初中生“運算障礙”分析與提升策略探索

陳建國 陳小俊

[摘? 要] 初中生的運算能力對數學學習至關重要，但不少學生存在運算速率低、錯誤率高等現象. 筆者通過多年教學實踐，認為該現象實質是“運算障礙”，提出“明晰算理，激發興趣，深度反思，變式訓練”教學措施，實現“深度理解運算本質、合理巧用運算技能、新舊知識融會貫通、鞏固內化運算法則”四個方面的教學策略，提升學生的運算能力.

[關鍵詞] 初中生;運算障礙;提升策略

在義務教育階段，運算是數學學習中最常見、最重要的內容，運算能力也是學生的一項重要能力. 《義務教育數學課程標準（2011年版）》將“運算能力”作為十大核心概念之一，由此可以證明“運算能力”對學生數學學習的重要性.

但是，在實際的教學過程中，中學生卻普遍存在著“怕運算”“ 運算錯誤率高”等情況. 筆者在教學過程中，通過對學生計算錯誤及計算心理的調查、整理、分析，對學生的運算主要存在的問題及其產生的原因進行了如下分析：

對運算問題信心不足. 看到計算題就害怕，覺得自己經常算錯，面對計算題沒有信心;大部分學生對計算題還是很認真對待的，但是題目好像總是和他們過不去，明明覺得自己做得對的問題，不是這邊出錯就是那邊出錯. 仔細分析就不難發現，其實學生仍然沒有真正弄明白其中的運算規律，缺乏辨析能力.

對運算本質理解不透徹. 有些學生上課的時候還可以跟著老師進行計算，但是自己獨立做題就變得很困難甚至做不出來了. 產生這些現象的原因是教師對于法則的講解停留在讓學生模仿的層次上，導致學生對運算的本質理解得不透徹，存在對運算法則“生搬硬套”的現象.

對計算問題興趣不大. 學生認為計算太單調，好像上課就是不斷地練習. 教師將運算課上成練習課，往往將法則得出以后就不斷地進行練習，沒有將課堂的趣味性進行設計. 對于追求新鮮感的中學生來說，這樣的感覺自然是不能接受的.

要改變這些現象，就要從課堂上進行改變，將原有的知識傳授轉變為思維體操，學生的思維提升了，那么問題也就迎刃而解了. 筆者根據自己在教學中遇到的問題進行反復探究，認為可以從以下幾個方面進行解決.

明晰算理，深度理解運算本質

數學來源于生活，應用于生活，教師要根據學生已有的生活經驗和數學現實，創設合理的情境，引發學生探索、思考. 活動設計是深度學習的重要環節，也是發展學生思維、高階思維的重要保證. 同樣的知識對象、同樣的情境，如何進行數學學習活動的設計，怎樣提出問題，才能指向對學生高階思維的培養？

【教學片段】

師：同學們，這是某日全國幾個城市的天氣預報. 北京的最高氣溫是4 ℃，最低氣溫是-3 ℃. 請問：這天北京的溫差是多少？你是怎么算的？

生1：我認為這天北京的溫差是7 ℃，我用的是加法：4+3=7（℃）.

生2：溫差確實是7 ℃，但是我認為這個問題不應該用加法. 小學里學過，求相差數應該用減法，我列的算式是4-（-3）=7（℃）.

生3：那么正確的算法應該是4-（-3）=7吧. 是不是4-（-3）就是4+3呢？

生4：減法是加法的逆運算，根據“差+減數=被減數”，求4-（-3）的差就相當于問“什么數加上-3等于4”.由加法法則可知，7+（-3）=4.（學生紛紛對這個結論表示肯定）其實，4-（-3）就是4+3，這個結論只要從溫度計上就可以輕松得出. 大家看，我們可以借助4與-3之間的數“0”的力量. 4與0相差4，0與-3相差3，這樣4與（-3）就相差4+3了.

師：同學們，你們認為這位同學的分析正確嗎？

生：完全正確.

師：老師也非常贊同他的觀點. 小學的減法運算的局限性很大，僅局限于兩個正數的減法運算，而且被減數要大于減數. 學習了有理數后，負數參與了運算，同學們剛才巧妙地利用“加減法的互逆關系”并借助溫度計（也就是數軸）將這個陌生的問題進行了突破，同學們好樣的！

師：同學們，再計算下列各式：15-6=____;15+（-6）=_____;8-（-3）=_____;8+3=______.

師：根據天氣預報，請同學們再思考以下問題：

問題1：求這天哈爾濱的溫差.

問題2：哈爾濱的最低溫度比北京的最低溫度低多少？

設計意圖? 本環節從學生根據生活經驗得出溫差是4+3=7（℃），但是求相差數以求4-（-3）而產生的矛盾開始，經過學生自主探究，逐漸體會到這兩者是一致的，符合生活經驗. 學生初步體驗了當負數參與運算時有理數減法的處理方式：利用加減運算的互逆關系;借助數軸. 總體的思路是將減法轉化為加法. 問題1和問題2的提出，引導學生對有理數減法的類型進行分類、整合，即當被減數和減數的符號發生變化時，運算方法與前面的方法是一致的.

學生的思維經歷了“從實際問題出發—引發思考—減法的分類—方法的統一”的過程. 課堂以問題作為引領，以學生為學習之本，激發了學生的學習興趣，引發深度思考，引領學生逐漸走向高階思維.

激發興趣，合理巧用運算技能

興趣是最好的老師. 心理學家皮亞杰說過：“所謂智力方面的工作都依賴于興趣.”運算教學也不例外. 有關運算的課堂，往往比較單調而且重復性強，加上有些學生本來就比較畏懼運算，這樣的課堂對學生來說肯定是很煎熬的. 教學時有了興趣，才能把心理活動集中在運算上，從而使感知活躍、注意力集中、記憶持久而準確、思維敏銳而豐富，并且提升和強化學習的內在動力，調動學習的積極性.

筆者在“有理數混合運算”這節課的課堂引入進行了如下設計.

【教學設計】

師：“24點”同學們都會算吧？

生：（興奮地答）會！

師：今天我們來比比看，誰算得又快又多！

出示四張牌：2，5，10，11.

學生們積極思考，紛紛舉手，給出了各種答案. 分別有：11×2+10÷5=24， 11+10+5-2=24，11×10÷5+2=24，11÷（5÷10）+2=24.

筆者利用這些運算方法，復習回顧小學里學過的加減乘除運算的運算法則. 這時，有一位學生站起來說他有不同的辦法：42+5+3，52+4-5，52-（5-4）. 其他學生不由自主地對這位學生的解答鼓掌.

師：小學里的“24點”只有加減乘除運算，到中學以后當然可以將乘法利用起來了. 其實，不僅可以用乘法運算，我們還可以將負數拿來算“24點”呢.

學生表示非常驚訝.

師：比如2，3，1，-2，請同學們嘗試一下.

學生經過思考，出現了23×[1-（-2）]=24;[3-（-2）]2-1=24.

設計意圖? 借助算“24點”這個最熟悉的問題，將學生吸引到課堂中來. 同時，對“24點”的運算方法進行擴充，學生的思維也隨之提升. 學生在新舊方法的碰撞中體會到新知識帶來的新方法. 最后，教師引導學生將負數加入運算，不僅是對運算進行了鞏固，同時也是對剛學習的方法進行了合理的應用. 學生主動地去嘗試過程，不僅培養了學生的運算能力，還激發了學生的運算興趣，以趣促學，讓學生能夠主動地去思考、愉快地去運算. 這樣的效果比布置給學生100道計算題的效果好.

深度反思，新舊知識融會貫通

建構主義認為，知識的學習是在學生已有的經驗上進行構建的結果，每個知識點對于一個獨立的學生來說都是自己獨創的. 學生在學習新知識的時候，根據自己已有的經驗對新知識進行加工整合，并盡力構建自己的知識體系. 但是新知識與舊知識的融合過程不是簡單地靠教師的單向傳授就可以的，一定有一個試錯、糾錯、反思的過程. 教師如何能夠進行有效引導但是又不剝奪學生的主體地位，讓學生在錯誤中學會反思？？搖

【教學片段】

在學習有理數加法時，當學生了解了加法法則，并依據法則進行例題分析后，可以利用問題引領反思：（1） -11+（-9）;（2）（-3.5）+7;（3） +-? .

師：請比較加數與和的大小關系，同學們有什么發現？

生1：我發現兩個加數的和可能是正數，也可能是負數，還有可能是零，也就是有可能是任何有理數.

生2：我發現兩個有理數的和有時候比加數還要小.

師：真是一個很厲害的發現！小學里學過的加法運算是越加越大或者與加數相同，但是到中學里，加數的和就有可能比加數還要小，這是什么原因呢？

生3：因為小學里的數是正數或者零，而現在的加數中有負數！（學生激動地說）

師：那么是不是只要加數中有負數，和就會比加數要小呢？

生4：不是的. 如果兩個加數都是負數，那么和就比兩個加數都要小;如果加數中只有一個負數，那么和就比負數要大，比另一個加數要小.

師：這位同學還會對數進行分類，真不錯！

生5：老師，我還有一個發現，小學里相加為零的數只有0+0=0，而到中學后變成了互為相反數.

師：同學們說得真好. 其實小學所學的加法是有理數加法中的一部分內容，現在數的范圍變大了，小學里的一些結論可能就不再正確了，同學們要仔細斟酌才行！

設計意圖? 從小學所學的非負有理數擴充到中學的有理數，增加了負數，學生的學習難度增大了，也是中學運算中的第一個難點. 當學生對有理數加法法則熟悉以后，根據學生的計算結果，只要進行問題引領，學生自然會進行深度反思. 加法運算是有理數運算的第一課，學生的腦海中還裝著“和不小于任一加數”“差不大于被減數”“運算不需要考慮符號”等已有的經驗，面對初中負數的知識，現有的知識與原有的知識發生了沖突，學生需要在新舊知識的矛盾中將新舊知識融會貫通.

變式訓練，鞏固內化運算法則

行為主義認為，學習就是刺激與反應之間的聯結，認為學習的過程就是通過技能訓練的過程. 雖然行為主義認為訓練越多越不科學，但是他們強調學習中練習的作用是正確的. 數學運算能力的提升，離不開適度的練習.

但是，訓練不能一味地追求量，還要根據學生的問題進行有針對性的變式訓練. 變式訓練可以加強知識間的對比，強化知識的本質特性，強化學生的思維訓練，提高抽象概括、理解能力，調動學生的思維積極性，掌握解題技巧，提高課堂教學效果. “變”的目的主要是為了學生能夠更好地掌握“不變”的知識的方法，以形成“以不變應萬變”的能力，從而終生受用.

【教學片段】

計算：30× - - .

生：30× -30× -30× .

師：因為我們學過省略加號的和式，那么這個算式是否可以寫成和的形式呢？

生：30× +（-30）× +（-30）× . （學生雖然已經將這個式子完成了，但是他們的內心其實是不認可的，因為這樣算顯得有點麻煩，與小學里所學的方法也產生了矛盾. 教師有意見，但還是請學生保留想法，接著往下再學習. ）

變一變1：-30× - - .

生1：（-30）× -（-30）× -（-30）× .

生2：（-30）× +（-30）×- + （-30）×- .

師：這兩種解法都正確. 接下來，請同學們完成解題過程.

生：（-30）× -（-30）× -（-30）× =-15-（-20）-（-24）=-15+20+24=29.

（-30）× +（-30）×- +（-30）×- =-15+20+24=29.

生3：通過比較，我發現將括號里的式子看成加法的形式，對計算有簡便作用，還可以避免符號上的錯誤.

教師進行總結：同學們反思一下分配律公式可以發現：a（b+c）=ab+ac，公式中也是將括號里的式子看成加法形式的.

變一變2：計算1-30× - - .

生1：1-30× - - =1-30× -30× -30× . （極個別學生錯誤的解法）

生2：1-30× - - =1+ （-30）× +- +- . （大部分學生的解法）

設計意圖? 學生在學習有理數運算的時候，最容易出錯的是符號問題. 學生在進行分配律運算的時候，當括號里是減法，分配進去的數是負數的時候，學生對符號的處理顯得很不好. 因為小學只要分配正數就可以，而且小學分配的時候括號里是減法的時候結果仍然用減法. 但是在中學，學生對這里的符號很難處理得準確，導致每次的練習和作業的錯誤率很高. 如何能夠有效地避免這樣的錯誤，還是要引導學生學會對式子進行規范化處理. 尤其對于變式2的練習，學生如果不通過這樣一步步的變式訓練對乘法分配律進行法則固化，那么這樣的練習學生肯定會算得糊里糊涂，最后是對這樣的問題根本無法把握，導致在計算上沒有信心.

另外，學生在有理數運算的時候對這類問題進行法則固化，對于實數的運算也很有幫助. 比如計算5-2×（ -2）這類問題，學生就可以有效地利用上述方法進行知識的遷移;還有就是在學習整式加減時，學生對于去括號法則“+（a+b-c）”“-（a+b-c）”的理解也是很有幫助的. ？搖

總之，如何能夠有效地減少學生的運算障礙，需要教師充分地關注課堂中學生思維的參與、辨析、深化的過程. 學生只有能夠對算理進行明晰，深度理解運算本質才能理解每個算式的本質含義，才不會將運算變成機械操作，而是有思維內涵的思維體操;在運算的過程中，只有始終保持濃厚的運算熱情，才能讓學生主動進行探究;學生不是被動地接受知識，而是在反思中不斷地對新舊知識進行整合，從而將新知識進行內化;能夠有效地將學生的方法進行辨析，讓學生對新方法的接受呈現出自然狀態，等等，這些都是教師在教學過程中需要不斷嘗試、探索的.

當然，每個學生的學習能力水平各有差異，每種運算的難度系數也不一樣，學生在學習運算的障礙點也不太一樣，提高學生的運算能力任重而道遠. 在教學中，教師只有針對不同學生分析其具體存在的障礙點，靈活采用有效的教學策略，才能有效地提高學生的運算能力.