畫圖法在三年級(jí)數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的探究與運(yùn)用

顧媛婷

摘要：所謂畫圖法，就是教師通過讓學(xué)生獨(dú)立模仿畫圖，再組織學(xué)生以小組為單位互相欣賞各自的作品，具體說出 畫面的內(nèi)容，試著從圖中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題中隱藏的數(shù)量關(guān)系。在教學(xué)過程中，應(yīng)以學(xué)生為主體，發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)探索精神， 留給學(xué)生充足的時(shí)間去思考、探索和畫圖。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生有目的地畫出自己的理解，再從直觀形象的畫面中找到正確的數(shù)量關(guān)系。

關(guān)鍵詞：畫圖法;三年級(jí)數(shù)學(xué);探究與運(yùn)用

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡 稱《課標(biāo)》）指出：要想使得學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題，可以 主動(dòng)嘗試從數(shù)學(xué)的角度應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法，尋求問題 解決的對(duì)策。數(shù)學(xué)問題解決的對(duì)策及方法有很多，在滬 教版三年級(jí)教材中涉及的方法主要有：分析法、綜合法、 畫圖法、列表法、割補(bǔ)法等。其中，畫圖法是最常用、 最直觀的一種輔助方法，是指在解決問題的過程中，將 問題中的已知信息與問題用圖畫結(jié)合文字標(biāo)注的形式表 示出來，以此幫助學(xué)生全面思考、清晰地理解問題情境 中的信息和問題，從而獲取各信息間的數(shù)量關(guān)系并準(zhǔn)確 列出對(duì)應(yīng)的算式進(jìn)行解答。因此，畫圖法在小學(xué)數(shù)學(xué)問 題解決中具有十分重要的作用，可以使學(xué)生在良好的環(huán) 境下逐步掌握發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問 題的能力，同時(shí)還可以很好地促進(jìn)學(xué)生抽象思維能力的 發(fā)展。

一、運(yùn)用畫圖法的意義

縱觀滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)1-5年級(jí)10冊(cè)教材，可以發(fā)現(xiàn) 這是一個(gè)"讀圖”的世界，教材中的例題呈現(xiàn)形式多以 情境圖和實(shí)物圖為主，較少以純文字?jǐn)⑹龅男问匠霈F(xiàn)。 對(duì)于低學(xué)段學(xué)生而言，學(xué)會(huì)讀圖、分析圖是問題解決的 基礎(chǔ);中高年段學(xué)生不僅要讀懂圖，更要會(huì)畫圖、畫好 圖。

（一）畫圖法架起形象思維通向抽象思維的橋梁

畫圖法有助于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，它把抽象 的文字語言變成直觀的圖形語言，將抽象的數(shù)量關(guān)系和 直觀的圖形圖像緊密結(jié)合。低年段小學(xué)生以形象思維為 主，逐步向抽象思維過渡，習(xí)慣通過視覺圖形進(jìn)行數(shù)學(xué) 問題的思考。有些數(shù)學(xué)知識(shí)復(fù)雜抽象且難以理解，如果 能借助畫圖法來分析和解決數(shù)學(xué)問題，依托圖來觀察思 考，可以輔助小學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解。這樣，畫圖法 就架起了形象思維通向抽象思維的橋梁。

（二） 畫圖法助力厘清題意、凸顯數(shù)量關(guān)系

借助畫圖法有助于學(xué)生理解復(fù)雜的問題情境，引導(dǎo) 學(xué)生從“情境"中走出來，將問題中有關(guān)聯(lián)的、有價(jià)值 的信息提取出來，并在圖中標(biāo)識(shí)清楚，使得其直觀地反 映出數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而使其成為解決問題的有效方法。在 對(duì)問題開展具體分析時(shí)，需要注意將數(shù)與形有機(jī)結(jié)合起 來，將圖形問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，或者將數(shù)量關(guān)系 問題轉(zhuǎn)化為圖形問題，使得較為復(fù)雜的問題變得簡明、 形象，化難為簡。

（三） 畫圖法教學(xué)提升教師課堂主導(dǎo)作用與學(xué)生主 體地位

教師引導(dǎo)學(xué)生感悟?yàn)槭裁葱枰柚媹D法進(jìn)行問題 解決，根據(jù)教授的內(nèi)容選擇具有代表性的各類畫圖方法 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析和歸納，在了解學(xué)生的理解情況和認(rèn) 識(shí)水平的基礎(chǔ)上，指導(dǎo)學(xué)生適時(shí)地對(duì)畫圖法進(jìn)行調(diào)整等， 激發(fā)學(xué)生有效交流并獲得最佳解決方案。學(xué)生借助畫圖 法理解題意并獨(dú)立思考，在此過程中，因每個(gè)學(xué)生的思 維各異、思考角度不同，匯報(bào)時(shí)表達(dá)的方式也存在差異， 課程上生成的解決問題方法各不相同。在交流中，學(xué)生 有討論、有質(zhì)疑，對(duì)一題多解進(jìn)行優(yōu)劣對(duì)比，學(xué)生的思 維能力獲得了深層次的拓展。

二、畫圖法在教學(xué)中的實(shí)踐運(yùn)用

《課標(biāo)》中指出：在各學(xué)段中，安排了四個(gè)部分的 課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)"“圖形與幾何"“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”。滬教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中各年級(jí)問題解 決的教學(xué)與上述各部分知識(shí)合而為一、融為一體。以滬教 版三年級(jí)為例，數(shù)學(xué)教材中各部分涉及問題解決的例題 以及適合用畫圖法解決的數(shù)學(xué)問題數(shù)量如表1所示。

由表1可知，三年級(jí)上下兩冊(cè)例題共114個(gè)，其中， 問題解決例題共65個(gè)，占例題總數(shù)的57%;，可以運(yùn)用 畫圖法進(jìn)行教學(xué)的問題解決例題共52個(gè)，占問題解決例 題總數(shù)的80%。

由表2不難發(fā)現(xiàn)，示意圖在問題解決例題中的應(yīng)用 最為普遍。示意圖與其他圖示比較更簡單明了、直觀形 象，易于小學(xué)生理解和運(yùn)用，可用圓圈、三角形、方框 等簡單圖形組合表示，學(xué)生想到用什么圖形來表示數(shù)量 就用什么圖形，其表現(xiàn)的形式是豐富多樣的，可以直觀 地揭示事物發(fā)展過程以及數(shù)量關(guān)系。下面就示意圖為例 進(jìn)行簡單闡述。

（一）畫示意圖教學(xué)植樹問題

以三年級(jí)上冊(cè)“植樹問題”為例，借助畫示意圖進(jìn) 行教學(xué)。植樹問題是一種典型的數(shù)學(xué)問題，是借助植樹 中的現(xiàn)象研究間隔數(shù)和間隔物體的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，并 以此解決現(xiàn)實(shí)生活中常見的實(shí)際問題，如爬樓梯、鋸木 頭、敲鐘、擺花盆、裝路燈等問題，這類共性問題都隱 藏著間隔數(shù)與間隔物體的個(gè)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。

這種數(shù)量關(guān)系又分三種情況，即兩個(gè)端點(diǎn)都沒有間 隔物體時(shí)，間隔物體的個(gè)數(shù)=間隔數(shù)T;兩個(gè)端點(diǎn)都有 間隔物體時(shí)，間隔物體的個(gè)數(shù)=間隔數(shù)+1;只有一個(gè)端 點(diǎn)有物體時(shí)，間隔物體的個(gè)數(shù)=間隔數(shù)。在學(xué)習(xí)中，學(xué) 生會(huì)遇到兩個(gè)問題：一是間隔數(shù)與間隔物體的個(gè)數(shù)讀起 來比較拗口;二是這里的“1”總是困擾著學(xué)生們，到底 什么時(shí)候加上“1”，什么時(shí)候減去“1”，什么時(shí)候沒 有“1”呢？教參上明確指出上述結(jié)論只要求學(xué)生通過具 體的事例尋找規(guī)律，不要求學(xué)生死記硬背，只要學(xué)生遇 到類似問題，能借助畫圖等輔助手段來分析、得出相應(yīng) 的結(jié)論即可。

在教學(xué)過程中，筆者畫出示意圖，用 牛 來表示樹， 用線來表示兩樹之間的間隔距離，這樣把植樹問題轉(zhuǎn)化 為一條線上的棵數(shù)與相鄰兩棵樹之間線段數(shù)的關(guān)系問題。 間隔物體的個(gè)數(shù)是“4”的棵數(shù)，間隔數(shù)就是相鄰兩 “4”之間的線段數(shù)。提問學(xué)生：

（1） 在示意圖中，你看到了幾個(gè)線段？幾棵樹？

（2） 像這樣種兩棵、種三棵，有幾個(gè)線段？你能找 到這里面隱藏的規(guī)律嗎？ ”

（3） 利用找到的規(guī)律試一試，推理想像一下剪88次， 會(huì)有幾段？ 101段，剪幾次？

我把上述“畫一找一推”這樣的好方法概括為“以 小見大”（依據(jù)種一棵樹、兩棵樹和三棵樹的圖來找到 棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系，從而利用上述關(guān)系式推理出剪88次 甚至更多次的段數(shù)），由此來展開課堂教學(xué)。出示例題： “在全長200米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，可以怎 樣栽？栽幾棵？ ”學(xué)生提出疑惑：每隔5米栽一棵，也就 是5米為一段，像這樣把200米全都畫出來，太麻煩了。 交流得出：我們應(yīng)該先化繁為簡，先研究小數(shù)據(jù)“5米一 段，20米可以分成幾段（20 + 5=4段）"來尋找規(guī)律。

筆者引導(dǎo)學(xué)生自主畫圖將文字轉(zhuǎn)化成圖形，如圖1-圖3。

在此基礎(chǔ)上，筆者追問：“如果在小胖家的一個(gè)環(huán) 形花壇上放了8盆蘭花，把花壇分成了幾段？ ”學(xué)生自然 而然地提筆畫圖，找到圖中的數(shù)量關(guān)系：棵樹=段數(shù)。（如圖4）而且學(xué)生發(fā)現(xiàn)，環(huán)形花壇屬于只種一端，花盆 的個(gè)數(shù)和段數(shù)是一樣的，所以花盆把花壇分成了8段。

（二）畫示意圖解決除法應(yīng)用問題

學(xué)生在遇到復(fù)雜抽象且都是純文字的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)， 有可能會(huì)產(chǎn)生畏難情緒，但是他們對(duì)于圖形和圖像特別 敏感。針對(duì)小學(xué)生的這一特點(diǎn)，筆者在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用 畫圖法策略，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)題變成生動(dòng)形象的圖表、圖 形，讓學(xué)生更快、更準(zhǔn)確地理解題意，教會(huì)學(xué)生運(yùn)用畫 圖法來解決問題。比如，在解決有余數(shù)的除法這類問題 時(shí)，需要學(xué)生解決三個(gè)問題：一是選擇乘法還是除法計(jì) 算;二是相除所得的商和余數(shù)對(duì)應(yīng)的單位名稱;三是理 解問題中出現(xiàn)的“至少、最多”的意思，確定商是否需 要“去尾”或者“進(jìn)一”。

如三年級(jí)上學(xué)期“除法應(yīng)用"中的練一練第3題：“某 種集郵冊(cè)每頁可以放9張郵票，如果113張郵票能夠全部 放到這本集郵冊(cè)中，那么這本集郵冊(cè)至少有多少頁？ “

筆者引導(dǎo)學(xué)生通過畫一畫、圈一圈，通過圖形來還 原題目本意，并以此來解決上述三個(gè)問題。郵票可以用 圖形O、口、△等來表示，每頁用橫線、畫圈或者畫框 來表示（如圖5所示）。

在繪圖過程中，學(xué)生提出問題：113張郵票根本無法一 一畫出。此時(shí)，筆者建議學(xué)生用省略號(hào)來“以小見大”。 借助示意圖，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)這樣每9個(gè)一份，求有幾份， 要用除法113 + 9 = 12……5O

商和余數(shù)的單位名稱是學(xué)生在本題的易錯(cuò)點(diǎn)，由于 頁和張都是紙的量詞且學(xué)生思維能力薄弱，易把單位名 稱錯(cuò)寫為12張……5張或是12張……5頁。筆者再次引導(dǎo) 學(xué)生修改示意圖，在圖中標(biāo)出照片和郵冊(cè)頁的單位名 稱（如圖6所示）。

借助上圖可以看出，商和余數(shù)的單位名稱分別是 “頁”和“張”。由此圖我們還能觀察到，剩下的5張 也需要一頁紙，所以，他們至少需要13頁。得到的算式 是：113+9=12 （頁）……5 （張），12+1 = 13 （頁）o

解決這類問題，教師引導(dǎo)學(xué)生將題意與圖形結(jié)合， 讓學(xué)生感覺解決數(shù)學(xué)問題就像在上美術(shù)課畫畫一樣，從 而提升小學(xué)生學(xué)習(xí)的樂趣與解題的正確率，使學(xué)生能在 輕松愉悅的氛圍中學(xué)習(xí)到數(shù)學(xué)知識(shí)。

（三）畫示意圖解決倍數(shù)問題

三年級(jí)涉及的倍數(shù)問題按難易程度分為兩類，一類 是求幾倍數(shù)與1倍數(shù)，稍復(fù)雜的是求幾倍多幾或少幾。 解決此類問題，借助示意圖，能比較直觀地分析題目中 的數(shù)量關(guān)系。1倍數(shù)就是數(shù)量少的那1份數(shù)，要求1份數(shù) 是多少，可用除法計(jì)算，數(shù)量越除越少。幾倍數(shù)就是數(shù) 量多的幾份數(shù)，求幾份數(shù)是多少就是求幾個(gè)相同加數(shù)的 和，可用乘法計(jì)算，數(shù)量越乘越多。求幾倍多幾或幾倍 少幾，就要先求出幾倍，然后加幾或減幾。

以三年級(jí)上冊(cè)“燈飾”中的一題為例：“兔子燈有 25盞，蓮花燈是兔子燈的3倍，兔子燈和蓮花燈一共有 幾盞？ ”教參中要求學(xué)生能根據(jù)問題收集有用的信息， 將情節(jié)描述成簡圖（線段圖），并列出相應(yīng)的算式。

在學(xué)習(xí)畫線段圖前，筆者先引導(dǎo)學(xué)生用示意圖描述 題目，把文字信息轉(zhuǎn)化為圖形的同時(shí)，加深對(duì)問題情境 的理解。先用一個(gè)圈表示25盞兔子燈，之后讓學(xué)生結(jié)合 題目的實(shí)際意思思考蓮花燈的盞數(shù)如何用圈來表示。在 學(xué)生回答用3個(gè)圈來表示之后，再讓學(xué)生明白：一共有幾 盞，畫一個(gè)大圈把兔子燈和蓮花燈包含進(jìn)去就可以了（如 圖7所示）。

根據(jù)示意圖，學(xué)生得到兩種解答方式：25+25X3、25X （1+3） o在畫的過程中找到解題思路，真實(shí)感受到畫圖在 解決問題時(shí)候具有的應(yīng)用價(jià)值，感悟畫圖是一個(gè)“去情境 化”的過程，抓住了題目的本質(zhì)，凸顯了數(shù)量之間的關(guān)系， 這樣一來就可以達(dá)到輕松解決問題的目標(biāo)。對(duì)于解答幾倍 多幾（少幾）或倍數(shù)求和（差）等問題，都可以釆用這樣 的示意圖。

對(duì)于三年級(jí)學(xué)生而言，畫示意圖比畫線段圖更直觀具 體，線段圖是示意圖的進(jìn)一步抽象展現(xiàn)。但學(xué)習(xí)的過程是 螺旋式上升的，學(xué)生不能只停滯于相對(duì)直觀的示意圖。所 以，筆者將圖7中的一個(gè)圓圈“變身”為一條線段。隨即提 問：“那下面3個(gè)圓圈又該如何表示呢？"在學(xué)生回答用3 個(gè)線段來表示之后，再讓學(xué)生明白：一共有幾盞，畫一個(gè) 大括號(hào)并在其右邊打上問號(hào)就可以了。具體圖示如下：

學(xué)生有了畫示意圖的經(jīng)驗(yàn)，再過渡到用畫線段圖來描 述問題情境，就駕輕就熟、迎刃而解了。所以，筆者特別 重視學(xué)生對(duì)畫示意圖的領(lǐng)悟，并通過不斷實(shí)踐練習(xí)，讓學(xué) 生的思維逐步由形象思維向抽象思維過渡。

三、實(shí)踐思考

筆者在三年級(jí)堅(jiān)持運(yùn)用畫圖法教學(xué)發(fā)現(xiàn)，在問題解決 教學(xué)中，滲透并注重畫示意圖的教學(xué)方法是有成效的。 學(xué)生通過借助畫圖法解決數(shù)學(xué)問題的實(shí)踐，在“畫數(shù)學(xué)" 中嘗到了樂趣，筆者也在“畫數(shù)學(xué)”教學(xué)中嘗到了甜頭。

在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生在難以理解、產(chǎn)生困惑時(shí)畫一 畫，在解決問題遇到困難時(shí)自主地想到畫一畫，就能真 正地感受到畫圖法帶來的方便。不需要教師多說，學(xué)生 也會(huì)自然地應(yīng)用上述策略開展相關(guān)的學(xué)習(xí)活動(dòng)。總之， 畫圖法在小學(xué)數(shù)學(xué)問題的解決中具有十分重要的作用， 可以使得學(xué)生潛移默化地提升發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分 析問題和解決問題的能力。同時(shí)，還可以很好地促進(jìn)學(xué) 生抽象思維模式的發(fā)展。教師需要在實(shí)踐中不斷地摸索 和創(chuàng)新，思考和研究畫圖法在所教授內(nèi)容中的有效應(yīng)用， 并根據(jù)不同的知識(shí)點(diǎn)可釆用不同的畫圖法。此外，還需 要同步了解學(xué)生的理解和認(rèn)知水平，適時(shí)地分析和歸納 調(diào)整畫圖法，同頻同振，讓學(xué)生以最簡單、最清晰的方 數(shù)學(xué)原理，進(jìn)而培育學(xué)生的數(shù)普科核心素養(yǎng)。

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（責(zé)任編輯：奚春皓）