均質細桿在純滾動圓環內的運動

王樹平

（河北建筑工程學院數理系，河北 張家口 075000）

文獻［1-2］分析了質點在可自由移動的圓弧形凹槽上的運動，文獻［3］對在光滑水平面上可自由移動的圓弧形凹槽內作純滾動的圓柱體的運動進行了分析.以上文獻中的兩個運動物體所組成的系統都是動量守恒的保守系統.本文將對在粗糙水平面上可純滾動的圓環內的均質細桿的運動進行分析，導出了細桿的質心在慣性參考系中的運動軌跡方程和系統的運動微分方程；求出了圓環內的細桿微振動的周期，在此基礎上，分別得到了細桿在靜止的圓環內以及細桿在可自由移動的圓環內微振動的周期，質點在可作純滾動的圓環內以及質點在靜止不動圓環內微振動的周期.

如圖1所示，在足夠粗糙的水平面上置一質量為m1，徑為R的均質圓環，而在圓環內有一質量為m2，長度為l（l＜2R）的均質細桿，初始時刻，二者中心連線OC與豎直方向夾角為θ0，均質細桿由靜止開始相對圓環滑動（桿與環之間無摩擦力），由于細桿的運動，圓環由靜止開始相對于地面作純滾動.

圖1 初始時刻的細桿和圓環

為了討論方便，首先建立坐標系，如圖1和圖2所示.以初始時刻圓環的中心為坐標原點O，Ox軸水平向右，Oy軸豎直向上，建立靜止的慣性參照坐標系Oxy；然后，以任意時刻圓環的中心為坐標原點O，Ox軸水平向右，Oy軸豎直向上，建立平動坐標系Oxy.對本系統而言，有兩個自由度，選O點的水平坐標x及OC連線與豎直向下的方向的夾角θ為廣義坐標.

圖2 細桿的受力分析

1 均質細桿的質心運動軌跡

對圓環和均質細桿的運動分析如下.圓環作平面運動，質心O的速度為，轉動的角速度為，角加速度為；均質細桿也作平面運動，它的質心C作復合運動，牽連運動為隨同基點O的平動，牽連速度為，相對運動為繞基點O點的圓周運動，相對速度vr=.絕對速度的平方為

2 系統的運動微分方程的建立

3 細桿在圓環內微振動的周期

4 討論

4.1 細桿在靜止的圓環內微振動的周期

眾所周知，當m1?m2，即圓環質量遠遠大于細桿的質量，這時，圓環可看作靜止不動，于是由式（26）得到桿在靜止的圓環內微振動的周期為

4.2 細桿在位于光滑水平面上的圓環內做微振動的周期

其他已知條件不變，當圓環放在光滑水平面上時，其不受水平面的摩擦力作用，也就是沒有使圓環由靜止轉動起來的力矩，于是伴隨著細桿在環內的運動，圓環只能在水平面上純滑動，這時，用與上述相同的思路和方法容易得到，細桿在位于光滑水平面上的圓環內微振動的周期為

4.3 質點在可作純滾動的圓環內微振動的周期

當R?l時，即圓環半徑遠遠大于細桿的長度時，這時細桿可看成質點，于是由式（26）得到一個質點在可作純滾動的圓環內微振動的周期為

4.4 質點在靜止不動圓環內微振動的周期

當m1?m2并且R?l，由式（26）得到一個質點在靜止不動圓環內微振動的周期為

這是我們熟知的結論.