復對稱Toeplitz算子與向量值函數空間上的Toeplitz算子

李 媛，夏 錦

（廣州大學數學與信息科學學院，廣州510006）

引言

令H是一個復可分Hilbert空間，若C：H→H是反線性算子，滿足C2＝I，且［C f，C g］＝［g，f］，其中f，g∈H，則稱C是H上的一個復共軛。若存在共軛C使得CT＝T*C，則稱H上的有界線性算子T是相對于C的復對稱算子。

復對稱算子的研究由Garcia和Putinar在文獻［1］中開始，他們證明了對于H上的任意共軛C存在標準正交基使得C en＝en，n≥0。實際上，一個算子在某組基上具有對稱矩陣表示時，它就是復對稱的。同時，復對稱算子的種類也非常多，包括所有正規算子，某些Hankel算子，壓縮Toeplitz算子，以及Volterra積分算子。在過去的十年中，許多算子論專家［2-9］對復對稱算子的研究做出了重大貢獻。

文獻［2］中首次研究了經典Hardy空間H2（D）上Toeplitz算子復對稱的問題。文獻［10］給出了H2（D）上相對于復共軛的復對稱Toeplitz算子的完全刻畫。文獻［11］研究了單位球與多圓盤上Bergman空間和多重復調和Bergman空間上的復對稱Toeplitz算子，發現Toeplitz算子在這兩個空間上共軛復對稱性的充要條件是相同的。文獻［12］研究了單位圓盤的Dirichlet空間上Toeplitz算子相對于一類共軛的復對稱性。然而，目前尚缺乏n維復數域Cn上Fock空間和調和Fock空間的復共軛性方面的研究。基于此，本文將從Toeplitz算子復對稱有關的一些重要命題出發，開展n維復數域Cn上Fock空間和調和Fock空間的復共軛性方面的研究，以彌補復對稱Toeplitz算子與向量值函數空間上的Toeplitz算子方面研究的不足。

對任意的t＞0，考慮Cn上Gaussian概率測度

本文第二部分研究了單位圓盤的向量值指數權Bergman空間上正算子值函數符號Teoplitz算子。

1 Fock空間和調和Fock空間上的復對稱Toeplitz算子

1.1 Fock空間與調和Fock空間上Toeplitz算子復對稱的等價性

1.2 主要結果

從定理1的條件（c）中，F2上關于共軛Cμ，ζ的復對稱Toeplitz算子符號的極分解有對稱形式。一個自然的問題出現了：對于Cμ，ζ上的任意復對稱Toeplitz算子Tφ，條件φk（r）＝0是否意味著對任意k∈Zn有φ-k＝0在某些情況下，結果是肯定的。

2 向量值指數權Bergman空間上正算子值符號Toeplitz算子

2.1 Carleson條件

2.2 Toeplitz算子的有界性與緊性

3 結束語

第一部分研究了Toeplitz算子關于共軛Cμ，ζ在F2或F2h上是復對稱算子的充要條件，發現Toeplitz算子關于共軛上成為復對稱算子的條件是相同的。第二部分研究了單位圓盤的向量值指數權Bergman空間）上正算子值函數符號Teoplitz算子。利用Carleson條件與均值函數得到了Toeplitz算子有界，緊的充要條件。