關于丟番圖方程（24n）x＋（143n）y＝（145n）z

冉銀霞

（隴南師范高等專科學校數信學院，甘肅 成縣742500）

引言

設a，b，c為兩兩互素的正整數且滿足a2＋b2＝c2。對于任意的正整數n，丟番圖方程

顯然有正整數解（x，y，z）＝（2，2，2）。當n＝1時，在文獻［1-2］中，證明了當

（a，b，c）＝（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41）或（11，60，61）時，方程（1）都僅有整數解

（x，y，z）＝（2，2，2）的結論。當n為任意正整數時，在文獻［3-16］中，證明了當

（a，b，c）＝（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61），（13，84，85），（15，112，113），（8，15，17），（12，35，37），（20，21，29），（28，45，53），（36，77，85），（65，72，97），（44，117，125），（22r-1，2r＋1，22r＋1）（r∈N*），（48，55，73），（60，91，109），（56，33，65），（80，39，89）或（20，99，101）時，方程（1）都僅有正整數解（x，y，z）＝（2，2，2）的結論。至此，max｛a，b，c｝＜130，n為任意正整數的情形已全部解決。

另外，針對方程（1），胡邦群［17］對a-b＝m（m≡7，3，5（mod8）），n＝b，m■n這些情況，找到了一些Jesmanowicz猜想成立的n。茍莎莎［18］對a-b＝m（m≡7，3，5（mod8））的情形，證明了若m≡3，5（mod8），m含模8余3的因子，則當2n＋m不含4k＋1型素因子時，Jesmanowicz猜想成立。楊海等［19］證明了方程（1）沒有滿足max｛x，y｝＞min｛x，y｝＞z及n＞1的解，尤其a＝p（p為奇素數），b＝2時，方程（1）沒有滿足x＞z＞y及n＞1的解；楊海等［20］證明了

定理1對任意的正整數n，丟番圖方程

僅有正整數解（x，y，z）＝（2，2，2）。

1 若干引理

綜上，同余方程5z1＋5x1＋4x1＋z1≡0（mod11）沒有整數解。

2 定理的證明

143y＝nz-y（145z-24xnx-z） （4

對式（8）取模4，有1-（-1）y≡0（mod4），得y≡0（mod2）；

23x3x13v（x-z）＝（1452z1-112y1）（1452z1＋112y1）（9）

若z＞3x，則2z-3x≡1（mod143），于是120｜（z-3x）且x為偶數，則6｜z.設x＝2x1，z＝6z1，因此

3 結束語

學者們已對n為任意正整數，max｛a，b，c｝＜130的情形，證明了Jes＇manowicz猜想成立。實際上，經簡單計算可知，當130＜max｛a，b，c｝＜150時，可討論的情形只有5種，即（a，b，c）＝（44，117，125），（88，105，137），（24，143，145），（140，51，149）或（144，17，145）這5種。本文證明了其中之一，即當（a，b，c）＝（24，143，145）時，Jesm＇anowicz猜想成立。