導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用：函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值

周淑文

【摘要】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值等問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)中的重要問(wèn)題，也是高考數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)。在高中數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用中，利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題也是學(xué)生對(duì)于函數(shù)問(wèn)題頭疼的問(wèn)題， 文章通過(guò)利用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了導(dǎo)數(shù)的重要性。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù);函數(shù);應(yīng)用

引言

隨著科技和經(jīng)濟(jì)的不斷發(fā)展，人們對(duì)于教育的重視程度也在不斷加強(qiáng)，而數(shù)學(xué)是關(guān)乎學(xué)生高考成敗的關(guān)鍵科目。教育部門(mén)目前也提出了教育教學(xué)改革的新的標(biāo)準(zhǔn)。作為一門(mén)基礎(chǔ)性的課程，函數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的重點(diǎn)和難點(diǎn)知識(shí)，學(xué)生在高考時(shí)數(shù)學(xué)的失分在函數(shù)的部分也占來(lái)很大部分的比例，高中函數(shù)部分的內(nèi)容具有抽象性，所以學(xué)習(xí)起來(lái)會(huì)比較困難。因此，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中，作為教師，要在對(duì)于知識(shí)可以融會(huì)貫通的基礎(chǔ)上，可以借助一定的教學(xué)方法，可以更透徹，更快的掌握有關(guān)導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，本文就導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性，極值等做了相關(guān)闡述，以此對(duì)函數(shù)的教學(xué)方法進(jìn)行進(jìn)一步的研究。

一、教學(xué)過(guò)程中提高數(shù)學(xué)思想的重視

數(shù)學(xué)思想的充分運(yùn)用主要是建立在學(xué)生對(duì)于函數(shù)的基本知識(shí)充分利用的基礎(chǔ)上，包括導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的定義，概念等。比如，在講授函數(shù)的零點(diǎn)知識(shí)時(shí)，可以將數(shù)形結(jié)合和函數(shù)與方程的數(shù)學(xué)思想等相互關(guān)聯(lián)，在理解函數(shù)零點(diǎn)的前提之下，還要求學(xué)生們將函數(shù)零點(diǎn)理解為方程的解，同時(shí)，也可以理解為求函數(shù)的交叉橫坐標(biāo)。同時(shí)，在后期學(xué)習(xí)過(guò)程中，在可以用到函數(shù)零點(diǎn)的地方，都可以隨時(shí)運(yùn)用[1]。

數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)在于多學(xué)多練，雖然導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的定義看似簡(jiǎn)單，但是涉及到題目時(shí)，學(xué)生還是會(huì)無(wú)從下手。因此，充分利用數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的有效方法[1]。

數(shù)學(xué)思維的建立，是學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)更深一步學(xué)習(xí)的一塊墊腳石，建立數(shù)學(xué)思維，有助于學(xué)生思維的擴(kuò)展，提高思維轉(zhuǎn)換能力。借助于數(shù)學(xué)思維，可以幫助學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題充分利用數(shù)學(xué)知識(shí)，從多方面，多個(gè)角度去思考問(wèn)題，提出更多更有效的解決辦法[2]。

二、充分重視對(duì)于概念知識(shí)的教學(xué)

函數(shù)的學(xué)習(xí)方法基本以兩種為主：一般到特殊和特殊到一般。從一般到特殊地學(xué)習(xí)方法，就是先講解函數(shù)，導(dǎo)數(shù)的基本概念，然后通過(guò)對(duì)于函數(shù)與函數(shù)變量的關(guān)系，讓學(xué)生充分認(rèn)識(shí)函數(shù)的定義域，值域之間的相互關(guān)系，通過(guò)一步步地銜接，讓學(xué)生對(duì)于函數(shù)的性質(zhì)可以更好地理解。從特殊到一般的方法是，教師通過(guò)教學(xué)授課，使學(xué)生在牢固掌握初中的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)等的基礎(chǔ)之上，再學(xué)習(xí)函數(shù)的概念，進(jìn)一步學(xué)習(xí)函數(shù)的性質(zhì)，為高中階段學(xué)習(xí)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等其他函數(shù)打下基礎(chǔ)[2]。

三、多關(guān)注理解能力較差學(xué)生

理解能力稍弱的學(xué)生對(duì)于學(xué)習(xí)的畏懼心理會(huì)更強(qiáng)烈，尤其是對(duì)于數(shù)學(xué)，教師要利用多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，讓這些學(xué)生也能逐步理解導(dǎo)數(shù)，函數(shù)等相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。

四、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)性質(zhì)問(wèn)題

導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)學(xué)習(xí)的開(kāi)端，在函數(shù)學(xué)習(xí)中的作用也是不可言喻的，下面將利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)極值、單調(diào)性、最值等一一做一個(gè)介紹。

（一）利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性

函數(shù)的單調(diào)性也是函數(shù)中重要性質(zhì)之一，利用導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)的單調(diào)性可以利用拉格朗日中值定理求解[3]。拉格朗日中值定理內(nèi)容 ：函數(shù)f（x）在在區(qū)間[c d]內(nèi)連續(xù)，（c d）內(nèi)可導(dǎo)，一定可以找出一點(diǎn)q，使得等式f（q）= 成立，從而可以借助導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性。

注：本例可以看做是要求復(fù)合函數(shù)方程的求解單調(diào)區(qū)間的問(wèn)題，要快速準(zhǔn)確的解決這個(gè)問(wèn)題，就要培養(yǎng)學(xué)生們的一個(gè)習(xí)慣，那就是看到這種問(wèn)題先確定復(fù)合函數(shù)的形式，并寫(xiě)出，這要求學(xué)生對(duì)于函數(shù)與復(fù)合函數(shù)要較為熟悉，其次在根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域，逐步去尋找解題思路。在此過(guò)程中，要從內(nèi)至外，以此求解，直到最終求得外函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在解題過(guò)程中，就是要培養(yǎng)學(xué)生這種將問(wèn)題簡(jiǎn)單化的思維。

（二）利用導(dǎo)數(shù)求極值

極值只是與極值點(diǎn)左右兩邊接近的函數(shù)值進(jìn)行相比，得出的一個(gè)數(shù)值，求極值時(shí)，可以借助導(dǎo)數(shù)先研究函數(shù)的駐點(diǎn)和單調(diào)性，最后求極值[3] 。

注：首先區(qū)分極值和最值的區(qū)別，根據(jù)極值的定義知道要求駐點(diǎn)。再看題目中的函數(shù)，把它和方程聯(lián)系起來(lái)，可以看做是一個(gè)一元三次的方程，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的反映關(guān)系，求出函數(shù)的單調(diào)性，然后按照極值的定義求出極值。這里要注意的事解題思路，要把問(wèn)題轉(zhuǎn)化，要求學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)能夠熟練的運(yùn)用，要講思維發(fā)散開(kāi)，將問(wèn)題一步步轉(zhuǎn)化。

結(jié)束語(yǔ)：

綜上所述，導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)，在解決函數(shù)問(wèn)題中有極大的作用，為研究有關(guān)函數(shù)的問(wèn)題提供了新的解決途徑。只有教師能夠做好教導(dǎo)工作，學(xué)生才能更好學(xué)好這一部分知識(shí)。因此，高中數(shù)學(xué)教師不僅要教學(xué)生書(shū)本的知識(shí)，還有經(jīng)驗(yàn)，最重要的是思維方式，如何把一個(gè)復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，學(xué)會(huì)把題目分解，這同樣很重要。

參考文獻(xiàn)：

[1]楊麗.分析導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用[J].青年文學(xué)家，2009，（4）：158.

[2]何秋霞.例談導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的運(yùn)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2016，（19）：86-88.

[3]羅先文."函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)"教學(xué)設(shè)計(jì)[J].湖南教育C，2016，（1）：50-51.2F76D965-F8FA-426D-9F18-8818C98A7004