拓展模型遷移 培養數學應用能力
——以一道典型力學題的拓展教學分析

楊 勇

（貴州省安順市關嶺民族高級中學，貴州 安順 561300）

對物理問題的探究與拓展，有助于促進知識的建構、知識的遷移應用、著力于面向解決實際問題的思維層次性發展，通過對物理問題的探討與分析，對問題的拓展與遷移，對學生的學科素養的提升和創新思維能力的培養具有重要作用.同時物理解題的拓展與分析，促進學生創新思維能力的提升，優化學生創新思維，把核心素養教學目標落到實處.

1 例題呈現

如圖1所示，一盛水容器繞豎直中心軸線勻速轉動，試證明容器轉動時，容器中的水面為一拋物面.

圖1

2 典例問題教學分析

2.1 液體內部某點的受力分析

當容器以一定的角速度轉動時，容器邊沿的水會沿著邊沿上升，中間部分水會往下凹.如圖2所示，在液面的最低點建立如圖所示的直角坐標系，在坐標原點沿著x軸方向的一段橫截面積為ΔS，長度為x的水平液柱，假設水的密度為ρ，大氣壓強為p0，由于該液柱隨著容器一起做勻速圓周運動，液柱左側受到的壓力為F1=p0ΔS，液柱右側的壓強p=p0+ρgy，所以右側受到的壓力為F2=（p0+ρgy）ΔS，則液柱隨著容器做勻速圓周運動的向心力有左右兩側的壓力差來提供可得F向=F2-F1.因此向心力F向=ρgyΔS.

圖2

這是一條拋物線方程.由于在液面上所有的點都滿足上式的方程，所以液面的曲線為一條拋物線，同理由這些線構成的面自然也是拋物面，因此容器轉動時隨容器一起轉動的液體的表面為一拋物面.

2.2 液面上某點的受力分析

在液體表面取一質量很小的質點m，對該質點的受力分析如圖3所示.該質點做勻速圓周運動的向心力由支持力與重力的合力提供，設支持力的作用線與y軸的夾角為θ，則受力F向=mg tanθ.該質點的橫坐標為x，則

圖3

由于曲面上所有點的受力都有相同的特點，因此都滿足上式的函數方程，由于上式是拋物線方程，則液面形成的即為拋物面.

2.3 引入非慣性系，對液面上任意質點靜止的條件

如圖4所示，選擇隨水一起轉動的的容器為參考系，水相對于容器靜止，引入慣性力f慣=mω2x，引入慣性力后液體表面所選的質點的受力平衡可知，

圖4

可得液體隨容器轉動時形成的液面為一拋物面.

以上從3個角度對容器中液體隨容器轉動時得到的曲面為一個拋物面，由于在某恒定的角速度轉動時，液體的運動性質為同軸轉動，角速度相等，應用角速度相等及液體受力特點結合圓周運動的性質，從受力角度、向心力來源、建立坐標等物理與數學的結合分析和證明液面為一拋物面.從不同角度對學生思維的激發和能力素養的培養，激發學生對問題的思考.

2.4 不同角速度下的曲面形狀

3 拓展探究教學分析

3.1 繩子約束下的圓周運動對比與分析

如圖5所示，用一根細繩長為l一端系一個小球，另一端固定，給小球不同的初速度，使小球在水平面內做角速度不同的圓周運動.根據圓周運動的特點有

圖5

圖6

3.2 錐面約束下的圓周運動對比與分析

圖7

3.3 桿約束下的圓周運動對比與分析

如圖8所示，質量為m小圓環穿在光滑的桿上，小環能以相同的角速度ω在任意地方隨桿做勻速圓周運動，結合所學的知識分析桿的形狀.

圖8

因此光滑桿約束與光滑面約束具有相同的特點，要讓物體能以大小相等的角速度在任意位置做勻速圓周運動滿足的條件必須是一個拋物形狀的桿或者是一個拋物面，才能具有這樣的特點.同理，可以發現為什么在光滑的錐面上小球做圓周運動的角速度不相等，如果能通過這樣的一個拋物面的規律應用于相應具有一定約束錐擺的圓周運動中，可以使解決問題到達事半功倍.

3 總結

對于以上的分析，從一到同軸轉動問題的解法的分析，找到處理問題的方法，通過典例分析，聯系常見的繩子約束、錐面約束、桿約束條件下的圓周運動的特點，找到具有相等的角速度的圓周錐擺運動滿足一個拋物面的特點，從而培養學生分析問題，應用數學知識解決問題，應用知識遷移的學科素養.這樣的拓展與分析在教學中能讓學生的形成良好的思考習慣，創新思維能得到提升，同時，通過問題與知識遷移、模型對比等形式的教學分析和討論，讓學生主動獲取知識，發展探究的能力，在解決探究問題的過程中加深對原有知識的認知結構，形成物理知識體系，克服思維單一、方法傳統的保守習慣的弊端.讓學生在探究過程中找到成就感，體驗獲得知識的喜悅，形成合作交流的團體，增強學生的集體意識，樹立正確的學習觀念，通過探究學習的過程體驗，培養學生的創新思維，真正落實物理學科核心素養的教學目標.