“拐彎抹角”的因式分解

王子豪

我們知道，因式分解就是把一個(gè)多項(xiàng)式分解為幾個(gè)整式的積。分解之后，一個(gè)煩瑣的多項(xiàng)式就會(huì)變得簡(jiǎn)單。我們遇到的多項(xiàng)式看似毫無(wú)規(guī)律，不可分解，而我認(rèn)為規(guī)律只是隱藏起來(lái)了，需要仔細(xì)挖掘。

【提出問(wèn)題】已知四邊形四條邊長(zhǎng)分別是a、b、c、d，若a2+b2+c2+d2=ab+bc+cd+da，則此四邊形的形狀一定是。

【分析思路】我的大致思路，先化簡(jiǎn)等式，再推斷圖形。

步驟一：化簡(jiǎn)等式。拋開(kāi)等式右邊，先看左邊，我發(fā)現(xiàn)有a2+b2、c2+d2，這讓我聯(lián)想到兩個(gè)完全平方公式a2±2ab+b2=（a±b）2，所以我的目標(biāo)就是找到±2ab、±2cd。再看等式右邊，已經(jīng)有了ab、cd，但右邊還有bc、da，這怎么辦？如果要用到這兩項(xiàng)，左邊應(yīng)該出現(xiàn)b2+c2、a2+d2啊。仔細(xì)端詳之下，我恍然大悟：要想使用完全平方公式，乘積項(xiàng)必須是2倍的，這里沒(méi)有，所以嘗試乘2，便得到2a2+2b2+2c2+2d2=2ab+2bc+2cd+2da，左邊的四項(xiàng)恰好可以組合成a2+b2、c2+d2、b2+c2、a2+d2，這時(shí)再移項(xiàng)，就會(huì)看到（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）+（c2-2cd+d2）+（d2-2da+a2）=0。這太熟悉啦！因式分解得（a-b）2+（b-c）2+（c-d）2+（d-a）2=0，完全平方公式，搞定！因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)的平方不為負(fù)，所以a-b、b-c、c-d、d-a都得為0，由此a=b=c=d。

步驟二：推斷圖形。化簡(jiǎn)后四邊形的四條邊均相等，可證得該四邊形一定是菱形。

【我的心得】數(shù)學(xué)是一門(mén)奇妙的學(xué)科，因?yàn)樗偸悄馨押?jiǎn)單的數(shù)字、公式演繹得千變?nèi)f化，但終究“萬(wàn)變不離其宗”。就像這一道本該“拿分到手軟”的因式分解題，只是戴上了一個(gè)面具，乍一看竟無(wú)法認(rèn)出。今后我們要心中牢記公式和定理，沉住氣，認(rèn)真思考每一道題。相信每一道像大山一樣的難題終會(huì)化為一道道小小的坎被我們?cè)竭^(guò)！

教師點(diǎn)評(píng)

小作者文學(xué)底蘊(yùn)豐厚，樂(lè)于思考，思維縝密，寫(xiě)起數(shù)學(xué)文章來(lái)也是妙語(yǔ)連珠。在他的筆下，不太常規(guī)的因式分解、隱藏條件都被輕松挖出。拆項(xiàng)、添項(xiàng)、重組，發(fā)現(xiàn)公式模型，難題一一破解。小作者將因式分解從會(huì)套用公式，上升到綜合運(yùn)用的層面，能這樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，值得贊賞！ （指導(dǎo)教師：高 爽）