MPCK視角下的等腰三角形專題復習

李玥

[摘? 要] 文章對MPCK概念和結構進行界定，并以等腰三角形專題復習為例，基于MPCK學科知識、學生知識、課程知識、教學策略知識和教育信念角度設計教學.

[關鍵詞] MPCK;等腰三角形;專題復習

從1986年舒爾曼提出教學內容知識（簡稱PCK）開始，PCK對教師專業發展起了重要的影響，在國內外教師教育領域掀起了研究熱潮. 近年來，研究者們關注特定學科的PCK，數學教育領域也不例外，提出數學教學內容知識（簡稱MPCK）.

MPCK概念和結構的界定

1. MPCK概念

MPCK研究在PCK研究的基礎上展開，是PCK與具體學科的延伸和結合，已成為目前數學教師知識研究的核心. 概念是事物的本質屬性的思維形式，界定MPCK的概念，可以從其屬性入手，尋求其本質屬性，進而明確概念.

PCK和MPCK相關研究很多，學者們的界定也是各抒己見. 但結合他們的描述，發現MPCK具有以下屬性：學科內容方面[1-4]，教學策略方面[2-5]，學生方面[2，5]，教學情境方面 [2] ，某些教師知識的整合、轉化方面[2，5-7]，作用、效果方面[1，3-5]，其他方面[7] 等.

在上述屬性中，MPCK的本質屬性是某些教師知識的整合或轉化. 故可將MPCK的概念界定為：MPCK是數學教師的學科知識、學習者知識、教學策略知識和課程知識等有機整合后形成的知識，是學科知識轉化為學生能理解的知識的知識.

2. MPCK結構

對研究者提到的PCK和MPCK組成要素統計分析，發現提到最多的要素有學科知識、學習者知識、課程知識和教學策略知識.

學科知識主要包括：內容知識（數學的事實性知識、中心概念和組織原則，即核心知識點、實體知識和句法知識）;實體知識（數學的解釋性框架或范式，即數學中相關知識間的邏輯關系）;句法知識（決定新知識納入數學領域的一些規則或方式，即數學思想與方法）. 學生知識主要指對于所教學生的知識結構、認知特點、學習困難、易錯點的了解. 課程知識表現為對課程標準的理解以及對教材的把握. 教學策略知識主要包含教學評價、教學方法、教學組織相關的知識.

實質上這四個知識都是顯性知識，而知識中不僅有顯性知識，還不能忽略隱性知識的存在[8] ，故MPCK中也應有隱性知識，即教育信念：一個教師對學科、學生學習、教學的看法. 也確實有極個別學者（如馬格努森）把教育信念作為PCK要素之一.

總之，MPCK結構由學科知識、學習者知識、課程知識、教學策略知識和教育信念五個要素構成.

案例分析

該文以《等腰三角形專題》為例，談談如何在MPCK視角下設計專題復習.

1. 課程知識的角度

義務教育數學課程標準（2011年版）有如下要求：了解等腰三角形的概念，探索并證明等腰三角形的性質定理;探索并掌握等腰三角形的判定定理;探索等邊三角形的性質定理及判定定理.

中考第一輪復習中的專題，復習了點、線、三角形等基本平面幾何圖形，在此基礎上復習特殊的三角形——等腰三角形及特殊的等腰三角形——等邊三角形. 因為是特殊的三角形，所以等腰三角形具有一般三角形全部的性質，還具備了很多特殊性，在現實生活中的應用也更廣泛，是中考必考內容. 等腰三角形不僅為線段相等、角相等及兩直線垂直的證明提供了新的依據，也是菱形、正方形等內容的基礎，還可以與全等三角形、垂直平分線、四邊形、圓、函數等其他數學知識結合.

2. 學習者知識的角度

學生已經學習了該知識點，對等腰三角形已有一定的認識，這為順利完成本節課內容打下基礎. 但由于學習時間較長，學生有知識上的遺忘;同時，學生對于熟練、靈活利用等腰（邊）三角形性質與判定解決問題還存在一些困難;另外，很多學生還做不到發現、歸納等腰三角形與其他數學知識間的聯系，建構知識體系.

3. 學科知識的角度

以核心知識點——數學中相關知識間的邏輯關系為教學主線，并滲透相關的數學思想與方法.

本節課是一堂專題復習課，從學生的基礎、課堂時間的分配及數學學科的特點等各方面考慮，都不建議采用直接背記定理的方式引入，可以先播放短視頻《魔鬼海域——等腰三角形》，激發學生興趣，喚起學生對舊知的回顧，及時總結梳理等腰三角形的定義、性質及判定定理等知識點;然后設置例題，以題目帶動知識點復習，并總結思想方法，以題理知，用知得法.

例1? 如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D.

（1）若∠C=42°，求∠BAD的度數;

（2）若點E在邊AB上，EF∥ AC交AD延長線于點F，求證：△AEF是等腰三角形.

通過一道習題，對等腰三角形“等邊對等角、三線合一”的性質及判定都進行了考查.

拓展思維：要證明一個三角形是等腰三角形，需要先得到兩邊相等，而得到兩邊相等的方法有三角形全等、垂直平分線的性質等. 在同一個三角形中，等邊和等角可相互轉換.

例2? 如圖，點M，N分別在等邊三角形ABC的邊BC，CA上，且BM=CN，AM，BN交于點Q，求證：∠BQM=60°.

考查等邊三角形的性質，并且與全等三角形結合.

例3? 如圖，在△ABC中，AB=AC，AB是⊙O的直徑，BC和AC邊分別與⊙O交于點D，E，連接DE.

（1）求證：BC=2DE;

（2）若DE=EC=2，求△ABC的周長.

考查等腰三角形“等邊對等角、三線合一”的性質，“等角對等邊”等腰三角形的判定，等邊三角形的判定，并與圓結合.

等腰三角形是特殊的三角形，等邊三角形又是特殊的等腰三角形，滲透特殊與一般的數學思想.

例4? 如圖，矩形OABC在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，點A在x軸上，點C在y軸上，點B（8，6），點P以每秒1個單位的速度從C向A運動，運動到A點停止. 運動過程中，是否存在時間t，使得△ABP為等腰三角形. 若存在，求此時t 值;若不存在，請說明理由.

與坐標系結合，并滲透分類思想：等腰三角形的邊分腰與底，角分底角和頂角，高也分在三角形內部和外部兩類，因此若題目沒有給明是哪種情況時，必須分類討論，以免漏解.

等腰三角形還可以與很多知識結合，因時間原因不一一列舉，但可以讓學生自己回想、總結，并在課后作業中設計相關題目，由學生自己豐富知識體系.

4. 教學策略知識的角度

采用啟發引導的教學方式，幫助學生復習等腰三角形的相關知識;運用多媒體輔助教學;調動學生思維的積極性，使學生自主獲取知識，建構知識體系.

5. 教育信念的角度

專題復習不是題海戰術，要高效、精準，可選擇合適的例題，以題理知，用知得法，滲透數學思想方法，并啟發學生自主探索、總結歸納，把課堂的主體還給學生，由學生自己建構知識網絡.

實踐感悟

對課程標準的理解以及對教材的把握是教學的前提，明確本節課教學內容在教材中的地位、作用等. 教學的主體是學生，所以需要對學生的學情重點分析，了解他們的知識結構、認知特點、難點、易錯點等，由此才能在教學中有的放矢. 教學策略知識也很重要，不同的教學內容采用不同的教學方法、教學組織形式等. 而學科知識是重中之重，教師只有對學科的核心知識、相關知識間的邏輯關系有深刻的理解，才能在課堂上引導學生建構知識體系，并更好地運用知識解決實際問題. 同時，教師還要具有對教育信念的追求.

教師要加強自身的教學反思，通過多種途徑發展、完善自身的MPCK. 隨著數學核心素養的提出，現實迫切需要基于MPCK的數學教學，摒棄“照本宣科”“題海戰術”，轉向推動學生的思維發展，重視學生數學素養的培養.

參考文獻：

[1]馬敏. PCK論[D]. 上海：華東師范大學，2011.

[2]解書. 小學數學教師學科教學知識的結構及特征分析[D]. 長春：東北師范大學，2013.

[3]童莉. 數學教師專業發展的新視角——數學教學內容知識（MPCK）[J]. 數學教育學報，2010，19（2）.

[4]梅松竹，冷平，王燕榮. 數學教師MPCK之案例剖析[J]. 中學數學雜志，2010（11）.

[5]黃毅英，許世紅. 數學教學內容知識——結構特征與研發舉例[J]. 數學教育學報，2009，18（1）.

[6]李渺，寧連華. 數學教學內容知識（MPCK）的構成成分表現形式及其意義[J]. 數學教育學報，2011，20（2）.

[7]董濤.數學課堂中PCK的結構[J]. 內蒙古師范大學學報（教育科學版），2010，23（8）.

[8]張一兵.? 波蘭尼與他的《個人知識》[J].哲學動態，1990（4）.