數形結合，構建小學數學解題模型

曾令發

【摘要】“模型就是通過對問題現象的分解，利用我們考慮得來的原理吸收一切主要的因素，略去一切不主要的因素，所創造出來的一副圖畫……”數學圖形模型是指利用圖形對變量間的關系作分析基礎，構建圖形將問題直觀地表達出來，或將實際問題直接與幾何知識、代數知識結合，求解問題。抽象邏輯思維的培養依托于幾何圖形，同時，也為學生提供具體、形象、直觀的解決問題的方法，把最適當的認識方式變為學生所能掌握的形式，不僅提高學生的學習效率，而且培養了濃厚的學習興趣。

【關鍵詞】模型;數形結合;數學圖形

數學是關于模式的科學而不僅僅是關于數的科學。學生的學習過程是一種以主體已有知識的經驗為基礎的主動建構活動。數學模型是關于部分現實世界和為一種特定目的而作的一個抽象的、簡化的數學結構，它能提供處理對象的最優決策。例如，歷史上著名的“哥尼斯堡七橋問題”的答案就是一個典型的數學模型。在此，筆者首先給學生講“植樹問題”的過程。

題目：同學們張開手，5個手指人人有，手指之間幾個空，請你仔細瞅一瞅。

筆者舉起手來，張開五指，學生們模仿著筆者的動作，大聲回答說：“四個空。”筆者告訴他們，“空”是俗話，數學上把“空”叫做“間隔”。然后，筆者接著問：“5個手指之間有幾個間隔？”學生們齊聲答道：“4個間隔。”此舉叫做“配個原形”。“手”就是“手指”和“空”所代表的一類事物的數量關系的原形：5-1=4，即“手指數-1=間隔數”。

筆者把這個式子板書出來，接著就又出了下面的題：

題目：（種樹）小朋友在一段路旁種了5棵樹，這5棵樹之間有幾個間隔？若每個間隔長1米，這段路有多長？

學生們一下就看出來了：5棵樹之間有4個間隔，4個間隔共長4米。

筆者緊接著就引導學生寫出下式：5-1=4，即棵數-1=間隔數（兩頭都種樹）。

這實質上就是建構了空間一維直線上的點數和它們的間隔數之間的數量關系。可以看出，這個關系和手的情形是同樣的。這種共同數量關系及其表達式就可以作為一種數學模型看待。

然后，筆者繼續引導學生擴展考察的范圍：題目（鐘打點）——小明家的鐘會打點報時，5點鐘打5下，4秒鐘打完。按這樣，你知道10點鐘打10下需要幾秒鐘打完嗎？

筆者仍然引導學生先畫圖，打一下，畫一個點，這就使學生在不知不覺中把時間觀念用圖形（線段和點）轉化為空間形式來表達了。

由圖可見，5個點之間4個間隔，4個間隔是4秒，顯然每個（時間）間隔是1秒。“5-1=4”也符合：點數-1=間隔數。進而得出：10-1=9（個間隔），從而得出打10下需要9秒鐘打完。此時，筆者借機告訴學生，與前面題目中的“空間間隔”不同，這道題中的間隔叫“時間間隔”。此外，還可以繼續擴展這一模型應用到其它的問題上。

題目：1.（鋸木頭）把一根木頭鋸成5段要付鋸工費用1元。如果把同樣的另一根木頭鋸成13段，應付鋸工費多少元？2.（上樓梯）小明家住五樓。他數了數兩個樓層之間的樓梯共有10個臺階。他想知道自己從一樓上到五樓要上多少個臺階，你能幫他算出來嗎？

把這兩題解答完后，師生一起回顧以上各題，找出它們的共同點，即抽象出這類事物中共同的數量關系，仍以“植樹問題”為代表，寫成：棵數-1=間隔數（兩頭都有樹）。

按照習慣，我們就把這一類問題叫做“植樹問題”。通過以上學習，隨著年級的升高，學生就可以運用這一模型進一步解決那些更為復雜的問題。如，57輛軍車排成一列通過一座橋，前后兩輛車之間都保持2米的距離。橋長200米，每輛軍車長5米。從第一輛車頭到最末一輛車尾共長多少米？

整個教學過程就是設法使學生建構起現代模式論的數學觀，這也符合布魯納說的“從本質上說，一開始不是學習一種技能，而是學習一個一般觀念，然后這個一般觀念可以作認識后繼問題的基礎，這些后繼問題是開始所掌握的觀念的特例。這種類型的遷移應該是教育過程的核心——用基本的和一般的觀念來不斷擴大和加深知識”。

出于同樣的考慮，當學生學了長方形的面積后，我們就可以把長（下轉第23版）（上接第22版）方形作為數學模型來對待，就是對某些數學問題的數量關系，用長方形表示出其幾何意義或以某種方式可以與幾何圖形建立聯系，將題目中的條件及數量關系直接反映在幾何圖形中，然后在構造中尋求原題的結論。

如，一輛汽車從城市開往山區，往返共用20小時，去時的時間是回來的1.5倍，去時的速度比回來的速度慢12千米，汽車往返共行多少千米？

這里用長來表示速度，寬表示時間，構造一個“長方形”，問題就迎刃而解。

觸類旁通，只要具有類似計算長方形面積的乘法應用題都可以構造“長方形”模型來求解。在此略舉幾例，以示佐證。

一是解平均數問題。例如，五（1）班數學期中考試平均分為78分，而男生平均分為75.5分，女生平均分為81分，求男女人數的比。

二是解行程問題。例如，甲乙丙三人，甲每分走50米，乙每分走60米，丙每分走70米。甲乙從東村，丙從西村同時出發。丙遇到乙后2分鐘又遇到甲，求東西兩村的距離。

根據“速度和×相遇時間=路程”的數量關系，可構建下圖來求解。

三是解測量古井問題。例如，用繩子測量井深，把繩子三折來量，井外余4尺;把繩子4折來量，井外余1尺。求井深和繩子的長。

由于井深就是每折的長度減去余在井外的長度，通過構建下圖，假設井深為x米，得：（x+1）×4=（x+4）×3.

四是解盈虧問題。例如，一些人共同分擔購買小船的錢，如果其中10人后來決定不參加，余下的人每人要多分擔1元。當實際付款時，又有15人退出，最后余下的每人又要多分擔2元。求原先是多少人？

這題相對復雜些，但只要抓住所構建圖中的“等積”關系列方程，答案就自然有了。

在數學能力競賽中，許多題目只要注意構造模型，初看無從下手的題目會變得簡單、明了。例如，通過構造“極端”模型，從問題的最簡單狀態或最多的情況入手，探索解題方法。如（1）計算：

（2）某人上樓梯的本事有三種：一步一級、一步兩級、一步三級，他要從樓下上到10級臺階的樓上，有多少種不同的方法？這兩題都可以從最簡單的“極端”去考慮。

另外從數點格求積得到啟示，可以構造“網格”模型來解題。如，（1）正六邊形ABCDEF的面積為6平方厘米，M、N、P分別是所在邊的中點，求三角形MNP的面積。（2）長途公共汽車有甲、乙兩個終點站，汽車要用4小時才能駛完全程。從上午6時開始，每隔1小時從甲乙兩站同時發出一輛汽車，最后一輛車是在下午4時出發。從甲站出發的汽車司機最多能看到多少輛迎面駛來的從乙站開出的車？最少呢？這兩題只要構造下面的“網格”圖，題目就顯得非常容易了。

從這些鮮活的例證中，我們真正領略到了“數形結合，構建解題模型”的意義和價值，也應證了布魯納說的“智力的主要任務就在于為經驗的順序構造易于解釋的模型，緊接著的命題就是把最適當的認識變為幼小學童所能掌握的形式……學生一旦熟悉了那個適當形式，便能繼續掌握更有效能、更精確的認識和使用知識的形式。”相信通過筆者以上的拋磚引玉，今后的教法在一定程度上實現布魯納的期待——“把最適當的認識方式變為幼小學童所能掌握的形式”。

參考文獻：

[1]連秀云，劉來福.模型解題法（初中數學）[M].北京大學音像出版社，2010.

[2]史寧中.數學結合與數學模型[M].高等教育出版社，2018.

[3]唐振華，張旭芳.數學結合[M].電子工業出版社，2020.