模電課程中Widlar微電流源電路教學分析

王浩　李祥振　歐毅

摘 ?要：Widlar微電流源電路是模擬電子技術課程中的基本電路之一，教科書中關于該電路的分析較為簡略，文章結合高等數(shù)學中泰勒級數(shù)和電路分析中節(jié)點電壓分析方法并通過Matlab工具對于該電路進行了較為詳細的理論分析。通過LTspice仿真軟件驗證了所提分析方法。所提分析方法對于培養(yǎng)學生綜合運用已學基本知識并利用Matlab工具分析解決復雜工程問題具有重要意義。

關鍵詞：Widlar微電流源;高等數(shù)學;泰勒級數(shù);電路分析;節(jié)點電壓

中圖分類號：G642 ? ? ? 文獻標志碼：A ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2021）13-0118-05

Abstract： Widlar current source circuit is one of the fundamental circuits in Analog Circuit course. The analysis of this circuit in the text book is brief. More detailed theoretical analysis of this circuit is provided in this paper by utilizing Taylor series in Calculus course and node voltage method in Fundamentals of Circuit Analysis course. The analysis is simulated through Matlab. The proposed method of analyzing Widlar current source circuit is validated through LTspice. This analysis method is instrumental in developing students' skills of analyzing and solving complex engineering problems， using acquired basic expertise knowledge.

Keywords：Widlar current source; Advanced Mathematics; Taylor Series; circuit analysis; node voltage

鏡像電流源技術是模擬集成電路中的重要技術，用于提供偏置電流和作為有源負載[1-2]。其中的威爾遜電流源（Wilson Current Mirror）是在泰克（Tektronix）公司[3-4]工作的集成電路設計工程師George R. Wilson在1967年提出的改進型鏡像電流源技術，較好地解決了基本鏡像電流源的Early電壓效應，具有較高的輸出電阻。[5]（George R. Wilson和同樣在泰克公司的Barrie Gilbert相互挑戰(zhàn)，經(jīng)過一夜的時間找到一種改進的鏡像電流源，而且僅含有三個晶體管，最后George R. Wilson贏得了挑戰(zhàn)。）

鏡像電流源在集成電路中實現(xiàn)較小電流值的電流源時由于需要阻值大的電阻而比較困難。Widlar微電流源（Widlar Current Source）電路[6-7]（如圖1所示）是由當時在仙童半導體公司（Fair-child）工作的Robert John Widlar（具有傳奇色彩的集成電路設計工程師[8]）在1965年發(fā)明的可以在集成電路中以較小的電阻實現(xiàn)電流值較小的電流源，該電流源被應用在Robert John Widlar當時設計的非常成功的？滋A709運算放大器上[9]。微電流源電路可以應用在運算放大器（？滋A709、LM709、？滋A741）、帶隙基準電路[10-12]以及甲乙類功率放大電路（用于克服交越失真）中。

Widlar微電流源電路是華科版電子技術課程中的基本電路之一[1]，該電路輸出的（微小）電流基本恒定（輸出電流值基本不隨負載變化而變化），教科書中的分析較為簡略，論文結合高等數(shù)學基本知識（二元函數(shù)的泰勒近

似）和電路基本分析方法（節(jié)點電壓法）對該電路進行了較為詳細的理論仿真分析（即如何求解輸出電流）。分析方法有助于培養(yǎng)學生利用已學知識綜合分析解決問題的能力，并在分析過程中感受基礎知識的重要性。

一、基于三極管射極電流公式的分析方法

根據(jù)電路圖（圖1），可得

（1）

根據(jù)三極管的伏安關系，可得

（3）

所以

（4）

根據(jù)（4），可得

（5）

結合（2），可得

（6）

等式方程（6）的右邊是非線性函數(shù)，對于給定的一個初始解I=0.0000001，利用泰勒公式將其轉換成線性函數(shù)，這樣方程（6）近似成一元線性方程，該一元線性方程的解即為方程（6）的一個近似解，通常該近似解比初始解較好。在獲得的較好的初始解基礎之上，再利用泰勒公式將方程（6）近似轉換為一元線性方程，這樣又可獲得方程（6）的一個近似解。依次類推，可以獲得方程（6）不斷更新優(yōu)化的解。圖2是上述求解方案的示意圖。表1列出的是Matlab仿真計算結果（用Matlab實現(xiàn)上述求解方案）與LTspice仿真軟件計算結果之間的偏差。LTspice仿真電路圖如圖3所示。

二、基于節(jié)點電壓方程的分析方法

設T1管集電極電位為？淄n1，T2管發(fā)射極電位為？淄n2，根據(jù)三極管的伏安關系，我們有

（7）

（8）

（9）

根據(jù)電路圖（圖1），我們有

根據(jù)電路（圖1）圖中A點的基爾霍夫電流方程，我們有

根據(jù)電路圖（圖1），我們有

（13）

方程（12）和（13）共含有兩個未知變量？淄n1和？淄n2，但由于是非線性方程，無法直接求解。通過二元函數(shù)的泰勒近似（將非線性函數(shù)f1（？淄n1 ？淄n2）和f2（？淄n1 ？淄n2）近似轉換成線性函數(shù)），我們可以把非線性方程組轉換成線性方程組，通過求解線性方程組獲得原有非線性方程的近似解。具體求解方案如下：

對于一給定的初始解（？淄n1* ？淄n2*），令

（14）

（15）

這樣，非線性方程（12）和（13）通過二元函數(shù)的一階泰勒近似轉換成如下的線性方程組

（16）

設由公式（16）描述的線性方程組的解為（？淄n1（1） ？淄n2（1）），相應的解的誤差定義為

依次類推，我們可以獲得更新優(yōu)化后的解

以及相應的解的誤差

（19）

式中Ite_max代表最大迭代次數(shù)。

表2列出的是Matlab仿真計算結果（用Matlab實現(xiàn)上述求解方案）與LTspice仿真軟件計算結果之間的偏差，其中初始值是通過網(wǎng)格搜索獲得。圖4描述的是不同迭代次數(shù)X下的解的誤差

三、具體應用例子：甲乙類功率放大電路中克服交越失真

Widlar微電流源電路結構可用于克服互補對稱乙類功率放大電路的交越失真，其基本思想是在靜態(tài)時使得對稱輸出三極管Q3和Q4處于微導通狀態(tài)，其LTspice仿真電路圖如圖5所示。圖6描述的是互補對稱乙類功率放大電路和甲乙類功率放大電路在負載電阻R5上的輸出電流比較（LTspice仿真），可以看出利用Widlar微電流源電路結構的甲乙類功率放大電路可以克服交越失真。

四、結束語

Widlar微電流源電路是模擬電子技術課程中的基本電路，教科書中對于該基本電路的分析較為簡略。論文結合高等數(shù)學基本知識（泰勒近似）和電路分析基本理論（節(jié)點電壓法），采用兩種分析方法對該基本電路進行理論分析并通過Matlab仿真實現(xiàn)理論分析結果。兩種分析方法推導計算輸出電流值均不需要負載電阻R3的電阻值（輸出電流與負載電阻R3無關）。最后通過LTspice仿真軟件驗證了理論分析的正確性。所提分析方法對于培養(yǎng)學生綜合運用已學基本知識分析解決復雜工程問題具有重要意義。

參考文獻：

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[3]Wilson G R. A Monolithic Junction FET-n-p-n Operational Amplifier[J]. IEEE Journal of Solid-State Circuits， 1968，3（4）：341-348.

[4]Wilson G R. A Monolithic Junction FET-n-p-n Operational Amplifier[C]. International Solid-State Circuits Conference， 1968.

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[12]涉谷道雄.活學活用LTspice電路設計[M].彭剛，譯.北京：科學出版社，2016：302-303.

基金項目：2019年第一批教育部產(chǎn)學合作協(xié)同育人項目“模擬電子技術課程中若干經(jīng)典電路的嚴格數(shù)學基礎，Maltlab代碼仿真和電路硬件實現(xiàn)比較”（編號：201901057001）

作者簡介：王浩（1985-），男，漢族，安徽潁上人，博士，講師，碩士研究生導師，研究方向：低復雜度濾波器。