曲面五軸加工3D刀補的奇異點檢測與處理*

蔡安江 吳雋楠 龐飛彪 劉晨陽

(西安建筑科技大學，陜西 西安 710055)

五軸數控加工具有較高的生產效率和較好的表面加工質量，廣泛地應用于航空航天、艦船及汽車制造等領域。但五軸NC程序編程復雜，通常需要借助輔助編程軟件來實現復雜工件的加工編程，大大增加了刀具路徑規劃的復雜性以及后置處理的難度，并且需要較高的投資費用[1]。在CAM中須使用標準的刀具半徑才能直接使用生成的NC代碼，但同時這樣也會帶來非線性誤差[2]，導致實際的直線軸運動偏離編程設定的路徑。在機床的運動反解中對于某些特殊插補點，旋轉軸將發生劇烈的旋轉運動(甚至單步旋轉近180°)[3]，它將產生非常大的非線性誤差甚至損壞零件[4-6]，這就是常說的奇異點問題。以往檢測奇異點的常用方法為王峰等[7]提出耦合相鄰插補點間機床各軸的變化量與雅可比矩陣的奇異域檢測方法，其通過優化刀具路徑來減小奇異區域的非線性誤差，但該方法計算雅可比矩陣的條件數較為困難，且關于“病態”的條件數沒有精確的定量標準，效率較低。另一種常用的檢測方法為林滸[8]等提出的通過多次叉乘運算來求解各插補點處的半徑補償矢量，再進行相鄰半徑補償矢量之間的夾角和允許值的比較來判斷奇異區域。但該方法計算量較大，且并非所有刀軸矢量和曲面法矢量夾角過小都會發生運動突變。而要避免奇異點引起的運動突變，通常需要進行多項式的插補來繞過奇異區域[9]，但是該算法計算量較大。還有一種常用方法則是通過迪杰斯特拉算法求出奇異區域旋轉軸的最短路徑[10]，然而這種方法只考慮了旋轉軸，并未對直線軸進行優化，從而不能完全避免奇異點的影響。

本文在前人的基礎上分析了奇異點產生的原因，研究了因行程限制導致的大部分奇異點問題。提出刀軸矢量投影法將三維空間計算轉化為二維平面計算來解決曲面五軸端銑加工過程中的奇異點檢測問題。并通過穩定進給速度通過奇異區域的方法來處理奇異問題，比傳統插補的方法減少了計算量并同時解決了旋轉軸及直線軸的優化問題。更好地保證了曲面的加工效率與精度。

1 奇異點產生原因及其影響

奇異解是指無法在通解中求出但仍符合微分方程式的解。在本文中即為刀軸矢量與曲面法矢量重合，這樣半徑的補償矢量就無法用通式(1)求得，形成奇異解。因此，五軸加工過程中的奇異點為刀軸矢量與曲面法矢量重合的插補點，奇異區域為奇異點周圍的區域，奇異姿態則為刀心點位于奇異點時的刀具姿態。在奇異區域內，刀軸矢量與曲面法矢量夾角過小，導致刀具補償方向產生較大偏轉(短時間內旋轉180°)，從而使此處的機床運動速度超過程序設定速度。在實際加工中將產生比較大的加工誤差甚至可能損壞零件及機床結構。

(1)

式中：rf為半徑補償矢量;θ為刀軸矢量uf與曲面法矢量nf的夾角，為0時無解。

2 曲面五軸加工奇異點的檢測

以CATIA中葉輪加工為例討論奇異點的檢測。在CATIA加工流程模塊中創建葉輪模型，并創建加工刀具。刀具使用五軸加工中常用的環形銑刀，其直徑R為6 mm，刃口半徑r為0.5 mm。利用CATIA的仿真功能可以得到其每一個刀位點的刀軸數據，利用這些刀軸數據可以計算出每一個刀位點的切觸點處的曲面法向矢量，從而利用本文方法檢測奇異點。

2.1 刀軸矢量的獲取

在CATIA中創建葉輪模型，葉輪參數及加工參數如表1所示。用上述刀具參數在CATIA仿真加工模塊中進行虛擬走刀，記錄奇異點附近的刀具刀心點數據及刀軸矢量數據。加工點序號為1的刀位點數據獲取方式如圖1所示，最終使用8個刀位點數據繪制出奇異點附近的刀軸矢量數據表格，如表2所示。

表1 葉輪參數及加工所需參數

表2 奇異點附近刀軸矢量數據 mm

2.2 切觸點處的曲面法向矢量求解

以上述的環形銑刀為例，如圖2所示，對其進行矢量分析后得出其在3D刀具補償過程中的切觸點曲面法向矢量。圖中，R為刀具半徑，R1為磨損后的刀具半徑，l為刀軸矢量，O1為切削刃圓心，r為切削刃半徑，Oc為磨損后的切削刃圓心，r1為磨損后的切削刃半徑，m為與刀軸方向垂直的矢量，v為刀具補償方向，Op為刀具中心點，Op1為磨損后的刀具中心點，k為刀具路徑的切線，P為切觸點，n為切觸點處的曲面法向矢量。

可以利用空間向量的特性得到：

POc=Op+lr-p

(2)

式中：r為已知量，Op、p為沿刀具補償方向v的矢量。l可通過表2得到，POc為P點到Oc點的矢量。

(3)

(4)

式中：PO1為p點到O1點的矢量，O1OC為O1點到Oc點的矢量，為已知量。切觸點表面的曲面法向量n是切觸點到刀具刃口圓心的矢量。若要獲得切觸點表面的法向矢量n，則需解出式(4)中的POc矢量和m矢量，通過式(2)可得POc矢量的各分量a、b、c和m矢量的各分量分別為:

(5)

式中：px、py、pz分別為在P點處x、y、z方向的分量，lx、ly、lz分別為刀軸矢量l在x、y、z方向的分量。

(6)

式(7)為切觸點表面的法向量n在x、y、z各方向的分量

(7)

根據式(7)可計算出各刀位點處的曲面法矢量，將表2中奇異點周圍的刀位點法矢量計算出來，如表3所示。

表3 連續加工點處曲面法矢量數據 mm

為便于計算，規定當刀軸矢量長度為10 mm時在曲面法向矢量平面產生的投影長度小于刀具半徑長度的1/6時，加工進入奇異區域。將部分刀位點的刀軸矢量在曲面法向矢量平面上的投影測出，如表4所示。將相鄰刀軸矢量投影間的夾角測出，如表5所示。

表4 刀軸10 mm矢量在曲面法矢量平面的投影長度

表5 相鄰刀軸矢量投影間夾角

可以看出在非奇異區域的刀軸矢量夾角變化均不超過5°，而第四區間變化遠遠超過其他區域，所以拐點應在4點與5點之間。

2.3 奇異點的判斷

根據刀具的刀軸矢量和切觸點曲面法矢量數據，推導出奇異點的檢測應考慮以下兩點：①刀軸矢量投影長度是否小于允許值(允許值應根據加工精度和加工速度要求決定)。②相鄰刀軸矢量夾角變化量。據此繪制出奇異點的判決條件表，如表6所示。

表6 奇異點的判決條件

在確定刀軸矢量的夾角后，就應檢測刀軸矢量在曲面法矢量平面內的投影長度。若刀軸矢量的投影長度大于給定的允許值，則認為不存在奇異點而無需進行奇異點的處理。反之，則認為存在奇異問題需要對奇異問題進行優化處理。

3 曲面五軸加工奇異點的處理

應用投影法檢測到刀位點通過奇異區域時，則對加工路徑上的奇異點進行處理，使奇異區域內各軸的進給速度控制在合理的范圍內，就可以避免奇異點的影響，同時也保證了機床的性能及加工質量。以往對奇異點的處理通常采用圓弧插補方式，但是插補會增大加工的誤差，而且當奇異點前后兩點夾角過大時通過插值得到的插補點仍可能夾角過大而需要二次插補，增加了計算量。

針對插補法存在的問題，本文提出穩速通過奇異點的方法，具體策略如下：

(1)通過CATIA的刀軸矢量數據和計算出的曲面法矢量數據，利用投影法判斷刀具路徑是否存在奇異區域，并計算奇異區域內的刀位點個數。

(2)對于檢測出的奇異點，在NC程序段中加入對旋轉軸速度限制的指令。當旋轉軸單步旋轉超過20°時，程序進行進給速度優化，將此步的進給率限制為奇異點前程序的正常進給率，從而達到穩速通過奇異點的目的。

(3)利用刀位點個數判斷加工何時離開奇異區域，若離開奇異區域則恢復直線軸與旋轉軸的進給速度。曲面五軸加工奇異點的處理流程如圖3所示。

4 仿真驗證

本實驗所用的刀具長度尺寸為40 mm，刀具直徑為6 mm，設刀具矢量在曲面法矢量平面內投影長度小于1 mm時進入加工奇異區域。加工路徑上各刀位點的切觸點位置(px、py、pz)、刀軸矢量(ux、uy、uz)及曲面法矢量(nx、ny、nz)的數據如表7所示。

表7 加工路徑上奇異點處的切觸點位置p、刀軸矢量u及曲面法向矢量nmm

通過計算刀軸矢量在曲面法向量平面內的投影長度，如表8所示，同時結合本文臨界長度小于1 mm時進入奇異點，可以發現在第12點和第13點間、51點和52點間、62點和63點間加工進入奇異區域。所以判斷在這些區間內，刀具的半徑補償矢量將產生較大的偏轉。

表8 插補點刀軸矢量的投影長度 mm

表9為機床實際加工過程中的各軸坐標值，從表中可以看出：在突變區域X軸的位移量為34.551 6 mm，Y軸位移量為70.127 1 mm，而C軸旋轉了將近180°，而在其余區間內的X軸平均的變化量僅為2.627 2 mm，Y軸的平均變化量為1.422 3 mm，顯然機床出現了運動突變。突變區間X軸移動量為其他區間平均值的13.151 5倍，Y軸移動量為其他區間平均值的49.305 4倍。根據機床直線軸的位移量數據匯制出機床X軸和Y軸在工件坐標系下的位移量，如圖4所示，可以直觀地看出在奇異區域內直線軸的位移量遠超過其他區域的平均值。根據刀軸矢量投影法與求解相鄰半徑補償矢量夾角法對相同刀位點數量檢測奇異點的時間繪制兩種算法的耗時對比，如圖5所示。證明了此奇異點檢測算法的準確性和高效性。

表9 奇異點處相鄰點的機床坐標值 mm

對曲面五軸加工奇異點的處理方法驗證時，使用CATIA生成直紋柱形曲面，對其刀具路徑進行規劃，并用Matlab對刀具路徑進行仿真。隨后利用投影法對刀具路徑進行檢測，對存在奇異點的NC程序段進行優化，將奇異區域內的最大進給速度限制為奇異區域前的正常進給速度。最后利用VERICUT建立KERN五軸AC雙轉臺機床的虛擬加工模型，如圖6所示。通過此模型對曲面零件的虛擬加工可以看出，未進行奇異點處理的曲面零件其表面存在環形軌跡和過切現象，如圖7所示。而用本文提出的穩速通過奇異點方法處理后的曲面零件表面更平滑、精度更高，如圖8所示。

5 結語

(1)本文提出的應用刀軸矢量投影法檢測曲面五軸加工過程中奇異點的方法，省去了前傾角的計算，提高了檢測效率，與直接計算相鄰插補點之間的半徑補償矢量夾角以及直線軸控制點位移量的傳統方法相比，進一步提高了檢測的準確性，避免了因只判斷刀軸矢量與曲面法矢量夾角造成的奇異點檢測準確性低的問題。

(2)通過將NC程序段中各軸進給速度限制在一定的范圍內，可以有效地避免奇異點帶來的影響。該處理方法的優點是保留了原始刀位點，避免了插補法存在的問題，并大大減少了對機床機械結構的損害。

(3)通過與求解相鄰半徑補償矢量夾角法檢測奇異點的對比實驗證明了投影法檢測奇異點的快速準確性。通過直紋柱形曲面零件的仿真加工證明了穩速通過奇異點可以大大消除奇異點帶來的影響，使加工曲面更加平滑，提高加工精度。