培養學生創新能力 全面提高教學質量

林海波 林燕

摘? 要：數學分析課程是數學類本科專業的一門重要的專業基礎必修課。根據數學分析課程的特點和教學要求，我們對該課程教學改革進行了探索，較好地實現了“傳統教學與現代教育技術初步整合，考核方式多樣化、全程化，培養學生創新能力，全面提高教學質量”的目標。

關鍵詞：數學分析;創新能力;教學質量

中圖分類號：G642? ? ? ?文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2021）02-0145-04

Abstract： Mathematical Analysis course is an important basic course of mathematics undergraduate major. According to the characteristics and teaching requirements of the course of Mathematical Analysis， we have explored the teaching reform of the course， and better realized the goal of "the initial integration of traditional teaching and modern educational technology， the diversification and full process of examination methods， the cultivation of students' innovative ability and the overall improvement of teaching quality".

Keywords： Mathematical Analysis; innovative ability; teaching quality

一、概述

2018年5月2日，習近平總書記在北京大學師生座談會上強調：“教育興則國家興，教育強則國家強。高等教育是一個國家發展水平和發展潛力的重要標志。今天，黨和國家事業發展對高等教育的需要，對科學知識和優秀人才的需要，比以往任何時候都更為迫切。”在同年的全國教育大會上，習總書記在講話中把“培養什么人”列為教育的首要問題。隨后，《教育部關于加快建設高水平本科教育 全面提高人才培養能力的意見》指出：本科生是高素質專門人才培養的最大群體，本科階段是學生世界觀、人生觀、價值觀形成的關鍵階段，本科教育是提高高等教育質量的最重要基礎。辦好我國高校，辦出世界一流大學，人才培養是本，本科教育是根。建設高等教育強國必須堅持“以本為本”，加快建設高水平本科教育，培養大批有理想、有本領、有擔當的高素質專門人才，為全面建成小康社會、基本實現社會主義現代化、建成社會主義現代化強國提供強大的人才支撐和智力支持。

眾所周知，數學分析課程是數學類本科專業的一門重要的專業基礎必修課，也是本科階段學時最長、學分最重的一門課程，在培養具有良好的思想品德、數學素養和數學思維能力的專業人才方面，該課程所發揮的重要作用是任何其他專業課程無法比擬的。同時，數學分析是新生入學后最先接觸的專業基礎課之一，也是幾乎所有后繼數學課程的前提與基礎，是學生開啟高等數學之門的鑰匙。因此可以說，數學分析課程的得失，將直接關系到學生數學能力的培養和整個專業教育的成敗。

另一方面，對包括數學分析在內的各類課程的教學改革的研究從未停止過。在教學內容方面，文獻[1]對從1995年至2005年數學分析課程教學內容（包括教材）改革方面的一些重大問題上出現的不同意見和觀點，加以綜述與分析;文獻[2]認為在數學分析課程的教學中融入數學建模思想方法，配合數學模型內容，有利于提高學生的數學實踐能力和理論知識的掌握，同時可以激發學生學習數學的積極性，提高學生的自身素質和數學素養。在教學方式方面，文獻[3]針對數學分析習題課上主要采用講授式教學方式，即多數時間是老師在講習題，解題思路基本上是老師代替學生獨立思考，造成有的學生課后作業根本就不愿意獨立思考完成，而是等著老師在習題課上講這一情況，提出了小組合作學習的方式;文獻[4]在數學分析的概念、定理和習題的教學中，進行了基于研究性學習的教學實踐。在教學形式方面，文獻[5]概述了傳統板書的諸多益處，指出數學教師應立足學科本質，關注教育需要，在傳統板書和現代教育技術的使用間找到適度的平衡。在課程考核評價方面，文獻[6，7，8，9]探討了各種考核方式的利弊，比較了中西方考試方式，并提出了多種考核形式。

隨著新時代的到來，數學分析課程的教學改革應該朝著哪個方向發展是值得我們研究的問題。

二、數學分析課程教學改革探索

《國家教育事業發展“十三五”規劃》提出在深化本科教育教學改革時應推行以學生為中心的啟發式、合作式、參與式和研討式學習方式，加強個性化培養，并改進教學評價機制和學生考核機制。結合已有研究成果，我們在整個教學環節中，堅持“以學生為中心”的教學理念，從多維度對課程進行了教學改革與建設：在教學內容中向學生滲透數學思想方法，融入數學建模思想，同時開展反例研究，培養學生的數學思維模式和應用能力;在教學形式上，實現傳統教學與現代教育技術初步整合;在考核方式上，采取“復合式-全程性-多元化”的考核模式;在教學方式上，通過課堂練習、小組討論課、撰寫問題研究論文，鼓勵和引導學生參加數學建模競賽和數學學科競賽等方式，培養學生創新能力。通過以上多維度的教學改革與建設，較好地實現了“傳統教學與現代教育技術初步整合，考核方式多樣化、全程化，培養學生創新能力，全面提高教學質量”的目標。具體措施如下：

（一）拓展教學內容，加強教學的有效性

我們以國家級優秀教材[10]為教材，加強對主要概念、定理、公式、法則的實質的理解及應用，通過各種概念的形成過程、定理的推導過程、方法的思考過程、問題的被發現過程、思路的探索過程、規律的被揭示過程等等，逐步向學生滲透數學思想方法，培養學生的數學思維能力。

例如，極限的思想方法是數學分析中最基本的研究方法，它是從有限過程中研究無限過程的對立統一的思維方法，貫穿于數學分析學習的始終，是后續的連續、導數、積分等概念的基礎。對極限概念的教學，應該縱向開展，層層遞進。首先在極限定義的學習中，深入剖析？著-？啄語言的本質含義，其中？啄對？著的依賴性決定了尋找？啄的途徑和方法。然后再通過后續的連續、導數、積分等重要概念的教學，層層挖掘它們與極限概念的密切聯系，通過反思教學以此加深對極限思想的理解，形成知識點的聯系網，同時把后續知識點的學習與極限思想方法的應用有機結合起來。這樣形成一個動態的循環學習模式，使學生對知識點的學習不僅僅停留在概念本身上，可以進一步加深對知識點的理解，夯實基礎，梳理知識點的前期背景和后續發展，形成閉環，從而減少知識點理解的盲區，更有利于微觀上探究知識點之間的相互關系和宏觀上把握課程的整體結構。

根據教學內容，積極融入數學建模的思想方法。在教學中注意創設體現數學和實際生活聯系的情境，幫助學生感悟數學源于生活和實際，激發學生的學習興趣和積極性。鼓勵學生發現問題自主探索，并轉換為數學模型來解決問題。文獻[5]介紹了各知識點中涉及的建模實例，值得參考。

此外，我們結合教材，開展反例研究。對于數學分析中的定理、命題，運用恰當的反例從問題的反面出發，往往能夠抓住概念或規則的本質，進而加深對知識的理解。數學中的很多問題，需要了解不滿足條件的那些對象。在教學過程中，引導學生思考命題及其否定命題，探討概念及其否定形式，可以進一步加深對知識點的理解。反例思想是數學分析中的重要思想，在概念、性質的理解，問題的研究與論證中都具有不可替代的獨特作用。恰當地運用反例，對于正確理解數學對象，鞏固和掌握定理、公式、法則等，培養學生的邏輯思維能力，規范數學語言的表達，預防和糾正錯誤，將起著十分重要的作用。因此，我們結合教材，對于數學分析中的相關反例加以總結和研究，對其中的經典反例附以證明，不僅全面而且有理有據，有利于學生對這一學科的深入學習。

例如，函數的連續性和可導性都是函數局部的性質，但教材上的例子中的函數性質一般都比較好，很多學生會誤以為函數在某點的鄰域內是連續或可導的。我們在教學中給出下面的例子：設f（x）=x2，x為有理數，0，x為無理數，則有

從而，f（x）在x=0點處連續且可導，另一方面易知f（x）在任意點x（x≠0）處都不連續，且都不可導。以上例子說明存在僅在一點連續或可導的函數，使學生對函數的連續性和可導性是函數的局部性質這一特點有更深的理解。

（二）采用“傳統+現代”教學模式，提高教學效率

在教學形式上，采用“傳統黑板教學+多媒體教學”的教學模式。就數學教學中的傳統板書而論，其德育功能是使學生濡染工匠精神，美育功能內隱于數學之美、個性之美和勞動之美，智育功能是幫助學生構建認知結構，經歷知識的“再創造”，積累基本活動經驗，參與高效互動和獲得思維緩沖。[4]在數學分析教學過程中，凡涉及到證明方法，解題思路等內容仍然沿用傳統教學方法。此外，針對數學分析課程本身的特點，許多概念陳述和形象認知的問題用大量的板書費時費力也不夠生動形象，這時多媒體課件可以更好地發揮作用，在比較短的時間段內解決問題，節省課程課時，擴大課堂信息量，增加教學的生動性，豐富教學內容，提高教學效率。

例如，在講授Taylor公式在近似計算中的應用中，通過動畫（圖1）展示逼近過程，讓學生體會Taylor公式所蘊含的局部逼近的數學思想。

整個數學分析課程教學中，傳統黑板教學講授約占總課時的90%，多媒體課件講授約占總課時的10%，課堂教學效果良好。

（三）構建多樣化、全程化的考試方式，保障教學質量

科學的考核評價方法，不僅能對教學起到反饋、調節、評價和促進的作用，而且對培養學生良好的學習方法和學習習慣，調動學生學習的積極性、主動性，促進學生創新意識、創新精神的養成具有重要意義。

我們采取“復合式-全程性-多元化”的考核模式，期末總成績由作業（10%）、多次隨堂開卷小測驗（10%）、小組習題講解評分（10%）、期中考試（20%）和期末考試（50%）綜合而成，并且若學生在數學類競賽獲獎會有附加分，具體分數根據獲獎級別且向全體同學公示，最多可加到總成績滿分。在考試形式上，以傳統的閉卷考試為基礎，根據課程教學內容采取開放的、靈活的多種考試考核形式：對知識性內容的考試仍采取傳統的閉卷筆試考試形式;對學生調查、歸納、整理、分析等能力的考查采取分組講解習題、論文考核、參與各種數學類競賽的形式等等。多種形式的考核能夠增強學生自學、思考和綜合能力的培養，促進學生實踐動手能力的提高。在考試時間安排上，做到全程化，注意平時考查學生學習態度、回答問題與討論、作業和實踐操作技能情況等，即平時考查、階段小測驗、期中和期末考試相結合。這樣使教師及時了解學生在學習中存在的問題，獲得反饋信息，從而指導教學，同時也更好地調動學生平時學習的主動性和積極性。采用傳統單一閉卷模式考試的班級的不及格率經常高于10%，而采用多樣化考試模式的班級的則降低到5%以下。此外，學生參與競賽的積極性極大提高，并在競賽中取得了不錯的成績。

（四）改革教學方式，培養學生創新能力

數學分析課程緊，教學任務重，任課教師往往不得不采用“滿堂灌”的教學方式。我們在課前給學生布置了復習和預習任務，在課上前5分鐘主要通過提問方式帶領學生復習前一節課內容。此外，通過少講例題，增加學生的課堂練習時間。練習的題目都是精心挑選，既有簡單應用，又有拔高題。在練習期間，允許學生自由討論，并對有些學生進行個別輔導。

由于數學分析這門課程是后續課程的基礎，難度較大，而且包含的知識點比較多，因而對知識點掌握的程度要求較高。單純的課堂教學、課后作業難以達到教學要求并實現教學目標。我們采取學生分組講解習題，討論題等來輔助教學。把學生分成若干個小組，每組組長由學習較好的學生擔任，講解范圍一部分由教師預先指定，另一部則由學生自己收集整理，要求學生提前準備好講稿。講解過程中，學生和老師可以隨時提問，同時老師給予指導和幫助。每次講解完后，由全體同學現場打分（評分表見表1），老師進行點評，總結哪些地方做得好，哪些地方有待改進。

小組討論課的形式對學生的學習過程進行了重構。學生在課前進行“信息傳遞”，在課堂上通過互動來完成“吸收內化”的過程。教師可以從學生準備的講稿中了解學生的學習困難，并在課堂上給予及時有效的輔導。同時同學之間的相互交流也能有助于促進學生知識的吸收內化。通過習題講解，既鍛煉了學生分析問題能力，對知識的總結歸納能力、演講能力等綜合素質，又極大地提高了學生的參與意識和團隊精神，變被動接受式的學習模式為主動發現式的學習模式，可以說學生從中得到的益處是難以估量的。

在課外，我們積極引導學生參加各種數學建模活動與學科競賽，以此提高學生的應用能力與實踐能力。為了與競賽難度銜接，設計梯度性增長的課后練習和作業，并鼓勵一題多解和巧解，幫助學生打開思路。增加課后答疑、上機實踐和集中指導，針對課堂吃不飽的學生，提供課外閱讀材料和提高型習題資料，并及時予以指導和幫助。在院系層面，結合學生社團，組織開展數學競賽和建模活動，幫助學生熟悉競賽環節，檢視自己的學習水平，提高團隊合作能力，同時給予正面鼓勵。

近兩年來，學生在全國大學生數學建模競賽中獲國家一等獎2項，國家二等獎3項，在全國大學生數學競賽中獲國家二等獎3項，國家三等獎8項。這些獲獎的學生大部分同時也是各級大學生創新項目的項目主持人，并且有多人發表了SCI或EI收錄科研論文，表現出較強的創新性。

三、結論

總之，數學分析這門課程不僅要教會學生循序漸進地領會已抽象出來的普遍結論、掌握扎實的專業基礎知識，更重要的是培養學生抽象的邏輯思維能力、使其切實掌握運用數學工具分析問題、轉化問題、解決問題的思想和方法，同時培養學生的創新精神和創新能力。學生對我們所進行的教學嘗試和改革，也給予了正面的評價和肯定。最近一年教學評價評分排全校前5%。學生在教學評價中認為“本門課程的任課教師十分認真負責，課堂內容充實豐富，課堂秩序嚴謹活潑，老師的教學過程設計精心，老師的講課風格幽默獨特”“這門課注意學習的整個過程，對我來說，很多知識點經過課堂講授、作業和小測驗練習、習題講解等過程可以比較熟練的掌握和運用，也使我對高等數學的很多知識更好地理解。”

我們也充分認識到，數學分析課程教學的改革是一項艱巨的系統工程，一個不斷探索、不斷改進的過程，需要我們堅持不懈的努力。

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