拉格朗日乘子法：解決高中數學優化問題的重要工具

摘 要：拉格朗日乘子法是多元函數條件極值問題中的非常有效的一種方法。本文將利用拉格朗日乘子法解初等數學中約束優化問題，并舉例說明用法。

關鍵詞：條件極值;拉格朗日乘子法;最優化

一、高中數學約束優化問題：教學難點

眾所周知，求帶有約束條件的最值（最大值或最小值）問題即條件極值是在實際應用中經常碰到的一類問題，它是運籌學的一個重要內容，對于形成最優化思想有著重要的作用，并且在實際生產活動中也有著廣泛的應用，也是高考考查的重點內容。約束優化問題涉及直線與圓（圓與圓的位置關系、直線與圓的位置關系）、三角函數（三角恒等式、三角變換）、不等式和平面向量等知識。其基本思路是運用函數與方程思想將約束條件問題轉化為求函數的最值問題，而解決最值問題的常用工具則是導數與不等式。

在運用導數求最值問題時，有些問題較為復雜，求導計算量大，需要進行高階求導。同時，復雜問題常常涉及分類討論思想，但學生在實際處理過程中往往會出現不明確分類標準，討論重復遺漏，討論結果處理不當等問題。對于分段函數的表示及其求導，學生往往束手無策，無從下手.因此，利用導數解決問題有其局限性.在運用不等式求最值問題時，處理復雜不等式尤其是多元變量的復雜不等式時，學生往往不能很好的利用相關衍變公式與解不等式的技巧。譬如在何時取等號，在如何對不等式進行放縮上阻力重重，不易把握，因此，如何較為有效地解決高中數學應用題約束優化問題，成為教學難點.

二、拉格朗日乘子法解決約束優化問題：突破點

條件極值不僅是初等數學中的重要內容，也是數學分析中的一類重要問題.求解的常用方法和最有效的工具就是拉格朗日乘子法，運用拉格朗日乘子法成為解決復雜約束優化問題的突破點。

1.拉格朗日乘子法

2.拉格朗日乘子法的優點

在高中階段大部分只涉及一元函數，并就一元函數的導數的應用進行深度挖掘。常規思路就是消元，將二元函數轉化為一元函數，將多元函數降維處理以達到刪繁就簡的效果。有時候反其道而行之，如果將一元化二元，二元化多元，對函數進行升維處理往往有出其不意的效果，拉格朗日乘子法就是升維的有力工具。其特點是思路明確，條理清晰，引入參變量使得計算量驟然減小，求解迅速。

3.拉格朗日乘子法的應用

三、拉格朗日乘子法解決約束優化問題：注意點與難點

作為一種優化解法，拉格朗日乘子法主要運用在約束優化問題即條件極值，運用一元函數轉化為二元函數這一思想進行求解，從而將條件極值問題轉化為非條件極值問題。即使不能在正規解答大題中運用，也可以將該解法解出正確結果，從而規避繁榮復雜的運算。而在填空題與選擇題中可以直接用快速解出答案。

但值得注意的是，拉格朗日乘子法也有其局限性，并不適用于所有約束優化問題。比如在面對非線性約束條件下的二元函數最值問題時，它的非線性約束條件往往是一個二元二次不等式，可行域就是非線性約束條件中不等式所圍成的平面區域，區域內的各點的坐標即為可行解;當目標函數是線性函數時，就是通常所說的二元線性規劃問題，可轉化為直線與曲線的位置關系來解決;當目標函數不是線性函數時，可以利用目標函數所具有的幾何意義轉化求解。另外，由于拉格朗日乘子法涉及偏導數，如何構造拉格朗日函數以及如何求偏導數成為教學難點。對于成績較好的學生，教師可做適當地引導與講解，可以為學生補充微積分的相關知識。

四、結束語

總之，在面對高中應用題約束優化問題時，我們應該將拉格朗日乘子法作為一種解決問題的重要工具，而不應該把它視為大學數學分析課本里高高在上的數學理論。數學本身作為一個工具不僅具有啟發學生的發散思維和邏輯思維的作用，更應當將其運用于實際問題中，讓學生在運用的過程中發現、體會并感悟數學的應用價值。

參考文獻：

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[2]吳元澤.關于拉格朗日乘數法的一點思考[J].教育教學論壇，2018（8）

[3]朱茂春.拉格朗日乘子法在初等數學及Holder不等式中的應用[J].課程教育研究，2019（19）.

作者簡介：

吳征（1999.07-），男，漢族，江蘇省泰州市人，江蘇師范大學數學與應用數學（師范）專業本科在讀，主要研究方向：中等教育。

（江蘇師范大學）