“拐彎抹角”的因式分解

王子豪

我們知道，因式分解就是把一個多項式分解為幾個整式的積。分解之后，一個煩瑣的多項式就會變得簡單。我們遇到的多項式看似毫無規律，不可分解，而我認為規律只是隱藏起來了，需要仔細挖掘。

【提出問題】已知四邊形四條邊長分別是a、b、c、d，若a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da，則此四邊形的形狀一定是。

【分析思路】我的大致思路，先化簡等式，再推斷圖形。

步驟一：化簡等式。拋開等式右邊，先看左邊，我發現有a2+b2、c2+d2，這讓我聯想到兩個完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，所以我的目標就是找到±2ab、±2cd。再看等式右邊，已經有了ab、cd，但右邊還有bc、da，這怎么辦？如果要用到這兩項，左邊應該出現b2+c2、a2+d2啊。仔細端詳之下，我恍然大悟：要想使用完全平方公式，乘積項必須是2倍的，這里沒有，所以嘗試乘2，便得到2a2+2b2+2c2+2d2=2ab+2bc+2cd+2da，左邊的四項恰好可以組合成a2+b2、c2+d2、b2+c2、a2+d2，這時再移項，就會看到（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2cd+d2）+（d2-2da+a2）=0。這太熟悉啦！因式分解得（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2=0，完全平方公式，搞定！因為一個數的平方不為負，所以a-b、b-c、c-d、d-a都得為0，由此a=b=c=d。

步驟二：推斷圖形。化簡后四邊形的四條邊均相等，可證得該四邊形一定是菱形。

【我的心得】數學是一門奇妙的學科，因為它總是能把簡單的數字、公式演繹得千變萬化，但終究“萬變不離其宗”。就像這一道本該“拿分到手軟”的因式分解題，只是戴上了一個面具，乍一看竟無法認出。今后我們要心中牢記公式和定理，沉住氣，認真思考每一道題。相信每一道像大山一樣的難題終會化為一道道小小的坎被我們越過！

教師點評

小作者文學底蘊豐厚，樂于思考，思維縝密，寫起數學文章來也是妙語連珠。在他的筆下，不太常規的因式分解、隱藏條件都被輕松挖出。拆項、添項、重組，發現公式模型，難題一一破解。小作者將因式分解從會套用公式，上升到綜合運用的層面，能這樣學習數學，值得贊賞！ （指導教師：高 爽）