滾輪曲線的等時(shí)性證明及其在物理問題中的應(yīng)用

王 磊 陳建文

（1.盤錦市高級(jí)中學(xué)，遼寧 盤錦 124010 2.盤錦市遼東灣實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)，遼寧 盤錦 124010）

1 滾輪曲線

單擺模型是高中物理經(jīng)典的物理模型之一，當(dāng)單擺的擺角很小時(shí)，我們認(rèn)為單擺的擺動(dòng)周期是一個(gè)定值，這個(gè)周期與擺角無關(guān)只與擺長(zhǎng)有關(guān).對(duì)單擺研究最深入的科學(xué)家是惠更斯，但最初發(fā)現(xiàn)單擺擺角很小擺動(dòng)周期不變的科學(xué)家是伽利略，伽利略是一位偉大的科學(xué)家的同時(shí)也是一位虔誠(chéng)的天主教徒，有一次伽利略在教堂禮拜時(shí)，發(fā)現(xiàn)教堂穹頂?shù)牡鯚粼跀[動(dòng)，善于發(fā)現(xiàn)問題的伽利略敏銳地覺察到，雖然擺動(dòng)的幅度在改變，但來回?cái)[動(dòng)的時(shí)間卻是相同的，于是伽利略一邊摸著自己的脈搏一邊觀察這吊燈的擺動(dòng)，果然驗(yàn)證了自己的想法，后來惠更斯還根據(jù)單擺的等時(shí)性發(fā)明了單擺時(shí)鐘.但是單擺的周期是與擺角嚴(yán)格的沒有關(guān)系么.顯然不是，在中學(xué)物理課上，教師推導(dǎo)單擺周期公式需要用到sinθ≈tanθ≈θ在角度很小時(shí)的近似相等，可見單擺的周期在角度變化時(shí)是有微小的差別的.那么有沒有一種擺動(dòng)的周期是嚴(yán)格相等，與擺角或振幅無關(guān)的呢？

惠更斯在研究單擺問題時(shí)也思考了同樣的問題，并且他得到了答案，答案的靈感來源于數(shù)學(xué)上的一種有名的曲線——滾輪曲線.我們先看何為滾輪曲線？輪子在水平面上做無摩擦的滾動(dòng)，輪子邊緣一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡即為滾輪曲線.滾輪曲線既不是圓也不是橢圓，而是獨(dú)立于圓錐曲線之外的一種新型曲線.

圖1

以輪子邊緣一點(diǎn)在最低點(diǎn)處為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系，該點(diǎn)的軌跡方程為x=Rθ-R sinθ；y=R-R cosθ.該軌跡與輪子的轉(zhuǎn)動(dòng)快慢并無關(guān)系.軌跡方程只由輪子半徑?jīng)Q定.［1］

圖2

2 滾輪曲線的等時(shí)性證明

以豎直向下為正方向，半徑為R的輪沿x軸滾動(dòng)，以其邊緣某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線為一小球的滾動(dòng)軌道.軌道光滑，設(shè)小球的出發(fā)點(diǎn)為軌道上任意一點(diǎn)A，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)滾輪轉(zhuǎn)過的角度為θ0，［2］滾輪滾動(dòng)到x軸的P點(diǎn).經(jīng)過時(shí)間t小球滑動(dòng)到該滾輪線的B點(diǎn)，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)滾輪轉(zhuǎn)過的角度為θ，滾輪沿x軸滾動(dòng)到Q點(diǎn).從滾輪線角度研究小球在B點(diǎn)的線速度v有該速度v與滾輪線相切.把小球在B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)視為滾輪沿x軸滾動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)B點(diǎn)處滾輪邊緣的運(yùn)動(dòng).可知該運(yùn)動(dòng)可視為Q位置時(shí)滾輪圓心C的速度v0與B點(diǎn)處滾輪邊緣相對(duì)于圓心的速度的合成.由于C繞Q瞬間角速度與B處輪緣繞C瞬間角速度相同，故B點(diǎn)處滾輪邊緣相對(duì)于圓心的速度大小也是v0.設(shè)v與圓心C速度v0的夾角為α，根據(jù)幾何知識(shí)可得2α=π-θ，且有重力作用下小球沿滾輪曲線運(yùn)動(dòng)的切向加速度aτ=g sinα，故有

圖3

由（6）式可以看出，在光滑滾輪曲線上來回滑動(dòng)小球的運(yùn)動(dòng)周期只與滾輪曲線的滾輪半徑有關(guān)，與初始位置無關(guān)，故滾輪曲線又稱為等時(shí)曲線或等時(shí)擺線.

3 滾輪曲線在物理問題中的應(yīng)用

例1.在不同的高度上有O、D兩點(diǎn)，O、D兩點(diǎn)連線長(zhǎng)為l，與水平方向夾角為φ，在O、D兩點(diǎn)間建立一條光滑軌道使小球從O在重力作用下沿軌道自由滑下，求能使小球滑到D點(diǎn)的最短時(shí)間和相應(yīng)的軌道形狀.

圖4

而以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，豎直向下為y軸建立坐標(biāo)系下的某一半徑為R，起點(diǎn)為O的滾輪曲線即能滿足上述軌道條件.

根據(jù)（3）式，從O點(diǎn)釋放的小球滑到對(duì)應(yīng)滾輪轉(zhuǎn)過圓心角為θ處的速度為

速度v方向與豎直方向夾角i，結(jié)合圖3，圖5可得，故有為定值，故對(duì)比光學(xué)費(fèi)馬原理可知該半徑R的滾輪曲線即為O、D兩點(diǎn)間用時(shí)最短的軌道.從O點(diǎn)釋放小球，（6）式θ0=0變?yōu)?/p>

圖5

例2.一帶電量為+q的粒子處在豎直向下電場(chǎng)強(qiáng)度為E的勻強(qiáng)電場(chǎng)和垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，靜止釋放該電荷，求電荷的運(yùn)動(dòng)軌跡.

圖6