自然數四則運算的基本數學模型分析

劉加霞

北京教育學院初等教育學院院長，教育心理學博士，教授，教育部國培專家庫成員;提出“把握數學本質是一切教學法的根”“實證研究學生是有效教學的根本”“培訓實質是改變與創新”等觀點，以及“CARE伙伴式”校本研修模式;在《課程教材教法》《中國教育學刊》《中小學管理》《人民教育》《小學數學教師》《小學教學》等期刊發表論文百余篇，著作有《小學數學有效教學》《小學數學有效學習評價》《小學數學課堂教學設計》等。

從發生學角度看，人類解決現實問題的“本能”方法是數數，但是通過數數獲得答案太麻煩，于是人類首先“發明”了加法運算，然后是減法。同理，又“發明”了乘除運算，甚至其他更為“高級”的運算。因此，“發明”四則運算的根本目的是快捷、便利地解決問題。每一類運算解決不同類型的現實問題（對應不同的現實模型），是對現實問題的抽象。

自然數的四則運算所對應的現實情境模型是后續分數、小數四則運算的認知基礎。系統地梳理加、減、乘、除運算所對應的各類現實模型及各類模型之間的邏輯關系意義重大。正如弗賴登塔爾所說，強調邏輯結構（模式）可能比起算術（解決具體問題）更重要。整體認知四則運算所對應的各類模型，有助于教師把握數學學科本質，讀懂、吃透教材。

一、自然數加減法的不同現實模型

加法運算的產生與發展伴隨著自然數的產生與發展，數與運算的發展相互促進。加法是最基礎、最本質的運算，在其基礎上產生減法、乘法與除法運算。減法是加法的逆運算，由意義互為“相反”的現實問題情境決定。加減法能解決哪些現實問題呢？

富森明確提出，正整數加減法的現實意義主要包括靜態和動態模型，前者包括部分與部分的聚合以及兩個數量誰多誰少的比較，反映的是兩個數量之間的二元靜態關系;后者包括一個量的增加性變化與減少性變化，是一個一元動態變化的過程。卡朋特和默澤爾更加詳細地研究了加減法應用題，根據語義結構劃分出應用題的類型：變化型（麗麗有5塊糖，明明又給了她8塊，這時麗麗有多少塊糖？明明有8塊糖，他拿出了3塊給麗麗，明明還剩多少塊糖？）、結合型（麗麗有5塊水果糖和8塊奶糖，她一共有多少塊糖？麗麗和明明共有8塊糖，如果明明有5塊糖，那么麗麗有多少塊糖？）、比較型（明明有5塊糖，比麗麗少8塊，麗麗有多少塊糖？麗麗有8塊糖，明明有5塊糖，麗麗比明明多幾塊糖？）、相等型（麗麗有5塊糖，如果明明減少8塊就和麗麗的一樣多，明明有多少塊糖？麗麗有8塊糖，明明有5塊糖，明明還需要幾塊就和麗麗的糖一樣多？）。

一元動態情境的逆向加法問題（例如，飛機場現在停著6架飛機，“正在”飛走3架，問飛機場原來停了多少架飛機。）對大多數一年級學生而言，理解及解決這樣的問題都有困難，因為需要“時間倒流”的逆向思考，厘清已知條件與所求問題之間是加法關系，不能因為情境中出現“飛走”就用減法解決。學生理解減法的二元靜態關系（即差比關系）比一元動態關系（取走）更困難。因此，現行各版本教材所設計的“加法的初步認識”情境，首先是部分與部分的聚合，即“合并”情境，而“減法的初步認識”的情境則是一元動態情境，即“取走”情境。

加減法的相等型模型具有培養學生代數思維的價值，通過相等型模型，學生能夠更好地理解“=”的含義。史寧中建議，加法的初步認識應該采用相等型模型引入，而不是變化型（或合并型）。他認為這兩種類型不能很好地解釋“=”的“等價”意義。例如現行教材大多數用下面的方法引入：

于是就得到3+1=4，這樣得到4是利用了“=”的對稱性，因為自然數4=3+1，這樣引入加法當然可以，但沒有解釋“=”的含義。他認為用對應的方法（相等模型）引入加法更好。

首先給出下面的兩組方塊，問學生哪邊的方塊多？（學生知道誰多、多幾個）

然后，再拿出一個方塊加到左邊，形成下面的圖，問學生現在哪邊的方塊多？（一樣多）

在直觀圖示的基礎上解釋加法算式：3+1=4。

像這樣運用相等模型、按照對應的方法引入加法，是否適合一年級學生的認知特點，是否有助于滲透代數思想以及感悟加法本質——加上一個自然數比原來的數大等價值，還需要實踐的檢驗。目前很少有教材這樣處理。

除前述模型外，小學階段的加法問題還包括比賽場次或握手問題（二者的結構完全相同）。例如，有5支球隊（會場有5人），任意兩支球隊（兩人）之間都要進行一場比賽（一次握手），那么一共開展多少場比賽（握手多少次）。其直觀幾何模型就是“有多少條線段”問題：平面上有5個點（共線與不共線均可），任意兩點連接成線段，一共有多少條線段。前述問題可以分類討論，然后求一共有多少種情況，其本質仍然是“合并”問題，只不過怎么分類、分成幾類等問題是學生學習的難點，合理而正確地“分類”是問題解決的突破口。

加法運算能夠解決不同子類的“合并”問題。一般情況，各子類的交集是空集，其子集的并（相加）等于全集（部分+部分=整體）。還有一種情況，當子集的交集不是空集，全集就等于子集的并再減去交集，這就是小學數學中的“集合”問題，其本質仍然是加法模型。這兩種情況如以下兩幅韋恩圖所示。

二、乘除法的不同現實模型及其抽象數學模型

弗賴登塔爾、吉爾德·維格諾德、格里爾等都對自然數乘法的現實模型提出了各自的觀點。大致按照教材內容的編寫順序，筆者概括出小學階段乘除法的現實情境模型，并進一步分析各自所屬的數學模型。

1.等量組的聚集模型與映射模型

等量組的聚集模型就是日常所說的“相同加數連加”或者“幾個幾的和”問題，為了便捷而定義新運算——乘法。該模型也經常用語言表述為“每……共……”的方式，即仍然是靜態的合并關系。例如，每組有4人，5組共有多少人。乘法的映射模型就是從兩個集合（如貓的集合、爪的集合）對應的角度研究乘法數量關系。例如：1只貓有4只爪、2只貓有8只爪……5只貓有多少只爪。弗賴登塔爾稱這類問題的數學模型是從集合P到集合Q內的映射，使Q的所有元素都有相同個數的原像。

事實上，等量組的聚集模型也是映射模型，只不過為了適應學生的認知基礎，初步認識乘法時不是從“映射”角度引入，而是從“乘法是加法的簡便運算（靜態合并）”開始。這樣安排既適應學生認知特點，又凸顯乘法產生的必要性。筆者曾嘗試“初步認識乘法”一課用映射模型，以失敗告終，但各版本教材在編制乘法口訣內容時就已經運用了映射模型。例如，三輪車的輪子數量問題，以表格和直觀圖表示三輪車數量與輪子總數量之間的關系，為繼續學習正比例關系等做鋪墊。

需要注意的是，乘法映射模型中“乘數、被乘數”的地位不完全對稱，因而就有兩種不同的逆運算——除法：已知總數與份數，求每份中元素的個數，即“等分除”;已知總數與每份數，求份數，即“包含除”。雖然目前乘法運算不再區分乘數、被乘數，除法不再明確區分等分除、包含除，但在現實問題中，兩種除法的含義、操作過程（長除法）是不同的，是否區分“兩種除法”值得商榷。

2.偶對集：矩形模型與配對模型

弗賴登塔爾認為自然數的乘法有兩個數學模型，其一是映射模型，其二是偶對集模型，偶對集中的矩形模型意義更為重大。抽象地看，兩個自然數的積是由偶對集定義的，設A是a個元素的集合，B是b個元素的集合，則a×b是偶對集（A，B）的集合。在小學階段，偶對集主要包括矩形模型和配對模型。配對模型比較簡單，就是a件衣服與b條褲子可以搭配出多少套衣服的問題，下面重點分析矩形模型。

乘法矩形模型就是“每行有幾個，有這樣的幾行”，根據構成矩形元素的抽象程度而有不同的表示方法：直觀實物圖的矩形模型，半抽象、半直觀的點子圖，以及長方形的面積。矩形模型使得乘法運算直觀化、幾何圖形結構化，讓學生對乘法意義及算理達到可視化理解。例如，長方形的長是5厘米，寬是3厘米，則長方形可以被15個單位（每排5個，有這樣的3排）的小正方形覆蓋，即面積是15平方厘米。“厘米×厘米”得到“平方厘米”是學生認知上的難點，學生混淆長度、面積以及體積單位不僅僅是“馬虎”，而是認知困難導致的。

矩形面積模型，可以進一步推廣來理解分數乘法的算理，也可以用矩形模型將比率模型直觀化。例如，時間、速度分別是矩形的長、寬，則矩形面積就是路程。同樣，數量—單價—總價、工時—工效—總量、體積—密度—質量等現實數量關系，也可以用乘法的矩形模型表示，使抽象的數量關系直觀化、可視化。正如弗賴登塔爾所說，數學的特征就是把同構的步驟歸納成抽象模式，矩形模型就是通用于乘除法的模式，因為在該模型中，乘法的兩個因數是對稱的，就不必再按照哪個因子作除數而區分兩種除法了。

3.比率模型

兩個數量之間既有差比關系，還有倍比關系，前者由加減法運算解決，后者由乘除法運算解決。倍比關系對應乘法的比率模型，在小學階段可以再細分為同類量的倍數模型（例如，小明收集了9個礦泉水瓶，小紅收集的數量是小明的2倍，小紅收集了多少個）和兩個不同類量的變化率模型（例如，速度—時間模型、單價—數量模型、工時—工效模型、密度—體積模型等）。需要注意的是，單價、速度、工效等概念是用其他兩個異類數量的“比”，人為定義得到的，所以也稱為“導出的量”。這些量通過除法運算得到結果，用來刻畫事物的“變化率”，即變化的“快慢”程度。

三、自然數四則混合運算的現實模型

前面分析了自然數加減乘除運算的基本模型（數量關系），現實生活中還有大量的“復合模型”問題，即四則混合運算問題以及比例問題。后者是乘法結構中的核心內容，將另行撰文分析。

理解四則混合運算的意義及法則也需要借助現實模型。例如：算式“5×3+1”的生活模型是“信封里有3張5元的人民幣，信封外有1元人民幣，一共有多少元？”;算式“（1+5）×3”的生活模型是“1份早餐里有一個1元的雞蛋和一碗5元的八寶粥，3份早餐多少元？”。直觀的生活模型，既能幫助學生理解算式的意義和算理，也有助于學生歸納、概括出運算法則：“有括號的先算括號里的”“先乘除后加減”等。

助理編輯? 劉佳