物理擺系統大擺角運動的阻尼研究

康秀英

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

物理擺運動結構在日常生活和工業生產中普遍存在，在大學物理教學中，物理擺也常常作為一類拓展項目，來訓練學生進行獨立科研能力[1-3].與簡諧振動這樣的線性系統不同，當物理擺大角度擺動時，恢復力與位移并不成正比，屬于非線性物理系統，例如其運動周期與擺幅明顯存在著依賴關系，并且在足夠大的擺幅下存在相對普通振動而言更為復雜的運動模式.另一方面，利用經典力學的基本定律可以對物理擺的動力學進行分析，并利用數值積分進行計算，從而探知物理擺系統的內部規律.物理擺系統盡管是一常規研究課題，但在探討擺運動的阻尼方面還有待作進一步深入研究.

本文借助于PASCO實驗系統平臺，利用其所屬的轉動傳感器可以測得物理擺系統的瞬時運動過程和機械能變化，并根據相應理論在Matlab中建立了一套模擬物理擺運動的模型用以進行數值模擬計算，模擬結果與實驗對照給出系統的阻尼參數.

1 考慮軸承摩擦和空氣阻力時物理擺運動方程

物理擺如圖1所示.在不考慮阻尼的情況下，根據剛體轉動定律，物理擺的運動方程為

圖1 物理擺示意圖

(1)

其中θ為擺角，m為系統質量，g為重力加速度，L為質心到轉軸距離，J為剛體轉動慣量.

式(1)中，當θ→0時，sinθ≈θ，此時的運動模式簡化為簡諧振動，振動周期為

(2)

(3)

設初始擺動幅度為θ0，可以得到擺幅θ0對應的物理擺周期與T0之間的比值為[4]

(4)

由于未考慮能量耗散，可以看出:θ0→π,T(θ0)→∞.而且擺幅越小，周期就越接近于小角度下的類簡諧運動的周期.

本文所用的PASCO實驗系統中，物理擺與轉動中心通過軸承連接，如圖2所示.系統中能量耗散主要來源于軸承轉動產生的摩擦力以及擺動過程中的空氣黏滯阻力.

圖2 物理擺受力分析

假設在擺動過程中，軸承的壓力與摩擦阻尼成正比，即

F=Nf

(5)

其中N是對軸承施加的壓力，f為軸承轉動摩擦系數，黏滯阻力與速度平方成正比，即

(6)

這里C為空氣阻力系數，ρ為空氣密度，S為物體迎風面積，v為物體與空氣的相對運動速度，此時式(1)變為

(7)

其中r為物理擺軸承半徑，M(F′)是F′對軸承的阻力矩大小.式(7)等號右邊的第二項為摩擦力矩，第三項為空氣黏滯阻力矩，方向都與擺動方向相反.

為了求解式(7)，需要給出壓力N的表達式，為此，對物理擺系統應用質心運動定理[5]:

(8)

(9)

根據式(5)、(8)和(9)可得

(10)

2 PASCO實驗系統

本研究實驗部分使用PASCOScientific生產的實驗系統平臺，其中主要部件是一個轉動傳感器，如圖3所示，它可直接測量隨時間變化的轉角信息，同時計算出角速度、角加速度、機械能等相關物理量的動態變化.圖中傳感器的轉軸就是物理擺的轉動軸.

圖3 PASCO實驗系統裝置圖

對于由細桿和作為配重的金屬塊組成的物理擺，根據式(6)，其空氣黏滯阻力和阻力矩可以近似計算為

(11)

(12)

3 實驗結果

本物理擺系統的儀器參數如下(如圖3)：擺細圓桿：長l=35.6 cm，質量為26.2 g，直徑a=8.10 mm，轉軸位于其中一端；配重金屬塊：高2.0 cm，直徑2.0 cm，質量75.4 g，位于擺的末端；軸承直徑2r=5.3 mm.模擬中，取空氣密度為1.293 kg/m3.

3.1 不同初始擺角物理擺的周期

圖4 物理擺的周期隨初始擺角的變化

3.2 物理擺系統軸承處摩擦系數的確定

物理擺系統中的阻力主要來源于軸承轉動產生的摩擦力以及擺動過程中的空氣黏滯阻力.當擺角不大時，擺的運動速度較小，摩擦力占主要因素，可以不考慮黏滯阻力的影響(即在Matlab程序中設空氣阻力系數C= 0).因此通過PASCO系統測得的擺角隨時間的變化關系，與Matlab數值模型結果對比，可以模擬出物理擺系統的摩擦系數的參考值.模擬中，取初始擺角θ0=10°，在Matlab模型中調節摩擦系數f的值，找到實驗測得值誤差最小時f值，如圖5，即實驗中PASCO系統軸承摩擦系數的參考值.

圖5 θ0=10°時擺角隨時間的變化

本研究中數值模擬的摩擦系數為f= 0.025,將此結果分別應用于同一物理擺不同初始擺角的情況，θ0=30°、90°、160°，結果如圖6所示.

圖6 僅計摩擦θ0=30°、90°、160°時擺角隨時間的變化

隨著初始擺角的增大，擺動的速度加快，空氣黏滯阻力逐漸增大，而摩擦阻力幾乎不變，圖6可以看出，實驗結果衰減明顯比計算得到的要快，因此需要進一步考慮黏滯阻力的影響.

3.3 空氣黏滯阻力系數的確定

同樣計入空氣黏滯阻力的影響，即在Matlab模型中調節式(6)中的參數C，摩擦系數仍然f=0.025，對比PASCO系統測得的擺角隨時間的變化關系，給出誤差最小時C的參考值.模擬得到空氣阻力系數為C=0.68，實驗和模擬結果的對比如圖7所示.對比圖7和圖6(b)—(c)，明顯看出加入黏滯阻力，擬合結果得到明顯地改善.查資料顯示[6]，圓柱體空氣阻力系數為0.73.由于空氣阻力系數與實驗中物體的形狀有關，且受環境影響，因此數值分布有一定范圍,本模擬中得出的值符合常規范圍.

圖7 計入摩擦和空氣阻力θ0=90°、160°時擺角隨時間的變化

3.4 物理擺系統機械能損耗

下面考察物理擺系統機械能在大擺角擺動過程中的衰減情況.為此，改變物理擺系統的配重，即增加金屬塊，塊數分別為0、1、2、3個，(配重0個意味只有細桿，如圖3)，利用PASCO系統給出的機械能隨時間的變化，與摩擦系數f=0.025和空氣阻力系數C=0.68時Matlab數值模擬的結果進行對比，如圖8所示，從而驗證本文結論的正確性.模擬中對于不同配重的擺，需要微調迎風面積.

圖8顯示，實驗和模擬結果相一致，驗證本文的理論模型正確可行，完全適用于分析本研究所用的物理擺系統的能量耗散.

圖8 不同配重時物理擺系統的機械能隨時間變化

4 結論

本文使用PASCO實驗平臺的轉動傳感器自動采集功能，探究了物理擺在大擺角情況下的非線性動力過程，考慮摩擦阻力和空氣阻力引起的擺的能量耗散，研究了不同初始擺角和不同配重的物理擺的擺角和機械能隨時間的衰減過程，并利用matlab進行了數值模擬，對比實驗和模擬結果，給出了本物理擺系統轉軸的摩擦系數為0.025，當取擺桿的圓柱表面面積的一半近似為式(6)中的迎風面積時，測試環境的空氣阻力系數的參考值為0.68.本課題采用的方法和結論將為研究軸承或鉸鏈等動力學建模問題提供參考.