幾何理解洛倫茲變換的時空內涵

張 亮

(空軍軍醫大學 基礎醫學院，陜西 西安 70032)

狹義相對論是現代物理學的重要理論基石，也是大學物理課程中重要教學內容.但由于狹義相對論相關理論與人們所熟知的經典力學時空觀相悖，且難以進行實際觀測.這導致在教學過程中，學生對這部分內容感到抽象，難以理解其概念本質，更多是機械性的記憶、套用公式.

洛倫茲變換作為狹義相對論的核心內容，是開啟狹義相對論時空觀的關鍵“鑰匙”.在各個教材中都是重點講解部分并且是銜接后續狹義相對論時空觀的重要內容[1-3].如果不能及時理解洛倫茲變換的概念內涵，學生在后續學習中則很難將學習內容前后關聯，導致所學知識點孤立，難以形成完整的知識結構框架，不利于學生從整體上理解和把握狹義相對論.

為了讓學生加深理解洛倫茲變換，張元仲[4]、繆勁松[5]、王永剛[6]、秦立[7]等從圖示、模型、公式、示例等多個角度，對洛倫茲變換的推導引入以及狹義相對論時空觀中“長度收縮”、“時間延緩”等內容進行了探討研究.其中鄧魁英[8]基于閔式空間時空圖，從幾何層面對洛倫茲變換進行推導；魏益煥[9]基于空間幾何旋轉研究了洛倫茲變換與歐氏空間中旋轉變換的聯系.兩人的研究成果論證了從幾何層面直觀理解洛倫茲變換的可行性.對此，本文基于時空圖的二維旋轉變換，從幾何層面對洛倫茲變換中包含的時空變換關系進行分析，讓學生可以更直觀形象的理解二者之間的關聯，進而加深對洛倫茲變換本質內涵的理解.

1 時空變換簡化研究模型

伽利略變換、洛倫茲變換本質上解決的都是不同慣性參考系下，對物理事件P的坐標轉換.為了便于分析理解，我們將問題簡化，以圖1所示模型為例：在慣性系S和S′中建立坐標系.令兩個坐標系的y、z軸與y′、z′軸分別平行，x軸與x′軸重合.已知慣性系S′相對于慣性系S沿x軸以速度u做勻速運動.求空間中物理事件P在兩個慣性系下的坐標(x,y,z,t)與(x′,y′,z′,t′)之間的變換關系.

圖1 時空變換簡化研究模型

圖1模型在伽利略變換和洛倫茲變換中，均有：y=y′，z=z′.而(x,t)與(x′,t′)之間的變換關系，根據線性空間變換可知二者應滿足

矩陣A即為空間坐標變換矩陣.無論是伽利略變換還是洛倫茲變換，都是矩陣A的不同表達形式.

2 幾何理解洛倫茲變換的時空內涵

2.1 洛倫茲變換下時空坐標的幾何變換規律

由洛倫茲坐標變換公式可知圖1模型中事件P坐標(x,t)與(x′,t′)滿足

(2)

由此可得洛倫茲變換下矩陣A為

(3)

從式(3)很難直觀判斷變換矩陣A的幾何作用效果.為此先設

(4)

可知，式(4)滿足cos2θ+sin2θ=1.且矩陣A變為

(5)

已知[10]，歐式空間中二維旋轉矩陣A′為

(6)

矩陣A和A′存在相似性，因此可推測二者在作用效果上近似.

為了進一步理解并分析式(4)，在歐式空間中建立時空坐標系t-x并作出勻速直線運動速率u直線和單位圓x2+t2=1進行輔助分析，如圖2(a)所示.

圖2 歐式空間的時空坐標系與閔式空間的時空坐標系

從圖2(a)中可知：單位圓周與勻速直線運動速率u直線的交點(x0,t0)可用極坐標表達為(sinθ,cosθ)，其中sinθ滿足

(7)

若進一步假設光速c=1(這一假設的意義將在后面進行討論)，則式(4)可轉化為

(8)

對比式(7)，可知式(8)差異性在于虛數i在時間軸的引入.也由于i的引入，時空距離測度的表達不再是傳統歐式幾何中距離與時間的平方和，而變為了距離平方與時間平方負值之和，稱為閔可夫斯基距離測度[8].因此，相應的時空坐標系t-x也將從歐式空間轉換到閔式空間中.參考圖2(a)，我們在閔式空間中重建時空坐標系t-x，并作出勻速直線運動速率u直線.此時，用于輔助分析的單位圓x2+t2=1由于閔式距離測度的定義將轉變為雙曲線x2-t2=±1，如圖2(b)所示.和單位圓周的幾何意義一樣，單位雙曲線x2-t2=±1表示閔式空間中所有到原點的時空距離為1的點的集合.

從圖2(b)中可知，時空坐標系從歐式空間轉換到閔式空間后，單位圓周x2+t2=1變為單位雙曲線x2-t2=±1，且根據雙曲正余弦函數的定義與推導[11]，雙曲線t2-x2=1與勻速直線運動速率u直線的交點(x0,t0)可用極坐標表達為(shφ,chφ)，其中φ為雙曲線t2-x2=1的雙曲角，其大小等于對應曲邊三角形面積的2倍[12](如圖3所示).

圖3 雙曲角幾何意義示意圖(φ1等于直線x/y=u1與雙曲線y2-x2=1和y軸構成的曲邊三角形面積(虛線陰影部分)的2倍；圖中φ2等于直線x/y=u2與雙曲線y2-x2=1和y軸構成的曲邊三角形面積(實線陰影部分)的2倍)

因此，對比圖2(a)和(b)以及雙曲正余弦函數與正余弦函數的定義，可在閔式空間的時空坐標系下重新定義式(8)

(9)

可得閔式空間中洛倫茲變換下矩陣A為

(10)

該矩陣即為閔式空間中時空坐標系下的二維偽旋轉變換矩陣[9].時空坐標系t-x在該矩陣的變換下有如下特點：

1) 在該矩陣作用下，坐標軸t與x分別向直線x/t=1以相同的角度θ內旋靠攏(從數學關系上看也可以外旋分離).其中內旋角度θ大小恰好等于旋轉后的坐標軸t′與x′與單位雙曲線x2-t2=±1交點對應的雙曲角φ的大小.因此，時空坐標系t-x在洛倫茲變換矩陣A的作用下，也可以看成坐標軸t與x在第一象限內沿雙曲線x2-t2=±1進行內旋(如圖4所示)；

圖4 偽旋轉變換下時空坐標系變換示意圖

2) 從式(9)可知，坐標軸t與x內旋角度θ的大小與慣性系S’相對于慣性系S做勻速運動的速度大小u相關，u越大內旋角度θ越大.并且由于已假設光速c=1，根據光速為極限速度可知u/c的取值范圍應在0～1之間；

3) 偽旋轉變換與旋轉變換均為等長度旋轉，不同點在于，旋轉變換是沿著圓周進行等長旋轉，而偽旋轉變換是沿著雙曲線進行等長旋轉.并且理論上經偽旋轉變換后的時空坐標軸t′與x′會與任意一對以x/t=±1為漸近線的雙曲線x2-t2=±k2(k為任意常數)相交.這些雙曲線是閔式空間中到原點等距點的集合，類似于歐式空間中的圓(該特點的意義將在下一節體現).

因此，在解析了洛倫茲變換下時空坐標的轉換特征后，下面就可以從幾何層面進一步理解洛倫茲變換下時空變換的特點.

2.2 幾何理解洛倫茲變換下時間變換規律

圖5 洛倫茲變換下時間變換規律幾何示意圖

2.3 幾何理解洛倫茲變換下空間變換規律

圖6 洛倫茲變換下空間變換規律幾何示意圖

在圖6中，由前述特點3可知：該雙曲線與x′軸必然存在交點，且該交點恰為A′(x1′,0,0,0).并且從圖6中可知：在S′系中，直尺長度x1′的幾何長度在t′-x′坐標系下為|O′A′|，其經偽旋轉變換在t-x坐標系下的等幾何長度應為|OB|，在S系中，直尺長度x1的幾何長度為|OA|，|OB|<|OA|.因此在S系中看，直尺的長度縮短.同理當u越大，偽旋轉變換的角度θ越大，|OB|與|OA|之間的幾何長度差異也會越大：|OB|<<|OA|，尺度縮短程度越大.

2.4 幾何理解洛倫茲變換中的光速不變性

在洛倫茲變換中，光速不變性作為基本假設之一，具有十分重要的意義.2.1節中也是在假設光速c=1的前提下，才能進一步分析得到洛倫茲變換的時空幾何變換規律(若假設光速為其他常量：c=k0，也可以得出相應結論，只不過由于系數k0的引入，坐標變換將不再是等長變換，相對比較復雜).

已知雙曲線x2-t2=±1在第一三象限內的漸進線為x/t=1.根據假設條件，光速c=1，因此該漸近線可視為x/t=c，即光速線(如圖7所示).根據偽旋轉變換特點1可知：t-x時空坐標系在洛倫茲變換下，將沿著雙曲線x2-t2=±1進行等長旋轉變換為t′-x′系，不論旋轉角度θ大小，光速線始終為坐標軸t′與x′的角平分線，從幾何層面上體現出了光速c在不同慣性系S′下的恒定性.

圖7 洛倫茲變換中的光速不變性幾何示意圖

3 總結

綜上所述，本文基于時空圖的旋轉變換，從幾何層面對洛倫茲變換中包含的時空變換關系進行分析：洛倫茲變換在幾何上等價于從歐式空間到閔式空間中的二維偽旋轉變換.通過幾何圖像分析，學生能夠更加直觀理解洛倫茲變換中隱含的“鐘慢尺縮”時空變換特點以及光速不變性基本假設.“鐘慢尺縮”是狹義相對論時空觀的本質概括，理解了“鐘慢尺縮”，對學生后續學習狹義相對論相關內容具有十分重要的意義.