《等比數列》教學案例

唐春嬌

【案例背景】

數列是研究現實世界離散問題的數學工具，其中蘊含著函數思想以及方程思想，而等比數列是數列模塊的重要內容之一，也是學生學習等差數列相關知識后展開的學習活動。對此，教師可采用與等差數列相關內容類比的方法，進而降低學生的學習難度，提高學生的學習效果。

【案例片段】

一、構建情境，引入課題

由于等比數列的定義較為抽象，因此，教師結合學生的認知需求構建了趣味化的情境，其中，情境1為“細胞分裂”的實例，讓學生列出每次分裂后細胞的個數;情境2以“一日之棰、日取其半、萬世不竭”為背景，分別列出所剩的量;情境3：計算機病毒的傳播速度為1，20、......，讓學生通過對三個情境問題進行自主分析、觀察、比較，找出所列式子共同的特點。隨后，教師再引導學生仿照以上數列寫出一個具有以上特點的數列，這便使得每個學生對等比數列產生初步的感性認識，為后續完成等比數列相關概念的構建奠定基礎。

二、強化類比，自主感悟

由于學生對等差數列的相關概念有了一定的理解與認識，基于此，教師讓學生根據概念的理解列出幾組等差數列，對比等比數列，自主感悟兩種類型數列的不同，并結合等差數列的概念，概括等比數列的概念。在此過程中，教師將課堂還給學生，并給他們一定的空間，完全讓學生根據原有認知與經驗說出等比數列的概念，這樣一來，既發揮學生的能動性，還強化了新舊知識之間的聯系，使學生建立新舊知識體系。

三、合作完善，得出概念

在學生運用個人語言說明等比數列概念后，為了進一步完善概念的準確性，教師首先組織學生進行討論，再與師生共同討論。其中，教師重點指出幾個問題，如：等比數列實質上是“比相等”的數列，但公比是指后一項與它前一項的比值，而不是前一項與它后一項的比值;要正確理解常數的含義，這個常數是相對項數而言的，也就是這個常數與項數無關。此外，對一個數學概念除了充分理解這個概念的引入、本質意義等基本要素外，還需要挖掘更加深層次的含義，為了讓學生澄清迷惑點以及易錯點，教師提出問題，即：等比數列的第一項可以為0嗎？公比q是否可以為0？以問題為導向，讓學生深入探討，這樣能夠使學生把握數學概念的本質，進而幫助他們切實掌握等比數列的概念。

四、實踐落實，當堂訓練

為了使學生真正理解、領會、掌握和鞏固等比數列的概念，教師指導學生當堂訓練，并出示問題，如：如果一個公比為q的等比數列各項均改為它本身的相反數，所得到的數列是否為等比數列？如果一個等比數列的各項均改為它本身的倒數，所得到的數列是否為等比數列？類似這樣的問題能夠引發學生的認知沖突，激發學生的積極思考與探究。在探究活動中，學生能夠將等比數列的概念遷移到具體問題中，經過辨析的過程，充分把握了等比數列的本質與內涵。

五、反思提升，歸納總結

在小結過程中，教師給學生充分的空間，讓他們結合本節學習內容進行反思、總結，這樣既有利于學生區別等差數列、等比數列的數學概念，還能通過反思找到易錯點，并找到思維矛盾、解決思維矛盾，深化對等比數列相關知識的內化與吸收，此外，也實現學生的數學知識水平的不斷提升以及數學認知結構的不斷完善。

【案例反思】

一、調動學生的主體性

現代教育理念強調學生主觀能動性的發揮，而傳統的教育理念卻忽視了這一點，對此，在本章節教學中，教師落實“以學生為主”的教育觀，并強調學生主體性的彰顯，其中，一方面，教師在構建情境時，主要圍繞著學生的認知需求，結合學生的現有認知思維水平構建具體的問題情境。學生能夠自主參與到問題的探究活動中，并初步對等比數列產生感性認識。另一方面，由于學生對等差數列的概念有了充分的理解，在此基礎上，教師并沒有將等比數列直接告訴學生，而是建立在學生已有知識的基礎上，給學生一定的空間，讓他們運用自己的語言初步表達等比數列的概念，這樣一來，不僅能夠使學生找到舊知識的生長點，以此構建新的認知體系，還能充分發揮學生的能動性，使他們完成新知識的建立?？梢?，本章節教學活動主要圍繞著學生的學而展開，并且教學活動的效果落實到每個學生身上，將以學科中心的理念轉化為以學生為中心的理念，以此強化了學生主體性的發展。

二、培養學生的探究力

數學知識是學生自主構建的結果，并且高中數學知識的學習并不僅僅需要學生把握基礎知識，還需要達到啟發學生思維的目的，進而讓學生的探究能力得到不斷提升。對此，在本章節教學活動中，教師采用“啟發式”的教學方法，首先，在引入教學主題時，教師采用情境的方式導入，讓學生思考情境問題，列出具體的數學模型，隨后，教師引導學生通過觀察、分析、歸結總結初步對等差數列有了感性認識。其次，為了使學生能夠避免進入到等差數列概念的思維誤區中，教師則以問題的方式啟發學生的思考，這樣便使得每個學生產生探究的興趣，并產生積極的探究行為。在思考問題的過程中，學生能夠深入思考，分析等比數列的第一項以及公比的范圍，使學生完善數學認知結構，提高數學認知能力。

三、隨堂練習層次不足

雖然在本章節教學活動中，教師落實了學生為主的教育觀，并以培養學生的探究能力為主，但還未真正落實因材施教原則，這主要體現在隨堂練習的層次不足。首先，基礎較好的學生反映出課堂容量較小，也有部分學生反映了練習題比較簡單，這便直接體現出了隨堂練習在層次上沒有太大差異，不能很好地滿足各個層次學生的需要，對此，教師在今后的練習題選擇方面應精心設計，并多查閱資料，精選細練，對不同層次的學生設計出符合他們認知需求的練習問題，進而讓每個學生都能找到適合他們個人實際的練習，幫助他們更好地理解當堂的基礎知識，這樣不僅能夠使每個學生在“最近發展區”內提高數學認知水平，還能滿足學生個人數學認知需求，實現課堂學習的時效性。