考慮不對中-不平衡耦合故障影響下的轉子系統振動抑制研究

令狐梓豪，楊 洋，葛玉梅

（西南交通大學力學與工程學院，成都610031）

引言

由于材料、加工等因素的影響，轉子系統會存在質量不平衡、聯軸器安裝偏差等故障。據統計，不平衡和不對中故障占轉子故障的70%以上［1］，這些故障會引起轉子系統劇烈振動，影響設備的正常運行，嚴重時會導致軸系斷裂等嚴重事故［2］。傳統消除轉子不平衡、不對中等故障的方法主要是對轉子進行動平衡處理，然而無論是使用動平衡機或者現場動平衡處理都要經過多次啟停機和拆裝轉子才能完成，這將造成高昂的費用和大量的人力［3］。除了上述措施以外，開展有效的振動抑制策略也是提升轉子系統運行平穩性的方法之一。

振動抑制方法主要包括主動控制和被動控制兩種。受旋轉機械運行環境以及工作轉速等因素的影響，被動控制因其不需要外界能量注入等優勢得到了更為廣泛的應用［4］。其中，采用動力吸振器實現轉子系統的振動抑制是目前關注的熱點之一。當動力吸振器連接到主系統時，通過能量轉移機制，將主系統中的振動能量有效的傳遞到子系統中，進而實現主系統（轉子系統）的振動抑制。當動力吸振器連接到主系統時，通過能量轉移機制，將主系統中的振動能量有效的傳遞到子系統中，進而實現主系統（轉子系統）的振動抑制。傳統的線性動力吸振器，如調諧質量吸振器（TMD）僅能在狹窄的頻帶內降低系統振動［5-6］，且容易出現非線性失穩［7-8］等問題。相較之下，非線性動力吸振器以其減振頻帶寬，抑制效果好等優勢逐漸受到了更為廣泛的關注。

Valalis等［9］設計了一個小質量具有非線性彈簧和粘性阻尼器的減振器，他將這種具有強非線性剛度，能單向吸收主體結構振動能量并通過耗能元件將其耗散的吸振器命名為Nonlinear energy sink（NES）。研究表明［10］NES能夠在較寬的頻帶范圍內高效吸收被吸附結構的能量，同時用自身的阻尼器件將其消耗。對于NES質量、剛度以及阻尼系數的選擇，熊懷等［11］用理論推導發現，非線性耦合系統要實現能量傳遞，NES的參數在這一過程中有著重要作用。文獻［12］研究了NES對施加簡諧激勵力的兩自由度系統的減振效果。文獻［13］對NES中非線性耦合振子傳遞能量的條件進行了分析，并研究了在雙共振峰工況下NES的力學特性。文獻［14-16］通過數值仿真和實驗手段，在線性振子施加一簡諧載荷并用NES與振子連接的耦合結構進行了研究。文獻［15］發現在準周期激勵時，NES對耦合系統的減振效果十分明顯。文獻［16］研究了耦合系統的周期響應中出現的分岔現象，發現了產生準周期響應的原因。Starosvetsky等人［17-18］發現，NES產生強制振動時，其對耦合系統的減振效果最明顯。

以上的研究表明了NES在轉子系統中振幅抑制效果的有效性，但是在針對轉子系統的研究中，NES對轉子不對中、不平衡引起故障的減振方面研究較少。因此，本文提出了一種用于耦合轉子系統的NES具體結構，通過數值仿真得到對該系統的減振效果。

1 轉子-NES耦合系統動力學方程

1.1 NES-轉子耦合系統動力學方程

為了減少不對中及不平衡故障帶來的振幅，使用了NES對其減振，NES按結構分為3部分：NES質量、非線性彈簧結構和阻尼元件。NES質量m通過兩個非線性彈簧以及阻尼元件與轉子進行耦合，為了將NES的運動限制在轉子系統的徑向，需要一根固定的桿在轉子內并與NES連在一起，即NES只能沿著固定的桿滑動。由于轉子存在不對中、不平衡故障，當轉子轉動時，會與NES產生一個相對運動，從而將轉子系統的能量轉移到NES上并通過阻尼元件耗散，從而減少轉子系統故障引起的振幅。

如圖1所示，模型的左側為電機，電機與右側轉子系統由聯軸器相連。令mrp、mrbL和mrbR分別為轉盤、左端軸承和右端軸承的等效質量，k為轉盤左右轉軸的剛度，kL為彈性軸承的剛度，crp、crb分別為轉盤、軸承處的阻尼，ΔE為綜合不對中量，e為轉盤的不平衡量，mc為聯軸器的質量，kNES、cNES為NES的非線性彈簧剛度和阻尼器的阻尼。

圖1 耦合轉子系統示意圖

為了計算方便，采用了集中質量法，因為是對稱轉子系統，轉軸的質心在轉盤上，同時轉軸的質量相較于轉子系統而言影響較小，可以忽略不計。轉軸是細長柔性的，當轉軸的振動較為劇烈時，位移-應變的幾何非線性較為明顯。因此結構共有7個自由度，分別為轉盤的水平位移xrp和豎直位移yrp，左端軸承處等效質量的水平位移xrbL和豎直位移yrbL，以及右端軸承處等效質量的水平位移xrbR和豎直位移yrbR，還有NES在轉盤相對滑動位移r。

NES結構模型以及在轉子圓盤中的安裝位置如圖2所示。用直角坐標系來描述轉子形心O（x1，y1）、轉子質心O′（x2，y2）、NES質心O″（x3，y3）的位置，NES的安裝角度β是相對于轉子質心設定的，圓盤處的運動方程為：

其中x3＝xNES，y3＝yNES。

圖2 NES結構模型以及在轉子圓盤安裝位置

根據該模型得到轉子-NES耦合系統的動能、勢能、耗散能函數為：

將式（2）代入式（3）中，即可得到該轉子耦合轉子系統的動力學方程：

在上式右邊中，FxL、FyL、FxR、FyR是左端支承、右端支承的x、y方向的支撐力，mrbL、mrbR、mrp、mNES分別為左端支承、右端支承、轉盤、NES的集中質量，Fpx、Fpy為x、y方向的不對中激振力，Fx、Fy為x、y方向的不平衡激勵力。由于不對中故障產生的激振力對轉盤的影響較大，將其作用在轉盤上［19］。在轉子支撐處，線性支撐對系統提供的支撐力為：

1.2 不平衡激故障

圖3所示為帶有不平衡故障的轉子系統模型，轉盤質量為mrp，轉子圓盤的剛度和阻尼分別為krp、crp。轉盤的形心和質心分別為O、O′，偏心距為e，轉子轉動的角速度為ω。得到轉子的動能、勢能、耗散能分別為：

式中x1、y1為轉盤形心處的水平和豎直位移，x2、y2為轉盤質心處的水平和豎直位移。質心和形心的水平位移關系為x2＝x1＋e cos（ωt），豎直位移關系為y2＝y1＋e sin（ωt）。

圖3 轉子不平衡模型圖

令L為Lagrange函數，L＝T-V，其中，T為廣義動能，V為廣義勢能；廣義力為Qj，廣義坐標為qj，則該系統的Lagrange函數為：

將式（6）代入式（7）得到該系統的動力學方程：

式（8）右邊第一項為偏心質量產生的不平衡激振力，即水平和豎直方向上的不平衡激振力為：

當引入NES吸振器后，不平衡激振力將滯后一個β角度，即吸振器安裝位置與轉盤質心的夾角。式（9）變為：

1.3 不對中故障

轉子的不對中模型如圖4所示，其中右、左半聯軸器的運動中心分別為O1、O2，兩半連軸器之間的距離為ΔL，角度偏差為α，平行不對中量為γ，聯軸器外殼的靜態、動態運動中心分別為O、P。當轉子系統轉動時，點P以O點為圓心，半徑為綜合不對中量ΔE做圓周運動，其中ΔE＝γ＋ΔL tanα。

圖4 綜合不對中故障運動模型示意圖

聯軸器的運動軌跡可以表示為P（x，y），轉子旋轉的角速度為ω，以轉角α為自變量，則x、y的表達式為：

將式（11）對t求2階導數，得到點P的加速度為：

當聯軸器的質量較大時，會對轉子系統的轉軸承施加一個不對中的激振力Fp，導致不對中故障的產生，激振力Fp在x、y方向上的分力分別表示為：

在上式中mc為聯軸器質量，ΔE為綜合不對中量。聯軸器對轉軸產生x、y方向上的不對中激振力Fpx、Fpy。

2 數值仿真與分析

為了方便運算與優化NES的參數，將式（4）進行化簡，其中NES質量和剛度的參數為ε、η，化簡得：

本文采用四階-龍格庫塔法對該模型進行數值仿真與分析，根據文獻［20］中的轉子參數，選取本文中轉子系統的計算參數為：mrp＝32.1 kg、mrb＝4 kg、mc＝2.61 kg、crp＝2100 N·s/m，crb＝1050 s/m，k＝2.5×107N/m，e＝1 mm，為了達到NES有良好的減振效果，需要對其質量參數ε、剛度參數η進行優化，同時也要確定安裝位置對減振效果的影響。

2.1 NES對耦合轉子系統的減振控制分析

當轉子系統高速運轉時，為了保證NES對轉子系統減振效果的有效性，需要對其本身結構參數進行選擇，同時安裝角度也是不可忽視的一個重要因素。圖5（a）～圖5（c）為不同故障下的轉子系統的振幅-轉速關系曲線，各圖中第一個峰值是不對中故障引起的，第二個峰值是不平衡故障引起的，以第二個峰值為參考開始對NES進行優化。

圖5 不同故障下的轉子系統的振幅-轉速關系

根據數學推導以及仿真證明，當NES的安裝位置角度β＞π時，它的減振效果與安裝位置角度2π-β是一樣的。圖6所示為NES不同安裝位置以及不同參數下對耦合轉子系統減振控制的影響分析。從圖6中可知，當安裝角β＜π/2時，它不能使轉子系統的振幅減小反而使得振幅加劇。當安裝角為β＝3π/4時，其較優參數可以將耦合系統的振幅降低到1.29×10-3m，相當于未安裝NES之前的隨著安裝角度逼近β＝π/2，NES對轉子系統的減振愈發明顯，當安裝角為β＝π/2且參數最優時，能將耦合系統的振幅降低至1.52×10-5m，相當于減振前的0.82%，減振效果十分明顯。

對于NES的參數除了考慮其質量與剛度外，還需要考慮阻尼元件的阻尼系數。圖7所示為NES不同阻尼系數下的時間隨振幅變化曲線。由圖7可知，阻尼系數的取值只是影響達到穩態響應的時間，對系統本身的減振控制并未有影響。另外NES的響應為轉子振幅的1.5倍，對于大型轉子結構完全是可行的。

圖6 NES不同安裝位置（β）以及不同參數下對耦合轉子系統減振控制的影響圖

圖7 NES不同阻尼系數下的時間-振幅響應圖

圖8 所示為NES對不同故障轉子系統的振幅抑制情況。由圖8可見，NES對不同故障均有減振效果，因為NES本身安裝位置以及結構限制，在不平衡故障上有著極佳的減振效果，但是針對不對中故障只能減少15%～20%左右。為了能更好的研究NES的振動抑制效果，接下來保持質量、阻尼、剛度相同的情況下，對轉子系統振幅抑制情況進行比較。

圖8 NES（β＝π）對不同故障轉子系統的振幅抑制情況

2.2 系統減振裝置對耦合轉子系統的減振控制分析

在使用傳統減振器時，偏移距離r0是非常關鍵的一個參數，用來減少不平衡故障帶來的振幅。它的安裝距離將決定TMD吸振器對轉子系統減振的控制效果，這一安裝的結構如圖9所示。r0表達式為：

根據該模型得到轉子-NES耦合系統的動力學方程：

圖9 傳統TMD安裝位置以及結構模型

圖10所示為TMD偏移距離對減振的仿真曲線。圖11所示為NES與TMD對轉子系統的振幅影響對比情況。由圖10與圖11的仿真結果可知，偏移距離γ0對減振效果影響明顯，只有當偏移距離達到合適的值，才能對轉子系統起到良好的減振效果。同時TMD對于不對中故障、不平衡故障都有一定的抑制效果，但是在減振效果上不如NES。相較于TMD，NES不需要測量偏移距離即可起到很好的減振效果。在實際轉子振動抑制中，測量吸振器安裝的偏移距離是十分困難的，所以NES吸振器有著更廣泛的適用范圍。

圖10 TMD偏移距離γ0對減振的影響

圖11 NES與TMD對轉子系統的振幅抑制對比

3 結論

本文設計了NES-綜合不對中-不平衡轉子系統耦合系統的模型，并進行了減振仿真，得到的主要結論如下：

（1）NES與TMD兩種減振器在對綜合不對中-不平衡轉子系統有明顯的振動抑制效果，兩種減振器的安裝位置對耦合系統的振動抑制有很大的影響。

（2）NES減振器在面對不對中故障、不平衡故障引起的振幅時，相較于TMD有更好的減振性能，且安裝使用更加方便，不用計算安裝的偏移距離。

（3）由于NES本身安裝位置及結構特點，在針對不對中故障引起的振幅時，減振效果較弱。