“人教版”與“北師大版”初中二次函數內容的比較研究

李欣

【摘 要】二次函數是初中數學滲透數形結合思想主要的知識點，利用二次函數建模在生活中隨處可見。二次函數內容不僅是初中數學的重難點知識，同時也是高中進一步學習函數知識的基礎，通過“人教版”和“北師大版”教材初中二次函數內容的比較研究，教師可更合理、更全面地開發教材資源。本文選取現行“人教版”與“北師大版”教材中的“二次函數”內容作為研究對象，從教材編排分布、課程章節課時安排、設計思路、欄目比較等四個方面進行比較和分析，得出“人教版”二次函數內容在素材的選擇、函數思想的滲透方面優于“北師大版”。

【關鍵詞】教材比較;二次函數;人教版;北師大版

【中圖分類號】G633..6 ?【文獻標識碼】A ?【文章編號】1671-8437（2021）10-0032-02

1 ? 研究的意義和背景

教材、教師、學生是教學活動的三大要素。教材，即課本，是連接教師的教和學生的學的重要工具，具有橋梁作用;數學教材研究在過去的幾十年中已經在國際數學教育界受到越來越多的關注[1]。合理地、正確地、科學地解讀數學教材對促進教學質量提升有著積極意義。

二次函數是初中數學函數板塊的重要組成部分，數形結合思想、方程與函數思想、分類討論思想等重要的數學思想方法在二次函數板塊得到了充分體現。二次函數應用廣泛，教師要讓學生掌握好二次函數的相關知識和技能，為學生后續的高中數學學習奠基。

2 ? 研究對象

《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》（下文簡稱《標準》）明確表示：為了體現數學課程的靈活性和選擇性，《標準》在內容標準中僅規定了學生在相應學段應達到的基本水平，教材編者及各地區、學校，特別是教師應根據學生的學習愿望及發展的可能性，因材施教，即“一本多綱”。本文選取現行“人教版”與”北師大版”兩個版本教材中的二次函數內容進行比較和分析研究。

3 ? 研究思路

本文對“人教版”與”北師大版”教材中的二次函數內容進行全方位的比較和分析，從整理視角切入，從教材編排分布、課程章節課時安排、設計思路、欄目比較等四個方面進行比較和分析。

3.1 ?“人教版”與“北師大版”教材編排的比較與分析

課程編排是指按照一定的目的性、邏輯性、學生的學習順序、實用性安排各章節的教學次序，使教材呈現的內容更具科學性，使整個學科體系的呈現上下連接，渾然一體。從課程編排上看，“人教版”九年級上冊教材分成四個章節，“二次函數”章節的教學安排在“一元二次方程”之后。有學者認為“人教版”初中數學教材更強調數學學科知識特點、知識的連貫性、知識的學習效率。放于本文的研究中可知，由于二次函數的涉及面廣，與一元二次方程、一元二次不等式有密切聯系，將一元二次方程的學習放于二次函數前，有利于知識的遷移和體現連貫性，對求解二次函數的交點坐標有幫助，能使學生更容易理解和掌握二次函數和一元二次方程的區別和聯系，如一元二次方程未知數的解便是二次函數的交點坐標;二次函數表示的是x與 y之間的關系，有無數解，而一元二次方程的x的值最多只有兩個，進而有助于學生實現函數與方程知識之間的相互轉化，運用函數與方程思想解決問題。“人教版”教材在二次函數的安排上一定程度地體現了知識的連貫性，有助于提高學習效率。

“北師大版”九年級上冊教材分為四個章節，“二次函數”章節的教學安排在“反比例函數”之后。有學者認為“北師大版”初中數學教材具有較強的邏輯性和系統性。函數是研究運動規律的一種模型，是初中數學教學的重點之一。通過逐步學習正比例函數、一次函數、反比例函數、二次函數，學生能對比、總結、探索基本初等函數的解析式、圖象、性質的思維模式和研究方法。“北師大版”教材的函數教學安排確實具有一定的系統性。

3.2 ?“人教版”與“北師大版”教材課程章節安排比較與分析

相同點：從頁數上初步判斷，“人教版”與“北師大版”教材在篇幅上分別為28頁、29頁，不相上下;二次函數的內容涉及三大部分，即圖象、性質、應用;均有課外閱讀材料;章末有針對本章知識點的總結和復習題。

不同點：整體上，“人教版”教材將二次函數分成三大板塊，即二次函數圖象與性質、二次函數與一元二次方程、實際問題與二次函數，其中包含兩個閱讀材料、一個數學活動。“北師大版”教材同樣將二次函數分成三個大方向，即二次函數的圖象、二次函數的性質、二次函數的應用，包含一個閱讀材料。課時安排在整體上雖然都分成三個部分，但是在細節上側重點不一樣。細節上，“人教版”教材將二次函數的圖象和性質作為一個小節，且將一個小節分成四個小課時，從最簡單的關于 y軸對稱的二次函數開始，接著講解二次函數的頂點式，最后過渡到一般式，在每一種函數解析式上都強調利用函數圖象推理函數性質，圖象和性質作為一個整體學習。“北師大版”教材將二次函數的圖象和性質分別作為一個課時學習，從頁數上可以判斷出“北師大”教材更強調函數圖象的學習，且利用閱讀材料做了一個探索二次函數系數與圖象的關系的活動。由此可知，編者認為函數圖象的掌握程度影響著函數性質的學習。

“人教版”教材第2節“二次函數與一元二次方程”單獨作為一個課時，可見教材更重視前后章節知識的緊湊性和承上啟下，真正將方程與函數思想的運用貫徹在教材中。

關于閱讀材料。“人教版”教材有兩個閱讀材料，一個主要是探索二次函數的性質，利用計算機畫圖軟件，畫出二次函數的圖象，觀察坐標的變化，探索函數的開口方向、單調性、頂點坐標以及二次函數與一元二次方程的關系;另一個是根據實際問題中的有關數據，通過數形結合求出函數，即利用函數建模解決實際問題，使學生意識到學習函數是為了更好地服務于生活實際。“北師大版”教材有一個閱讀材料，利用數學軟件的繪圖功能，繪制一個動態函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象，通過改變系數a、b、c的值來探索二次函數系數a、b、c與圖象的關系。綜上所述，三個閱讀材料的側重點不同，“人教版”教材強調性質和應用;“北師大版”教材強調函數的圖象。從這一點看，“人教版”教材的二次函數課外探究內容更豐富。

“人教版”有數學活動課，而“北師大版”沒有。數學活動課不僅能夠調動學生的數學思維，引導學生用數學方法完成數學任務，而且能對所學知識起到很好的鞏固作用，增強數學的趣味性。

3.3 ?“人教版”與“北師大版”教材設計思路的比較和分析

“人教版”教材設計思路：從一幅插圖入手，插圖選用的是帶有各種形狀的噴泉，形似二次函數的圖象，創設情境，使學生帶著問題進入新的學習內容。第一課時“二次函數”中，通過兩個實際問題的詳細解答，引出二次函數的概念、解析式。第二課時“二次函數 y=ax2的圖象和性質”中，通過列表法得到函數 y=ax2的圖象，引導學生根據圖象學習函數的性質，如開口方向、單調性、頂點、根的情況、對稱軸等。第三、四課時設計思路同上。第五課時“二次函數與一元二次方程”中，引導學生從二次函數的實際問題入手，看待一元二次方程，通過解答該例題得到函數與方程根的關系，利用二次函數 y=ax2+bx+c深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0根的判別式。第六課時“課外活動課”中，利用計算機畫圖軟件，畫出二次函數圖象，探索二次函數的性質。第七課時“實際問題與二次函數”中，以豎直向上拋出的小球為例，介紹生活中的售價問題與二次函數的應用。最后小結“復習題”。

“北師大版”設計思路：章頭圖是一扇上部是圓，下部是矩形的窗戶，提出數學模型這一概念。第一課時“二次函數”中，通過列出三個函數表達式，闡釋二次函數的解析式。第二課時“二次函數的圖象”中，對二次函數不同系數下的表達式通過列表法畫出函數圖象。第三課時“二次函數的圖象”中，通過不同二次函數的解析式的圖象探索二次函數的性質。第四課時“二次函數的應用”中，以章頭圖的窗戶為例子并解答，給出應用二次函數求實際問題的方法。最后小結“復習題”。

“人教版”與“北師大版”教材設計思路的共同點：章節開頭都以章頭圖創設情境，以問題導入學習，立足生活，降低二次函數的抽象理解程度;在二次函數圖象和性質的學習后，對函數的應用進行學習。

“人教版”與“北師大版”教材設計思路的不同點：“人教版”教材對二次函數圖象和性質是一起授課，“北師大版”對二次函數圖象和性質是分開講解。“人教版”教材引入了二次函數與一元二次方程，“北師大版”教材則沒有。

3.4 ?“人教版”與“北師大版”教材欄目比較和分析

“人教版”教學流程如下：以實際問題與二次函數為研究對象，問題引入—解答—探究—分析—復習鞏固—綜合運用—拓廣探究。“北師大版”教學流程如下：以二次函數的應用為研究對象，問題引入—解答—課內作業—作業題—設計題。從數目統計結果來看，“人教版”教材多于“北師大版”教材，“人教版”教材的內容素材更加豐富。從內容上來看，兩個版本的教材的每個章節的欄目涉及的素材都有知識點的講解、練習鞏固、探索。

4 ?研究結果

從課程的編排分布上，“人教版”教材注重知識的連貫性和緊湊性;“北師大版”教材強調知識的類比推理，更加注重知識的系統性。

課程章節安排上，“人教版”教材和“北師大版”教材整體上的安排是一致的，雖然對二次函數圖象和性質的處理順序不一致，但包含的知識點和邏輯順序很完整。“北師大版”教材可以增加一元二次方程與二次函數的相關知識，滲透函數與方程思想;增加數學活動課，激發學生的探索欲和求知欲。設計思路的比較和分析上，“北師大版”教材可繼續由章頭圖導入，講解二次函數的圖象、性質、應用，增加函數與方程的相關知識。欄目的比較和分析上，“人教版”教材的內容素材更豐富。“北師大版”教材可以增加課外閱讀材料，使教材更具有趣味性。研究結果表明，在二次函數這一章節，在素材的選擇、函數思想的滲透以及課外閱讀材料、教材趣味性等各個方面，“人教版”教材都優于“北師大版”教材。