一道常見力學題的解

蘇國珍

(廈門大學 物理科學與技術(shù)學院，福建 廈門 361005)

很多《力學》或《普通物理學》教科書[1,2]中都有以下這樣一道有關(guān)簡諧振動的題目：

如圖1所示，兩個半徑均為r的圓柱以大小ω0恒定角速度沿相反方向作定軸轉(zhuǎn)動，兩軸在同一水平面內(nèi)，相互平行，相距為2l.一質(zhì)量為m的勻質(zhì)長木板放在兩圓柱上，木板與圓柱之間的滑動摩擦系數(shù)為μk.設(shè)初始時刻木板的速度為零，其質(zhì)心C偏離平衡位置距離為x0(0

圖1

大部分的解答都認為之后木板作簡諧振動，但仔細分析，發(fā)現(xiàn)木板作簡諧振動是有條件的，在有些情況下木板的運動不再是簡諧振動.本文將分析不同情況下木板可能的運動規(guī)律.

1 ω0足夠大時，木板的運動規(guī)律

以處于平衡位置時木板的質(zhì)心為坐標原點O，水平向右為x軸正方向，建立圖2所示的坐標系.當質(zhì)心C離開平衡位置x時，木板的受力情況如圖中標示，其中FN1和Ff1為右圓柱對木板的正壓力和摩擦力，F(xiàn)N2和Ff2為左圓柱對木板的正壓力和摩擦力，F(xiàn)G為木板受到的重力，其大小為FG=mg，g為重力加速度.由于木板只在x方向作平動，因此

圖2

FN1+FN2=mg

(1)

FN1(l-x)=FN2(l+x)

(2)

根據(jù)式(1)和(2)可解得

(3)

(4)

于是木板在x方向所受的合力為

Fx=Ff2-Ff1=μk(FN2-FN1)

(5)

x(t)=x0cosωt

(6)

以上是大部分參考書中給出的解[3].需要指出的是，上述解成立的條件是木板與圓柱之間始終有相對滑動，這一條件要求vmax=ωx0≤ω0r，即

(7)

所以參考書上給出的只是ω0≥ωc條件下的解.

下面我們重點討論ω0<ωc時，可能出現(xiàn)的解.

2 ω0<ωc，靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)相等時木板的運動規(guī)律

若ω0<ωc，則當v(t1)=-ωx0sinωt1=-ω0r，即

(8)

時，木板與右圓柱之間無相對滑動，此時木板的質(zhì)心坐標：

(9)

假設(shè)之后木板與右圓柱之間能繼續(xù)保持無相對滑動，則木板將以速度ω0r向左作勻速運動.在勻速運動過程中，右圓柱對木板的靜摩擦力等于左圓柱對木板的滑動摩擦力，即

(10)

當靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)相等時，木板與右圓柱之間能保持無相對滑動的條件是

Ff1<μkFN1

(11)

將式(3)和式(10)代入式(11)可得：x>0.這一結(jié)果表明，只要x>0，上述關(guān)于木板與右圓柱之間無相對滑動的假設(shè)是正確的.

當x≤0時，木板與兩圓柱之間又開始相對滑動，開始滑動的時刻：

(12)

當t≥t2時，木板又恢復作簡諧振動.根據(jù)x(t2)=0，v(t2)=-ω0r，可得木板的運動方程為

(13)

任意t時刻的速度為

v(t)=-ω0rcos [ω(t-t2)]

(14)

由于v(t)≤ω0r，此后木板將一直作簡諧振動.

圖3

3 ω0<ωc，靜摩擦系數(shù)與動摩擦系數(shù)不等時木板的運動規(guī)律

一般情況下，兩物體間的靜摩擦系數(shù)μs不等于動摩擦系數(shù)μk，通常μs>μk.在μs≠μk的情況下，前兩個階段木板的運動規(guī)律仍然依次為不完整的簡諧振動和勻速運動，但與μs=μk的情況相比，第二階段持續(xù)的時間不同，第二階段以后的運動規(guī)律更復雜.下面我們作具體分析.

當μs≠μk時，木板與右圓柱之間保持無相對滑動的條件應(yīng)改為

Ff1<μsFN1

(15)

將式(3)和式(10)代入式(15)可解得

(16)

當x≤-x2時，木板與右圓柱之間產(chǎn)生相對滑動，開始滑動的時刻：

(17)

當t≥t2時，木板恢復作簡諧振動，其振動方程可表為

x(t)=A′cos [ω(t-t2)+φ′)]

(18)

其中A′和φ′可由x(t2)=-x2和v(t2)=-ω0r確定，結(jié)果分別為：

(19)

(20)

當木板質(zhì)心再次回到x=-x2時，木板的速度v=ω0r，此時木板與左圓柱之間無相對滑動，對應(yīng)的時刻可求得為

(21)

t=t3以后木板的運動可作類似分析，具體過程不再贅述.結(jié)果是：時間從t3到t4,其中t4為

(22)

對應(yīng)質(zhì)心坐標從-x2到x2，木板以速度ω0r向右作勻速運動；時間從t4到t5，其中t5為

(23)

對應(yīng)質(zhì)心坐標從x2到A′，再從A′到x2，木板作簡諧振動，振動方程為

x(t)=-A′cos [ω(t-t4)+φ′)]

(24)

時間從t5到t6，其中t6為

(25)

對應(yīng)質(zhì)心坐標從x2到-x2，木板以速度ω0r向左作勻速運動.

從t=t2到t=t6，木板完成一個周期的運動，其周期大小：

(26)

t=t6以后木板不斷地重復該周期內(nèi)的運動.

圖4