立足數(shù)學(xué)探究 發(fā)展核心素養(yǎng)

潘竹樹 林運(yùn)來

（1.泉州市第九中學(xué)，福建 泉州 362000；2.廈門大學(xué)附屬實(shí)驗(yàn)中學(xué)，福建 漳州 363123）

現(xiàn)代數(shù)學(xué)哲學(xué)認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一個(gè)探究和認(rèn)知的過程，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)展示這一創(chuàng)造性活動(dòng)，但現(xiàn)實(shí)中，數(shù)學(xué)探究卻處于尷尬境地.在一次培訓(xùn)中，筆者有幸聆聽了福建省教育廳李迅副廳長(zhǎng)的講座，他送給數(shù)學(xué)教師八個(gè)字“前因后果、來龍去脈”，筆者深受啟發(fā).一堂完整的課應(yīng)當(dāng)包括三個(gè)環(huán)節(jié)，即知識(shí)從何而來？知識(shí)是什么？知識(shí)從何而去?這是一個(gè)因果鏈.［1］筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勛约旱囊恍┧伎己腕w會(huì).

一、追根溯源探“來龍”，培養(yǎng)抽象素養(yǎng)

抽象是數(shù)學(xué)的一種基本思想與基本方法，初中代數(shù)體系以“式”為支撐，用字母表示數(shù)，讓“數(shù)”到“式”華麗轉(zhuǎn)身，實(shí)現(xiàn)小學(xué)“算術(shù)”到初中“代數(shù)”質(zhì)的飛躍，教師要善于把握每一個(gè)機(jī)會(huì)，以教材為載體，培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng).

（一）概念教學(xué)明本質(zhì)

概念教學(xué)體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)就是要揭示知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的形成過程，掌握相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)歷“做數(shù)學(xué)”再創(chuàng)造的過程［2］，有利于培養(yǎng)學(xué)生的抽象素養(yǎng).

以乘方概念為例，教學(xué)中可以先探“來龍”——乘法，為方便計(jì)算幾個(gè)相同的數(shù)相加，引入乘法，如5+5+5=15；通過類比，求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方，自然而然地引入了乘方，如5× 5× 5=53=125.這樣追求概念間聯(lián)系的教學(xué)，對(duì)學(xué)生深刻理解乘方的意義，避免把乘方運(yùn)算當(dāng)成乘法運(yùn)算.

（二）新課教學(xué)探本源

以《同類項(xiàng)》一課為例，有一位教師首先在課件上出示兩男兩女的照片，然后讓學(xué)生分類：學(xué)生七嘴八舌說，可以按男女分類，可以按是否帶照眼鏡分類，可以按襯衫顏色、領(lǐng)子形狀分類等.接著舉了幾個(gè)例子讓學(xué)生分類，歸納同類項(xiàng)的概念，最后讓學(xué)生練習(xí)合并同類項(xiàng).（如圖1）

圖1

本節(jié)課沒有抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，主要存在三個(gè)問題.第一、沒有理清同類項(xiàng)的“來龍”是從數(shù)抽象為式；第二、分類標(biāo)準(zhǔn)與數(shù)學(xué)無關(guān)聯(lián)，為什么這樣分類？第三、分類的目的不明確，分類是為了什么？

通過思維導(dǎo)圖可知，用字母表示數(shù)從而產(chǎn)生式，代數(shù)式包括整式和分式，整式包含單項(xiàng)式和多項(xiàng)式，同類項(xiàng)是探究合并多項(xiàng)式的必由之路，包含著培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的重要契機(jī).筆者認(rèn)為可以進(jìn)行如下改進(jìn)：

首先讓學(xué)生嘗試簡(jiǎn)化計(jì)算：

讓學(xué)生把分?jǐn)?shù)換成字母計(jì)算500a+155b+400a-55b.并說明單元項(xiàng)怎么分類？

其次、出示足夠多的單項(xiàng)式讓學(xué)生分類.

（1）55m，（2）-ab2，（3）10，（4）4a2b，（5）400m，（6）155ab，（7）2ab2，（8）-8，（9）9a2b，（10）-3ba，（11）-5a2b，（12）π，（13）-30m，（14）55ab.

一眼讓學(xué)生看出分類結(jié)果的題目是沒有思維含量的，而本題具有挑戰(zhàn)性，可以讓學(xué)生先獨(dú)立思考，再發(fā)揮小組的作用，讓學(xué)生討論后再發(fā)言.

有的學(xué)生會(huì)說以“正負(fù)數(shù)”分類，再引導(dǎo)學(xué)生思考帶有負(fù)號(hào)的單項(xiàng)式一定是負(fù)數(shù)嗎？顯然這種分類不合理.然后再引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分類：

單項(xiàng)式次數(shù)為0：（3）10，（8）-8，（12）π

單項(xiàng)式次數(shù)為1：（1）500m，（5）400m，（13）-30m

單項(xiàng)式次數(shù)為2：（6）155ab，（10）-3ba，（14）55ab

單項(xiàng)式次數(shù)為3：第一類：（2）-ab2，（7）2ab2；第二類：（4）4a2b，（9）9a2b，（11）-5a2b.

這樣明確了分類的標(biāo)準(zhǔn)，以單項(xiàng)式的次數(shù)來分類，從而讓學(xué)生體驗(yàn)分類的目的，為合并同類項(xiàng)作鋪墊，培養(yǎng)了學(xué)生抽象素養(yǎng).

二、運(yùn)籌帷幄索“去脈”，培養(yǎng)模型素養(yǎng)

對(duì)核心概念、思想、方法教師要精心設(shè)計(jì)，從學(xué)生最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，設(shè)計(jì)有聯(lián)系的學(xué)習(xí)情境，設(shè)計(jì)思維連貫的問題串，在聯(lián)系、對(duì)比、變化、拓展問題中把握本質(zhì)，理解本質(zhì).這些核心內(nèi)容正是學(xué)生的思維生長(zhǎng)點(diǎn)，是學(xué)生能力形成的核心點(diǎn)，是學(xué)生形成原創(chuàng)思維的好載體，教學(xué)切不可一筆帶過.［3］

（一）從知識(shí)的縱橫聯(lián)系中索“去脈”

圖形的“動(dòng)態(tài)變換”比起“靜態(tài)圖形”更能說明圖形所具備的性質(zhì)，更能揭示圖形的一般規(guī)律.以“斜邊直角邊（HL）”一課引入為例.

1.方式一（直接出示命題）

首先，出示問題“在兩個(gè)直角三角形中，當(dāng)斜邊和一條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等時(shí)，這兩個(gè)直角三角形是否全等？”

其次，讓學(xué)生動(dòng)手操作感知命題是正確的.

最后，畫圖并證明正確性，概括得到定理.

2.方式二（聯(lián)想遷移驗(yàn)證）

聯(lián)想遷移：“邊角邊（ ）”一課，教師曾經(jīng)舉如下“模型”（反例），說明兩個(gè)三角形滿足“邊邊角”不一定全等.

如上圖2，△ABD和△ABC中，滿足AD=AC,∠B=∠B,AB=AB，但兩個(gè)三角形不全等.

如上圖3，△ABC和△ACD中，滿足AB=AD,∠B=∠D,AC=AC，但兩個(gè)三角形不全等.

這兩個(gè)三角形之所以不全等，結(jié)合尺規(guī)作圖，可以觀察到會(huì)產(chǎn)生一個(gè)銳角三角形和一個(gè)鈍角三角形.這個(gè)定理貌似與“斜邊直角邊（HL）”沒有關(guān)聯(lián)，其實(shí)不然，挖掘這個(gè)“反例”，可以尋找到“斜邊直角邊（HL）”的作圖與證明依據(jù)，這牽涉到以上兩個(gè)“反例”的“去脈”，很好體現(xiàn)了新舊知識(shí)的關(guān)聯(lián)，起到按圖索驥的效果.

實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：幾何畫板實(shí)驗(yàn)操作如下，如上圖2，以點(diǎn)A為圓心，線段AC為半徑的圓，與BC邊所在直線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，即AC⊥BC時(shí)，所畫出的三角形是唯一的（如圖4），則可以驗(yàn)證“斜邊直角邊（HL）”是正確的.

同理，如上圖3，以點(diǎn)A為圓心，線段AB為半徑的圓，與BC邊所在直線只有一個(gè)點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，即AB⊥BC時(shí)，所得三角形也唯一（圖5）.

方式二，通過“反例”的再利用，“斜邊和直角邊（HL）”的引入自然，與直接給命題效果形成鮮明對(duì)比，不會(huì)讓學(xué)生感覺突然——為什么會(huì)想到這一個(gè)命題？實(shí)驗(yàn)操作可以揭示這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的“前因后果”，讓學(xué)生體驗(yàn)到“動(dòng)態(tài)”幾何和“靜態(tài)”幾何是和諧統(tǒng)一的，提升了學(xué)生的模型素養(yǎng).

（二）從知識(shí)的發(fā)展設(shè)計(jì)“來龍去脈”

知識(shí)的發(fā)展脈絡(luò)是有章可循的，但這不代表學(xué)生就會(huì)自主建構(gòu)知識(shí).教師應(yīng)該在教學(xué)中創(chuàng)造機(jī)會(huì)，讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、猜想、探究，在合作交流中逐漸形成獨(dú)特的知識(shí)網(wǎng)絡(luò).

如《求二次函數(shù)的最大（小）值》一課，求y=x2-2x+4的最小值，可以按如下思維導(dǎo)圖展開教學(xué).（圖6）

圖6

這樣有利于學(xué)生把握“來龍去脈”，把所學(xué)的知識(shí)串成串，讓思維以可視化的形式出現(xiàn)，讓學(xué)生利用a2≥0，來構(gòu)造模型，既可以減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，又可以培養(yǎng)學(xué)生的模型素養(yǎng).

（三）從關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)串聯(lián)“來龍去脈”

教材中，合乎邏輯的、符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué)內(nèi)容安排，必須以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程為基本依據(jù).［4］課堂教學(xué)是落實(shí)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵，而教學(xué)設(shè)計(jì)則是從課程標(biāo)準(zhǔn)、教材到課堂教學(xué)的橋梁.［5］

圖7

“二元一次方程組是反映現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量之間相等關(guān)系的數(shù)學(xué)模型”，《加減消元法》一課是關(guān)鍵教學(xué)點(diǎn)，因?yàn)樗舛淮畏匠探M最常用的方法，解方程組變化最為紛繁復(fù)雜，方法最為靈活多樣，可以提升學(xué)生類比思想、整體思想和化歸思想.以本課題組一位成員市級(jí)一等獎(jiǎng)的微課《解二元一次方程組》為例.

1.回顧比較，初探數(shù)學(xué)模型

法一：把3x+5y=5 轉(zhuǎn)化為，代入②，消去x得關(guān)于y的一元一次方程，再求x，回顧代入消元法；

法二：把3x+5y=5 轉(zhuǎn)化為3x=5-5y，把3x看成一個(gè)整體，直接代入②消去x，解關(guān)于y的一元一次方程求出y，再求x；

法三：觀察到兩個(gè)方程的x系數(shù)相等，將①、②兩式相減，消去x，得關(guān)于y的一元一次方程，求出y，再求x.

通過以上三種方法，抓住核心思想“消元”，培養(yǎng)了學(xué)生整體思想——初探模型.

2.類比化歸，確立數(shù)學(xué)模型

引導(dǎo)學(xué)生思考：怎樣消去一個(gè)未知數(shù)？先消去哪個(gè)未知數(shù)比較好？觀察式子特征：兩個(gè)方程中x,y的系數(shù)互為相反數(shù)，類比例1 相加消元.通過將方程組中的兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去其中的一個(gè)未知數(shù)，轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法——建立模型.

3.拓展應(yīng)用，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型

分析解題思路：x與y的系數(shù)都不同怎么辦？再次化歸，可以將x與y的系數(shù)都“調(diào)”到相等或互為相反數(shù)，優(yōu)化解法.

圖8

本節(jié)課之所以能獲得市一等獎(jiǎng)，主要因?yàn)橛腥缦氯齻€(gè)亮點(diǎn).第一、成功把握了解二元一次方程組“來龍去脈”，來龍——一元一次方程和代入法消元法為基礎(chǔ)，去脈——加減消元；第二、從頭到尾緊緊抓住數(shù)學(xué)思想方法“消元”，且消元方法不拘一格；第三、經(jīng)歷兩次化歸思想，化二元為一元，化系數(shù)不等為系數(shù)相等或互為相反數(shù)——應(yīng)用模型.

三、常尋思“前因后果”，培養(yǎng)邏輯素養(yǎng)

數(shù)學(xué)教師，要不斷地思考每一節(jié)課，每個(gè)知識(shí)點(diǎn)所處的位置，借助思維導(dǎo)圖幫助分析知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使核心素養(yǎng)的培養(yǎng)具體化，寫入每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，使核心素養(yǎng)落地生根.

（一）數(shù)學(xué)教學(xué)體系的天然需要

數(shù)學(xué)知識(shí)具有系統(tǒng)性、結(jié)構(gòu)性、邏輯性，教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)知識(shí)系統(tǒng)的整體結(jié)構(gòu)，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).首先教師自己要理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，知道新授知識(shí)在數(shù)學(xué)系統(tǒng)中的“來龍”與“去脈”；其次分析學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，準(zhǔn)確激發(fā)知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，讓其體會(huì)新舊知識(shí)的聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生從整體性角度進(jìn)行認(rèn)知，形成合理的邏輯結(jié)構(gòu).［6］

如“三角形兩邊之和大于第三邊”的本質(zhì)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”（“來龍”）.《立體圖形的表面展開圖》一課的“去脈”，在《勾股定理的應(yīng)用》可以考查長(zhǎng)、寬、高均不相等的長(zhǎng)方體上相對(duì)兩個(gè)頂點(diǎn)之間“線路最短問題”（3 條不同線路比較大小），或者考查一只螞蟻從圓柱體表面上吃到蜂蜜“線路最短問題”.

圖9

（二）思維導(dǎo)圖理清“前因后果”

以《整式的乘除》為例，學(xué)生在初一年學(xué)習(xí)了整式的加減，初二學(xué)習(xí)了整式的乘除.學(xué)生學(xué)習(xí)“多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”后，通過思維導(dǎo)圖發(fā)現(xiàn)了問題.

生:“單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式”對(duì)應(yīng)的有“單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”，“單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”對(duì)應(yīng)的有“多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式”，為什么只有“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式”，卻沒有“多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式”？

師：是嗎？你非常認(rèn)真觀察，看看書中有沒有多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式？（教師故驚訝狀）

生：我反復(fù)看了，真是找不到.

師：再仔細(xì)找一下，有別的什么新的內(nèi)容嗎？

生：我只發(fā)現(xiàn)有一個(gè)新的學(xué)習(xí)內(nèi)容“因式分解”.

師：下學(xué)期，大家將學(xué)習(xí)計(jì)算“分式的約分”(2x2-4x) ÷(x-2)？根據(jù)分?jǐn)?shù)的約分給我們啟示，利用單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的逆運(yùn)算，可得2x(x-2) ÷(x-2)=2x.

生：也就是說要找到被除式和除式相同的因式，再進(jìn)行約分.

師：分子的這種運(yùn)算叫“因式分解”，這個(gè)式子的分子與分母都是多項(xiàng)式嗎？你有什么發(fā)現(xiàn).

生：“因式分解”的本質(zhì)就是為了解決“多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式”的問題作準(zhǔn)備.

本例中通過“前因”（數(shù)的約分）來啟發(fā)學(xué)生，同時(shí)為“后果”（多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式）作鋪墊，解釋了學(xué)生的疑惑，知其然、知其所以然，培養(yǎng)了學(xué)生的邏輯素養(yǎng).

四、教學(xué)思考

追求前因后果、來龍去脈的教學(xué)，會(huì)讓課堂充滿理性的光輝.每一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的到來都水到渠成，有理有據(jù)，不會(huì)讓學(xué)生感覺突兀；知識(shí)點(diǎn)間的關(guān)聯(lián)都順理成章，不會(huì)強(qiáng)加給學(xué)生，學(xué)生接受起來毫無違和感；知識(shí)點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣，前征后引，布局精妙.在教學(xué)中詮釋教材所承載的課標(biāo)精神.猶如海中的冰山，我們不能只看到海平面上的冰山一角，而要發(fā)現(xiàn)海平面下方冰山的根基.［7］這樣教學(xué)貌似簡(jiǎn)單，實(shí)則對(duì)教師提出了很高的要求，要求教師獨(dú)具匠心，讓教材為我所用，又不拘泥于教材.以課堂這個(gè)主陣地，真正培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).