虛力做功求解“獵犬追上狐貍的時間”

彭定輝

（江西省南豐縣第一中學，江西 撫州 344500）

1 問題

“獵犬追上狐貍的時間”問題是一道經典的中學物理競賽題，不僅可以用微元法或微積分方法求解，還可用MATLAB等專業軟件進行數值模擬分析.［1-3］本文將另辟蹊徑，用假想虛力做功的新方法來求解獵犬追上狐貍的時間.現將原題陳述如下：

例題.有一只狐貍以不變的速率v沿直線AB奔跑，獵犬以不變的速率u追擊，其運動方向始終對準狐貍.如圖1所示，某時刻狐貍在F處，獵犬在D處，FD⊥AB，且FD=L，設u＞v，問獵犬追上狐貍需多長時間？

圖1

圖1 題目圖片

2 分析

為簡化問題，選擇狐貍為參考系，并借助矢量描述獵犬的運動情況.如圖2所示，可知在運動過程中獵犬除了有始終指向狐貍的分速度u，還有相對狐貍由B指向A的分速度 ，即獵犬合運動的速度為u+.

圖2 獵犬相對狐貍運動的兩個分速度圖

假設獵犬在運動中受到某個虛構的作用力——虛力δf，若此虛力做功的功率恒定，且又能知道其做功的大小，則無需計算獵犬的具體位置變化，可直接用公式W=Pt求時間.

3 求解

由于獵犬的速度為u+ ，故構造一個虛力

其中k為比例常量，則其做功功率為定值，即

如圖3所示，該虛力由兩個分虛力δf1=k u和δf2=-k組成.其中分虛力δf1與分速度u成正比，為一大小恒定的有心力，其方向始終沿矢徑指向F點，力場如圖4中實線所示.易知此力做功與路徑無關，僅與徑向位移有關.［4］因此在獵犬從D運動到F的全過程中，分虛力δf1做功為

圖3 獵犬所受虛力圖

另一分虛力δf2與分速度 成正比，為水平向右的恒力，力場如圖4中虛線所示.由于獵犬運動的總位移DF與該分力垂直，故分虛力δf2做功為0，即

圖4 兩個分虛力力場的分布圖

因此虛力δf做的總功為

獵犬追上狐貍的時間為

這個解與其他方法計算的結果是一致的.

結束語：與微元法、微積分方法等相比，這種假想虛力做功的方法直接避開了對獵犬運動的細節處理，計算過程十分簡潔.它作為“獵犬追上狐貍時間”問題的一種補充解法，對此類物理問題的視角選擇和模型構建有一定的參考價值.