在線教學面臨著諸多的挑戰，同時也迎來了許多難得的機遇.[2]

從2月初開始，各地紛紛推出線上教學培訓方案，在線學習指導方案等，一時間“停課不停學”上了網絡熱搜，成了人們熱議的話題.可是在實際推進“停課不停學”在線教學工作中，存在著來自各個方面的挑戰.其中最為突出的是我們的直播教學準備還欠充分，具體表現在以下三方面：一是，教師如何開展在線教學，如何檢測教學效果，這需要對教師進行針對性的培訓；二是，學生如何自覺在家在線學習，完成知識的完整積累，這需要對學生加以正確的引導；三是，師生在網絡、硬件和軟件等方面的普及情況，相關教學平臺的服務方的準備情況，都存在著參差不齊的現象，特殊情況下，大規模、高并發的網絡直播授課等，都存在著大量的挑戰.為此，對“停課不停學”的支持與反對的觀點也成了教育界爭論的話題.

2 教學平臺的分析與遴選

2月初，四川文理學校對教師陸陸續續舉行了諸如智慧樹、雨課堂、MOOC等教學平臺的使用培訓，每個教學平臺都建立自己的討論群，我們通過對每種教學平臺的優缺點進行了認真分析，發現中國大學MOOC(Massive Open Online Course)[3-4]集聚了國內最好的高校(如北大、清華、浙大、復旦等)的優質精品課程.其多終端的隨身學習支持功能，極大地方便了學生的隨時學習的需求.每門課程的課件、視頻、測驗、作業、答疑及課后討論，成功的完善了學生的學習全過程.MOOC+SPOC (Small Private Online Course)又能將MOOC 與校內課堂緊密結合，可幫助學校、培訓機構等輕松建立屬于自己的在線課堂，為教師實現共享共建優秀課程資源提供可靠的技術平臺，還能應用大數據對學生的學習行為進行數據追蹤統計，有利于教師和學校進一步完善教學過程的管理.基于MOOC強大的資源，我們最終選擇了MOOC+SPOC作為線上教學的主流平臺.

騰訊課堂憑借QQ客戶端的優勢能實現在線師生的即時互動交流，QQ多年積累的音視頻實力，能為課程教學提供高音質及最流暢的直播效果，它支持PPT演示以及屏幕分享，它提供的簽到、畫板等功能便于課堂管理與板書演示，能使學生感覺直播教學與平時的線下效果近乎一致，其重放功能讓學生的學習可以打破時間與空間的限制，基于這些優點，我們選擇了騰訊課堂作為我們的直播平臺.

由于高等代數高度的抽象性及大量的運算，需要大量的板書進行輔助，雖然騰訊課堂有畫板功能可以進行板書，但難以達到線下課堂同等效果，而西沃教學助手恰好能彌補這一缺陷，對于課程中的定理證明、行列式運算、矩陣運算及矩陣的初等變換等，我們選擇了西沃軟件的投影功能，將教師在紙上的板書投影到屏幕上，實現學生只通過騰訊課堂無需轉換就可看到老師的板書，這與線下教學效果相差無幾.從而，MOOC+SPOC，騰訊課堂、西沃教學助手構成我校高等代數等課程混合式教學的主要工具.

3 高等代數課程教學的模式構建思路

“高等代數”作為數學類和統計類專業學生的必修課程之一，涵蓋了公理化思想、分解思想、地推思想、歸納與演繹方法、矩陣方法等代數所特有的思想方法，[5]這些思想和方法構成了“高等代數”的核心和靈魂.學習“高度代數”對培養學生的數學基本素養、提高學生的計算與分析能力能起到至關重要作用.[6-8]但其中高度抽象的理論及其變換多端的思維方式，可能會使學生難以正確理解或靈活運用，使部分學生對其產生畏懼心理，進而可能失去學習的興趣.為激發學生的學習激情，提高學生學習效果，我們對高等代數的教學模式的構建擬定了如下思路：

3.1 創造輕松學習氛圍，誘發學生學習主動性

我們可以構思一些生活中的小問題，讓學生自己觀察，尋求解決辦法；利用“高等代數”的歷史背景和相關數學家的勵志故事，消除學生對其高度抽象性的恐懼，讓學生真正的體會到學習的真諦不是考試成績的高低，而是如何將學到的知識內化于心，同時外化于實踐.

3.2 注重“高等代數”中重要思想方法的總結及應用

如：化抽象為具體的同構思想，就是利用同構映射，可以將抽象的復雜的空間問題轉化為n維向量空間的問題，將抽象的線性相關性問題轉化為向量空間的相關性問題，將形式各異的線性變換的問題轉換為矩陣運算關系，研究二次型、線性變換轉化為研究矩陣的問題；化一般為特殊的等價分類思想，就是將研究對象利用等價關系進行分類，每一類中選取簡單、特殊的元素進行研究，再將結論推廣到一般的方法，強調這種思維方式將有助于培養學生自主分析問題和解決問題的能力；在如，化演繹論證為幾何直觀的數形結合思想，借助于直角坐標系理解歐氏空間中的標準正交基，利用中學學習的二次曲線、二次曲面的分類討論二次型的標準形及分類，利用向量的垂直分解理解Schmidt正交化方法等；在多項式、逆矩陣，線性空間等概念中還蘊含著結構化思想、公理化思想；齊次線性方程組基礎解系存在性定理、哈米爾凱萊定理以及線性變換的秩與零度關系定理中的構造思想等.如果在教學中強化這些數學思想，將有利于提升學生對問題的化歸和轉化能力，這也是高等代數知識的精髓和內涵.

3.3 加強課外實踐，強化知識深度，拓寬知識廣度

由于人才培養方案對課堂教學時長是有限制的，具有高度抽象性和思維多樣性的高等代數，要求教師必須將課堂教學與課外實踐有機結合，才能使學生對知識的掌握達到內化于心，外化于實踐.[9-12]為此，我們采用了MOOC+SPOC中的作業與測驗，對學生的基礎知識做最基本的訓練；利用QQ平臺的討論功能和分享屏幕對每周的知識點進行分析討論、對重點內容進行強化訓練，對難點進行分解剖析或者進行轉化，讓學生能真正的從實踐中發現問題，并在實踐中尋求解決問題的方法，還能提高學生對知識的應用能力.

3.4 引入數學軟件輔助教學，增強對知識認知的直觀性

在課外，我們讓同學們自由組合一個數學軟件學習小組， 讓他們本著自愿的原則學習MATLAB等熟悉軟件，鼓勵大家利用軟件對行列式的計算、矩陣運算和初等變換以及線性方程組的求解進行檢驗，利用軟件求矩陣的特征值等，這對提升學生的學習興趣，增強對知識的認知能力將會起到加速催化的作用.

4 高等代數混合式教學模式的實施

在“停課不停學”的特殊期間，四川文理學院的空中教學工作有條不絮的開展著，各種教學平臺、教學方式及實際舉措百花齊放，各顯身手.其中的高等代數教學模式主要采用了MOOC+SPOC網上平臺，騰訊課堂在線直播，西沃教學助手，QQ等多種混合式交互模式，下面以矩陣的乘積為例進行實例分析.

4.1 課前教學準備

在矩陣乘積教學之前，我們為學生布置了如下課前預習內容：(1) 觀看MOOC中的視頻教學課程，初識矩陣乘積運算；(2) 矩陣的加法運算和數乘運算非常直觀簡單，思考為何矩陣乘法不采用類似的對應位置上的元素相乘來進行運算呢？(3) 通過網絡查詢矩陣乘法的來源和意義.學生們帶著問題進行學習，展開思考；通過閱讀網絡文獻，明白了實際中的應用和理論上的價值才是科學發展的生命力.

4.2 利用騰訊課堂和西沃教學助手進行課程直播教學

由于MOOC教學內容精簡，一些細節問題的處理很少深入，單純看MOOC視頻，學生難以掌握其中的關鍵點.為此，我們利用騰訊課堂對矩陣乘法的運算法則進行了詳細的分析.第一，矩陣可乘條件的分析，讓學生明白不是任意兩矩陣都能相乘，兩矩陣相乘必須要求前者的列數與后者的行數相等，否則乘積無意義；第二，若A為m×n矩陣，B為n×s矩陣，則C=AB矩陣將為m×s矩陣，讓學生明白乘法運算后的結果矩陣的模樣；第三，乘積的結果矩陣C中元素的計算方法為：cij=ai1b1j+ai2b2j+…+ainbnj，其中i=1,2,…,m；j=1,2,…,s，讓學生基本掌握乘積運算的具體操作方法.

理論上的方法必須回歸實踐，為了讓學生熟練掌握矩陣的乘法運算，我們利用西沃教學助手，進行板書投影，讓學生的思路緊跟老師的筆跡，達到師生思想合一的境界，有助于集中學生的注意力.投影的內容主要是列舉一些矩陣乘積的實例.

通過這個例子讓學生進一步認識矩陣可乘條件的重要性，實際感受矩陣乘法的操作過程，同時留給學生一個矩陣乘法不可交換的初步印象.

讓學生看到矩陣乘法即或是交換前后位置，乘積都有意義，但結果不一定相等，進一步說明矩陣乘法不可交換；同時，通過這個例子，使得學生感受到兩矩陣乘積為零矩陣，這兩矩陣不一定必有一個為零矩陣，這為后繼課程近似代數中的零因子埋下了伏筆.

進一步引導學生去思考如何去計算(AB)k，讓學生領略特殊矩陣乘方的運算技巧.

通過以上三個實例的分析后，我們利用騰訊課堂提問的方式，引導學生自行推導出矩陣乘法的運算規則，從而達到課堂教學的目標.

4.3 課后輔導、鞏固練習及學習效果檢測

雖然處于疫情期間，我們的學生對知識的渴望程度并沒降低，這時的QQ群就成了同學們的第二課堂，在群中我們設計了如下的交流討論主題：(1) 特殊矩陣的乘積規則，如A為m×n矩陣，則A左乘一個m維的標準單位行向量；或右乘一個n維的標準單位列向量；或既左乘一個m維的標準單位行向量，又右乘一個n維的標準單位列向量的結果是怎樣的？A左乘一個m階對角矩陣；或右乘一個n階的對角矩陣的結果如何？(2) 通過查找文獻，討論矩陣乘法的應用.通過討論，同學們不僅強化了知識的積累，更增強了學習的興趣.

數學學習中作業是必須的一個環節，由于疫情的原因，我們難以收集學生的書面作業，MOOC+SPOC中的作業和每周測驗就成了我們檢驗學生學習效果的客觀依據，課后布置的一些主觀性的題型，我還是會要求學生做在作業本上，每周一次通過QQ進行抽樣檢查.從前八周MOOC+SPOC中的系統評分統計(表1)表明我們的混合式教學模式是可行且有效的.

表1 MOOC系統評分統計表

5 總結與展望

兩個多月的多平臺的混合式教學模式打破了師生在時間與空間的限制，實現了特殊時期特殊條件下的停學不停課的目標，多種交互平臺及多種教學手段的相互融合，使得我們的課堂更具生機與活力，學生學習興趣得到了充分的激發，學生主動學習與探索的場地變得隨時隨地，教學效果檢測達到了預期的目標.

由于特殊時期的教學全集中在云端，互聯網本身又存在著虛擬屬性，個別學生會因為學習行為無人監管，而自我行為的約束可能會放松，導致學習脫節現象，還有個別同學可能會因為家庭或地域影響，云端學習無法完全同步，導致學習效率欠佳，這些都需我們在學生返校后加以查漏補缺.我們全體師生都盼著疫情早日結束、讓我們的校園重現往日的生機！