高中數學深度學習的特征與進階

魏有蓮 黃 勇

（1.三明第一中學，福建 三明 365001；2.福建教育學院教學研修部，福建 福州 350025）

一、高中數學深度學習的基本特征

深度學習是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程.數學是一門高度抽象的邏輯嚴密的學科，學生在學習過程中必須深切體驗、深入思考、深刻理解，不斷積累數學活動經驗、提高數學思維能力、掌握數學思想方法、學會數學價值判斷，才能觸及數學本質，提升數學素養.因此，高中數學學習必須是深度學習，且具有以下五個特征:［1］

1.經驗走向知識.高中生學習數學不是發現獨立于頭腦之外的數學世界，而是在特定學習情境中，通過對自身先前數學經驗的喚醒、分化、改造后，將新知識或同化、或順應，建構起新知識體系的過程.當以往經驗融入當下數學學習，新知識就有生長點，舊經驗便走向新知識，學習便是有意義的深度學習.

2.活動豐富體驗.高中數學學習的質量是學生深度學習過程中知識建構能力的函數.教材中的數學知識是前人建構的，對學生來說是全新的、未知的，需要再現類似前人的活動過程來建構.深度學習的數學課堂是學生主動參與、高階思維的活動過程，它通過豐富的活動來體驗數學、建構知識、涵養數學素養.

3.發展深化本質.深度學習幫助學生建構的數學知識體系必須是穩定的、清晰的、可利用的，即對所學知識進行深度加工.在教師引導下對各種發展性問題開展學生之間、師生之間的對話、辯論、協商，促進學生對所學知識反思、調整、優化，從而把握數學知識本質屬性與內在聯系.

4.遷移促進運用.遷移是認知結構有效擴展與提升的途徑.運用是內化知識的外顯化操作過程，也是學生學習積極性、主動性、創造性、深刻性的體現過程.將新學數學知識、技能、方法和思想有效遷移到解決具體問題之中，新知識轉化為學生數學綜合能力，深度學習才完成一個閉環.

5.評價明晰價值.深度學習倡導學生對自身學習認知進行評價，自覺思考所學知識在數學知識系統中的地位和作用，催生情感態度價值觀目標的實現，冷靜面對困難，平靜對待成功，反省自己數學學習能力的優勢與不足.通過評價明晰所學數學知識的價值和學習過程的價值，讓學生真正成為學習的主體.

二、高中數學深度學習的進階策略

讓深度學習成為高中數學素養落地的基本途徑，讓深度學習在學生身上真實發生，［2］在引領學生深度學習時，可通過以下五個進階策略來幫助體現深度學習的五個基本特征：

1.高位引導.學生要從經驗走向知識，實現深度學習，教師必須高位引導.高位引導體現在教師是教學活動的預設者、組織者、參與者等身份之中.教學預設時，教師將學習內容預設為適應性好、挑戰性強的探索式問題.適應性是指問題與學生認知水平相匹配，適合學生探索；挑戰性是指問題有利于培養學生創新思維.探索組織時，教師創設問題情境，高位引導學生深度探索，像“導演”一樣調節課堂學習進程朝有利于知識構建方向發展，順利完成教學預設.知識建構時，教師從教學組織者轉換為學習參與者，和學生一起探索知識關聯、結構、特征和規律，揭示知識的建構過程，調整認知結構，實現知識內化.

例1.“集合”的含義.集合是一個原始概念，不能通過其他數學概念來定義，只能用自然語言描述其含義.預設“校園內綠色植物的分類”“新高考學生選課走班類別”“中國的省會城市”等探索性問題，幫助學生理解集合的含義，明確“元素”與“集合”之間的關系.在初步建構集合概念時，引領學生認識到“研究對象”是理解集合最原始的概念，明確了“研究對象”，才確定“元素”，才生成“集合”.在“集合”概念內化時，讓學生探索更具難度的問題：①“世界上最高的山”與“世界上的高山”何者能構成一個集合？②自然數1、2、3、3、2、1 構成的集合有幾個元素？③“某班級按身高從矮到高排序的女生構成的集合”與“該班按月考成績從低到高排序的女生構成的集合”有什么關系？用這些問題揭示集合元素的確定性、互異性、無序性等特征，促進集合概念的內化.最后拋出挑戰性問題：如何表示集合？在教師“導演”下，學生總結出四種表示方法：字母表示法、自然語言法、列舉法、描述法，并能比較每一種方法的優點與不足，完成對集合概念認知的建構.

2.高度投入.深度學習的數學課堂再現類似前人的認知活動來建構知識，在活動中豐富體驗，學生必須高度投入地學習.第一，主動學習.深度學習的學生不是被動貯存知識的容器，是主動建構認知的主體.對教師預設的挑戰性問題積極參與，特別要體現出對學生本人是第一次的首創精神.第二，善于探索.學生要不斷搜索查詢大腦中現有的知識，通過活動將原有經驗關聯所學新知識，在高階思維活動中形成認知沖突，生成解決問題的思路.第三，解決問題.在學習群體的共同努力下，明辨解決問題的思路，形成解決問題的方案，在活動中解決問題，完成對新知識初步建構.

例2.簡單多面體外接球問題.該問題是立體幾何的學習難點.首先，讓學生主動探索正方體的外接球和長方體的外接球，可知其體對角線的交點就是外接球球心，體對角線就是外接球直徑.引導學生總結出：這類問題的實質是確定簡單多面體外接球球心位置、求解外接球半徑R.其次，反思正方體、長方體的求解思路，調動先前認知結構進行高階思維，對問題深入探索，學生可以發現：凡出現“墻角”結構時，通過補形方式轉化為長方體，問題即可求解.最后，在“補形”思路啟發下，經師生共同探究、分析、討論、歸納，可以發現解決一般問題的思路：這類問題總可以找到“垂直”結構，出現兩個垂直結構時，利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，球心為直角三角形斜邊中點的結論即可解決問題；出現多個垂直結構時，建立空間直角坐標系，利用向量知識即可求解.經過學生高度投入，拓寬思維方式，找到向量方法，簡單多面體外接球問題完成知識初步建構.

3.高深理解.剛完成同化于己，或順化于物的新認知結構是脆弱的、模糊的和不好利用的，必須在發展性問題的解決中進一步高深理解，將認知結構穩定化、清晰化和可利用化.深度學習中，高深理解含義是：第一，牢固聯接.采用連續呈現多個相關聯的問題串，豐富對知識的認知，加深對知識的理解，牢固聯接、穩定結構.第二，厘清概念.提供鞏固概念的多個例證，讓學生在思索、分析、辨別中厘清概念的內涵和外延，形成清晰的概念.第三，形成技能.在不同的問題情景中，學生運用數學思維和規則解決問題，通過知識外化促進新知識的進一步內化，提高其利用性，形成初步的知識運用技能.

例3.函數y=Asin(ωx+φ）的圖象.在分別探索了φ、ω(ω>0)、A(A>0)對y=Asin(ωx+φ)的圖象影響，此時學生對該圖象認知的聯接還是十分脆弱的，可以通過展示問題串，研究抽象函數變換來厘清變換的本質.研究函數y=f(x)的圖象分別與函數y=f(x+φ)圖象、函數y=f(ωx)圖象、函數y=Af(x)圖象的關系，深化對y=Asin(ωx+φ)圖象的理解，形成穩定的認知結構.再總結由函數y=sinx圖象生成y=Asin(ωx+φ)圖象步驟：體現簡單到復雜，特殊到一般的化歸思想.最后引導學生變換參數φ、ω、A的不同排列順序，由函數y=sinx圖象變換到函數y=Asin(ωx+φ)圖象的不同方法，并分析其異同點，形成初步的運用技能.

4.高妙運用.深度學習要求學生能夠運用數學概念、定理、公式、技巧、方法、思維、思想等嫻熟地解決問題.在遷移學習中，高妙應用是知識結構有效擴展與提升的重要途徑.第一，創設不同情境.讓學生在不同的問題情境中，有多種機會運用所學知識解決問題，促進遷移學習發生.第二，提高邏輯思維.數學是高度公理化邏輯化的學科，數學概念、定理的形成和論證離不開邏輯思維.高妙運用要加強對學生抽象、概括、分析、類比、猜想、推理、綜合等數學邏輯思維能力的培養.第三，催化正向遷移.高妙運用要催化正向遷移，使學生能夠舉一反三，形成思維定勢，提高學習效率.同時要防止負向遷移，多進行發散思維訓練.第四，強化順遷移和逆遷移.利用學生原有認知結構中的“舊知識”幫助提升“新知識”的運用能力，即順遷移；利用“新知識”加深對“舊知識”的理解，即逆遷移.要不斷強化順遷移和逆遷移，以提高學生數學綜合運用能力.

例4.不等式的求解.（1）求解x2-4x-5<0；（2）求 解x2-(2a-1)x+a(a-1) <0(a∈R)；（3）求 解x2-(a-1)x-a<0(a2R)；（4）求 解ax2-(a2+1)x+a<0(a∈R).問題（1）是簡單的二次不等式，通過觀察、求根、作圖等步驟，可求得{x|-1-1 時，{x|-11、a=1、0

5.高峰體驗.深度學習是一種豐富學生精神生命的學習［3］，高峰體驗是自我提高學生精神生命的重要方式.高峰體驗是指學生在學習過程中感受到的一種發至心靈深處的顫栗、欣快、滿足、超然的情緒體驗.這種體驗對學生明晰所學知識的價值和學習過程的價值有特殊的促進作用.深度學習中高峰體驗的方式有：第一，角色扮演.設計一個真實的、極具價值的問題情境，學生扮演數學家的角色來解決問題，體驗一次“真正”的數學探索過程，產生終身難忘的高峰體驗.第二，分享感受.深度學習課堂要引導學生將學習過程中的感受、感悟，回味、回甘與同伴分享，形成情緒感染、情感共振，促進個體和同伴共同達到高峰體驗.第三，元認知體驗.元認知是學生對自身認知活動的認知.處在深度學習狀態的學生能積極地監控和調節自己的學習進程，迅速達成學習目標，伴隨產生認知高峰體驗和情感體驗.

例5.（1）如圖（1）在等腰直角三角形ABC的斜邊AB上任一取點M，求：AM小于AC的概率.（2）如圖（2）在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在∠ACB內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM小于AC的概率.問題（1）是一個要通過建模找到該事件發生區域的幾何概型問題.當學生像數學家一樣思考、探索、討論后，總結出“先確定臨界點，再確定區域”的方 法.在AB上 截 取AC′=AC，于 是P(AM

圖1

圖2

經過一年的探索、實踐、實戰，基于新時代育人觀，在高中數學課堂中引領學生深度學習，學生的數學素養得到一定提升.然而，未來仍需繼續努力，讓深度學習之花開得更加絢爛.