初中數(shù)學(xué)“認(rèn)識(shí)封閉”突破策略研究

周小峰

[摘? 要] 學(xué)習(xí)中，學(xué)生常會(huì)對(duì)某特定問(wèn)題或知識(shí)產(chǎn)生固定的認(rèn)識(shí)，形成認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象. 為了突破這種現(xiàn)象，文章從認(rèn)識(shí)封閉的形成原因出發(fā)，提出突破認(rèn)識(shí)封閉的策略有：學(xué)會(huì)思考，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu);變式教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生思維;關(guān)聯(lián)行為，培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣.

[關(guān)鍵詞] 認(rèn)識(shí)封閉;思維;教學(xué)

認(rèn)識(shí)封閉是指本可以用某些知識(shí)或方法解決當(dāng)前問(wèn)題，卻認(rèn)為自己無(wú)法解決這個(gè)問(wèn)題的現(xiàn)象，亦可理解為“將不會(huì)當(dāng)做不能”的思想認(rèn)識(shí). 認(rèn)識(shí)封閉現(xiàn)象普遍存在于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，很多時(shí)候我們沒(méi)有覺(jué)察到它對(duì)學(xué)習(xí)的影響，只是單純地認(rèn)為所有解題障礙都是因?yàn)閷W(xué)習(xí)能力差. 為此，教師應(yīng)全方位地認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)中存在的問(wèn)題，從不同的角度去審視與發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的根源，充分認(rèn)識(shí)封閉的體系與突破方法.

認(rèn)識(shí)封閉產(chǎn)生的原因

1. 認(rèn)知結(jié)構(gòu)不夠完善

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完善，是致使認(rèn)識(shí)封閉的前提. 新課標(biāo)明確提出：“要幫助學(xué)生全方位地理解數(shù)學(xué)教材，構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[1]. ”然而放眼當(dāng)下，學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)并不完善. 究其主要原因還在于教師缺乏構(gòu)建學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的意識(shí)，忽視學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平提高的因素，使得學(xué)生無(wú)法從根本上理解知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展與形成過(guò)程. 學(xué)生只是掌握了碎片化的知識(shí)，而無(wú)法將知識(shí)進(jìn)行融會(huì)貫通，串聯(lián)成一個(gè)完整的知識(shí)體系.

2. 學(xué)生思維有待發(fā)展

思維的有待發(fā)展，是導(dǎo)致認(rèn)識(shí)封閉的基本條件. 初中階段學(xué)生的身心特征決定了其思維以經(jīng)驗(yàn)型為主，對(duì)實(shí)際事物缺乏感性的認(rèn)識(shí). 學(xué)生往往對(duì)新穎、奇特或自己感興趣的材料有較強(qiáng)的接受能力，但對(duì)一些抽象的定理、公式、法則等不那么容易接受. 部分學(xué)生的思維仍停留于機(jī)械性的識(shí)記方面，無(wú)法深刻理解一些數(shù)學(xué)概念、定理或法則所蘊(yùn)含的真正意義. 由此可見(jiàn)，初中階段學(xué)生思維的敏捷性、深刻性、理解性與創(chuàng)造性等方面均有待發(fā)展.

3. 學(xué)習(xí)習(xí)慣有所欠缺

學(xué)習(xí)習(xí)慣差，是認(rèn)識(shí)封閉產(chǎn)生的關(guān)鍵因素. 學(xué)習(xí)習(xí)慣與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展有著直接的聯(lián)系. 教師在課堂中一樣地授課，學(xué)生接收到的內(nèi)容卻千差萬(wàn)別. 經(jīng)研究，這與學(xué)生的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣有著直接關(guān)系. 同樣的課堂學(xué)習(xí)，有學(xué)生筆記工整、清晰，也有學(xué)生沒(méi)有筆記;有學(xué)生在課堂上積極發(fā)言、勇于質(zhì)疑，也有學(xué)生從不舉手發(fā)言，也從不提出任何問(wèn)題;有學(xué)生保質(zhì)保量地完成課后作業(yè)，也有學(xué)生能拖則拖，作業(yè)永遠(yuǎn)不能及時(shí)完成.

突破認(rèn)識(shí)封閉的策略

學(xué)生因以上各種因素導(dǎo)致遇到實(shí)際問(wèn)題時(shí)懶于思考，缺乏探究與鉆研精神，出現(xiàn)認(rèn)識(shí)封閉的現(xiàn)象. 其實(shí)，認(rèn)識(shí)封閉并不是真正的能力差，只是自認(rèn)為難以解決當(dāng)前問(wèn)題，并非真的無(wú)法解決. 只要教師從思想上辯證地認(rèn)識(shí)到認(rèn)識(shí)封閉的存在，通過(guò)一定的方法必能突破這種障礙，使得問(wèn)題順利解決.

1. 學(xué)會(huì)思考，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

認(rèn)知結(jié)構(gòu)的不完善是導(dǎo)致認(rèn)識(shí)封閉的前提因素. 為此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)思考，鼓勵(lì)學(xué)生在思考中完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以突破認(rèn)識(shí)封閉. 從數(shù)學(xué)認(rèn)知學(xué)的研究范疇來(lái)看，所謂的思考是指用數(shù)學(xué)的思維方式對(duì)世間萬(wàn)物進(jìn)行分析與思考，要從想、做、說(shuō)等角度出發(fā)，運(yùn)用關(guān)聯(lián)、構(gòu)建、內(nèi)化與整合等方法完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu). 學(xué)會(huì)思考能幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)，并掌握數(shù)學(xué)抽象、推理與建模的能力，從而有效地突破認(rèn)識(shí)封閉.

例1 如圖1所示，將Rt△ABC按照?qǐng)D示方法進(jìn)行折疊，折疊后使得點(diǎn)A重合于點(diǎn)C，DE為折痕. （1）求證：△ECB為一個(gè)等腰三角形;（2）如圖2所示，將△ECB沿著它的對(duì)稱(chēng)軸EF進(jìn)行折疊，此時(shí)原△ABC恰好被折疊成兩個(gè)完全重合的疊加矩形（包含一個(gè)△ABC的內(nèi)接矩形和一個(gè)拼接而成的矩形），問(wèn)圖3的正方形網(wǎng)格中△ABC可否得出類(lèi)似的疊加矩形？若能，請(qǐng)?jiān)趫D3中畫(huà)出折痕. （3）如圖4所示，以正方形網(wǎng)格中的BC為一邊，畫(huà)一個(gè)頂點(diǎn)在格點(diǎn)上的△ABC，使得該三角形依照以上方法折疊而成的疊加矩形為正方形. （4）思考：依照以上方法折疊而成的圖形為疊加正方形，需要哪些必備條件？

本題中的問(wèn)題（1）和問(wèn)題（2）涉及的是組塊問(wèn)題，問(wèn)題（3）則屬于自變行為，而問(wèn)題（4）已經(jīng)深入共變內(nèi)容了. 這就要求學(xué)生要有一定的思考能力，通過(guò)前兩個(gè)原型定向問(wèn)題逐漸深入思考，將問(wèn)題的共性特征逐漸內(nèi)化到自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，變成自己的認(rèn)知. 此過(guò)程可將從無(wú)序的折紙到有定義組合的折紙視為思維的困境，從學(xué)習(xí)困境驅(qū)動(dòng)論的角度來(lái)看，適當(dāng)?shù)乃季S困境能促進(jìn)學(xué)習(xí)者深加工學(xué)習(xí)材料，進(jìn)而完善認(rèn)知.

學(xué)會(huì)思考是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本素養(yǎng). 從認(rèn)知心理學(xué)來(lái)說(shuō)，知識(shí)的獲得與遷移都是從外部認(rèn)知逐漸轉(zhuǎn)化為內(nèi)部思維的，而內(nèi)部思維的形成主要體現(xiàn)在完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與動(dòng)作映像[2]，即實(shí)現(xiàn)“外部輸入—思維內(nèi)化—映像輸出”的過(guò)程. 學(xué)生在學(xué)會(huì)思考中日趨完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并逐漸突破認(rèn)識(shí)封閉，更好地解決相關(guān)問(wèn)題.

2. 變式教學(xué)，優(yōu)化學(xué)生思維

數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要關(guān)注學(xué)生對(duì)知識(shí)與技能的掌握程度，更重要的是要關(guān)注學(xué)生思維的優(yōu)化過(guò)程. 為了激發(fā)學(xué)生思維的活躍性，教師應(yīng)給學(xué)生創(chuàng)造更多探索與體驗(yàn)數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，以激發(fā)學(xué)生的潛能，促使學(xué)生形成高階的思維品質(zhì). 變式教學(xué)、一題多解、多解一題等均能有效地優(yōu)化學(xué)生的思維，讓學(xué)生在良好的思維品質(zhì)中突破認(rèn)識(shí)封閉，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)能力的成長(zhǎng).

例2 如圖5所示，折疊銳角三角形ABC紙片，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，折痕與AB相交于E，與AC相交于F，且BC∥EF，連接DE，DF，AD. （1）求證：線(xiàn)段EF是△ABC的中位線(xiàn);（2）試證線(xiàn)段BC與AD之間的關(guān)系;（3）若AB=AC，請(qǐng)判斷四邊形AFDE的形狀，并證明.

變式1：如圖6所示，△ABC為一個(gè)鈍角三角形紙片，折疊該三角形，使得點(diǎn)A落于BC延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)D處，折痕與線(xiàn)段AB相交于點(diǎn)E，與線(xiàn)段AC相交于點(diǎn)F，且BC∥EF，連接DE，CE與DF，已知CB=2CD. （1）本圖中一共有幾個(gè)等腰三角形？（2）假設(shè)AC=BC，請(qǐng)判斷四邊形ECDF的形狀，并證明.

變式2：如圖7所示，△ABC為一個(gè)等邊三角形，折疊這個(gè)三角形，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D處，已知BD∶DC=m∶n，若折痕為MN，試求AM∶AN的值.

本題對(duì)原題進(jìn)行有條理、有層次的變式，讓學(xué)生通過(guò)試題的變化來(lái)發(fā)現(xiàn)解決此類(lèi)問(wèn)題的本質(zhì)，達(dá)到觸類(lèi)旁通、融會(huì)貫通的教學(xué)成效. 這種方式使得每個(gè)學(xué)生都能找到解題的突破口，即有利于不同水平層次學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展，又能有效地優(yōu)化學(xué)生的思維，促使學(xué)生數(shù)學(xué)思維的成長(zhǎng)與學(xué)力的提升，為突破認(rèn)識(shí)封閉奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

3. 關(guān)聯(lián)行為，培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣

關(guān)聯(lián)是指將碎片式的零散知識(shí)或一些不具確定性的經(jīng)驗(yàn)聯(lián)系到一起，抽象出具體的特征[3]. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的關(guān)聯(lián)行為是培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣的基礎(chǔ)，良好的習(xí)慣從諸多關(guān)聯(lián)中逐漸產(chǎn)生. 關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)知識(shí)，可通過(guò)同化、順應(yīng)與重組來(lái)實(shí)現(xiàn). 良好的習(xí)慣一旦形成，對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)與可持續(xù)發(fā)展將產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響，同時(shí)對(duì)認(rèn)識(shí)封閉的突破具有舉足輕重的作用.

例3 因式分解：x4-4=（x2+2）（x2-2）.

本題在有理數(shù)范圍內(nèi)，大家都知道無(wú)法再繼續(xù)分解. 但是，當(dāng)后期遇到算術(shù)平方根的內(nèi)容之后，會(huì)涉及無(wú)理數(shù)的相關(guān)知識(shí)，只要變化數(shù)的研究范圍，會(huì)發(fā)現(xiàn)x4-4=（x2+2）·（x+ ）（x- ），這是學(xué)習(xí)中形成的順應(yīng)性思考習(xí)慣. 當(dāng)然，本題還會(huì)在未來(lái)的高中階段碰到新的知識(shí)關(guān)聯(lián).

學(xué)生將學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到的一些知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行關(guān)聯(lián)、整合，串聯(lián)后形成自己認(rèn)知的行為是促進(jìn)學(xué)習(xí)的基本手段，亦是突破認(rèn)識(shí)封閉的必經(jīng)之路. 通過(guò)關(guān)聯(lián)行為，形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣使得學(xué)生終身受益.

總之，當(dāng)學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到難以解決的問(wèn)題時(shí)，我們不要單純地認(rèn)為他們沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題的能力，而應(yīng)變化教學(xué)手段，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主思考、激活思維、關(guān)聯(lián)相關(guān)知識(shí)，以突破認(rèn)識(shí)封閉帶來(lái)的解題障礙. 教師只有從主觀(guān)上察覺(jué)到認(rèn)識(shí)封閉的存在，才能有效突破這層障礙，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

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