一類三階線性非齊次微分方程的通解公式

張巧玲 陸海霞 劉曉蘭

【摘 要】本文研究三階線性非齊次微分方程 y'''+2a（x）y''+b（x）y'+c（x）y= f（x），且a（x），z（x）滿足微分方程組，提出利用已知一個(gè)特解的二階變系數(shù)齊次微分方程的降階，通過常數(shù)變易法求得其通解。

【關(guān)鍵詞】三階線性非齊次微分方程;常數(shù)變易法;降階

【中圖分類號】G642 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0007-02

數(shù)學(xué)作為工具學(xué)科，廣泛應(yīng)用于工程力學(xué)、物理學(xué)、種群動力學(xué)等領(lǐng)域[1-3]。對于其中極為重要的三階線性非齊次微分方程

對于系數(shù)函數(shù)滿足的三階線性非齊次微分方程 y'''+2a（x）y''+b（x）y'+c（x）y= f（x），其求解大體可按照以下步驟進(jìn)行：①將三階線性組合湊成關(guān)于因變量的二階線性微分方程的微分，兩邊積分，得到二階變系數(shù)非齊次線性微分方程;②對上述二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的齊次方程，利用其已知的一個(gè)特解，降階求得其另一個(gè)線性無關(guān)的特解，進(jìn)而得到齊次方程的通解;③利用常數(shù)變易法對上述通解進(jìn)行變易，求得待定系數(shù)函數(shù)，從而得到三階線性非齊次微分方程的通解[5-6]。

當(dāng)利用上述方法求解比較困難時(shí)，可以考慮其他方法，微分方程的求解技巧非常靈活，當(dāng)然也存在三階線性非齊次微分方程本身可能無解的情形。因此，三階變系數(shù)線性非齊次微分方程的可積性，至今仍是世界難題.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王高雄，周之銘.常微分方程（第二版）[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]羅亞平，陳仲.微分方程[M].南京：南京大學(xué)出版社，1987.

[3]敏志奇.一類變系數(shù)微分方程通解公式的求法[J].高等數(shù)學(xué)研究，2005（3）.

[4]張?jiān)疲~永升.一類二階變系數(shù)線性齊次微分方程的解[J].淮北師范大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019（1）.

[5]高煥江，徐迅迅，張翠麗.一類二階變系數(shù)非齊次線性微分方程的通解[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2019（6）.

[6]王明建，溫少挺.一類特型Riccati微分方程有解的充要條件及應(yīng)用[J].西安文理學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2019（6）.

【作者簡介】

張巧玲（1990～），女，漢族，山東臨沂人，碩士，講師。研究方向：微分動力系統(tǒng)，生物控制。

陸海霞（1976～），女，漢族，江蘇鹽城人，博士，教授。研究方向：生物數(shù)學(xué)。

劉曉蘭（1981～），女，漢族，江蘇徐州人，碩士，講師。研究方向：生物數(shù)學(xué)。