關(guān)于兩圓相切的問題剖析與解題探究

羅榮昭

[摘? 要] 兩圓相切是初中幾何常見的位置關(guān)系，分析兩圓的位置關(guān)系、計算圓心距、推導(dǎo)圓方程在中考試題中十分常見. 解題探究時要關(guān)注相切時圓心距與圓半徑的關(guān)系，總結(jié)不同知識背景下的突破思路. 文章將深入剖析兩圓相切，結(jié)合問題探討解題策略，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 圓;相切;函數(shù);幾何圖形

問題背景

相切是幾何中較為特殊的位置關(guān)系，兩圓相切時圓心距等于兩圓半徑的和差. 對于以兩圓相切為背景的綜合題，探究時要充分利用圓心距與圓半徑之和的關(guān)系，結(jié)合圓的幾何性質(zhì)構(gòu)建模型. 在中考命題中關(guān)于兩圓相切主要有兩種形式：一是以函數(shù)為背景探究兩圓相切;二是以幾何圖形為背景探究兩圓相切. 針對不同類型的問題，需要掌握兩圓相切的知識核心以及對應(yīng)問題的解題策略，這也是教學(xué)探究的重點.

問題剖析

1. 函數(shù)背景中的兩圓相切探究

以函數(shù)為背景的兩圓相切問題融合了函數(shù)知識，常結(jié)合坐標系綜合構(gòu)建模型，相切時圓心距與點坐標緊密相關(guān)，兩點之間的距離公式是突破的核心方法. 對于較為復(fù)雜的圖像，可提取其中的特殊圖形，結(jié)合圖形的特殊關(guān)系來簡化解析. 其中的線段問題需要轉(zhuǎn)化為距離問題，結(jié)合點坐標求出.

例1：在圖1所示的平面直角坐標系中，已知四邊形OABC為等腰梯形，且OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，試回答下列問題.

（1）試求經(jīng)過O，B，C三點的二次函數(shù)解析式;

（2）如果點P位于第四象限，且△POC與△AOB為相似關(guān)系，試寫出所有滿足條件的點P的坐標;

（3）在（2）問條件成立下，如果⊙P與以O(shè)C為直徑的圓相切，求出⊙P的方程.

整體分析：（1）二次函數(shù)經(jīng)過點O，B，C，可求出點坐標，使用待定系數(shù)法求解析式.

（2）已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，則可推得OA=AB=BC，即△OAB為等腰三角形，若△POC與△AOB相似，則△POC必然也為等腰三角形，故存在兩種情形：PO=PC和OC=CP，后續(xù)構(gòu)建具體模型，結(jié)合相似性質(zhì)逐步剖析即可.

（3）該問在（2）問條件的基礎(chǔ)上深入探究，已知⊙P與直徑為OC長的圓相切，需根據(jù)點P坐標判斷相切情形（內(nèi)切或外切）;然后結(jié)合相切時圓心距與半徑之間的關(guān)系可確定⊙P的半徑;最后結(jié)合點P坐標即可求出⊙P的方程.

過程探究：（1）四邊形OABC為等腰梯形，已知OA=AB=BC=4，tan∠BCO= ，則點O（0，0），B（6，2 ），C（8，0），可設(shè)二次函數(shù)解析式為y=ax（x-8），將點B坐標代入其中，解得a= - ，所以二次函數(shù)的解析式為y= - x2+ x.

（2）因為tan∠BCO= ，所以∠AOC=∠BCO=60°，又知等腰梯形中AB∥CO，則∠CBA=∠BAO=120°. 因為OA=AB=BC=4，進而可得∠OBA=∠BOA=30°，OC=8. 若△POC與△AOB相似，則△POC也為等腰三角形.

①當PO=PC時，如圖2所示，則∠OPC = 120°，所以∠POC=∠PCO=30°. 過點P作x軸的垂線，設(shè)垂足為點D，在Rt△POD中，已知∠POD=30°，OD=4，則DP=OD·tan∠POD= ，所以點P的坐標為4，- .

②當OC=CP時，如圖3所示，則∠OCP=120°，所以∠COP=∠CPO=30°. 同樣過點P作x軸的垂線，設(shè)垂足為點D，已知OC=PC=8，則∠PCD=60°，PD=PC·sin∠PCD=4 ，CD=4，所以點P的坐標為（12，-4 ）.

綜上可知，滿足條件的點P的坐標有兩個，分別為4，- 和（12，-4 ）.

（3）①當點P坐標為4，- 時，如圖4所示，由于點P位于⊙D內(nèi)，故⊙D與⊙P只可能是內(nèi)切關(guān)系，但存在“互包”兩種情形. 則⊙D的半徑應(yīng)為CD±DP，即R=4± . 當⊙P位于⊙P內(nèi)時，⊙P的半徑為4+ ;當⊙D位于⊙P外時，⊙P的半徑為4- . 所以⊙P的方程為（x-4）2+y+ 2=4± 2.

②當點P坐標為（12，-4 ）時，如圖5所示，此時⊙Q與⊙P有內(nèi)切和外切兩種情形，當兩者外切時，⊙P的半徑R=PQ-4=4 -4;當兩者內(nèi)切時，⊙P的半徑R= PQ+4=4 +4;所以⊙P的方程為（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.

綜上可知，⊙P的方程為（x-4）2+y+ 2=4± 2或（x-12）2+（y+4 ）2=（4 ±4）2.

解后評析：上述第（3）問探究兩圓相切時圓的方程，問題突破的難點有兩個，一是兩圓相切時的情形判斷;二是不同相切情形下半徑的計算方法. 即使是兩圓內(nèi)切時也可能存在兩圓“互包”兩種情形，采用數(shù)形結(jié)合可避免漏解，同時有助于利用圓心距推導(dǎo)圓的半徑.

2. 幾何圖形背景中的兩圓相切探究

幾何圖形背景中的兩圓相切，其探究重點有兩個：一是圓的相切關(guān)系，二是圓與其他圖形的知識關(guān)系. 而其中的距離問題需要轉(zhuǎn)化為線段問題，可結(jié)合勾股定理、相似關(guān)系和全等關(guān)系推導(dǎo)，也可結(jié)合三角函數(shù)進行計算.

例2：已知，如圖6，在直角△ABC中，∠ABC=90°，點M在邊BC上，且AB=12，BM=4，如果將△ABM沿AM所在的直線翻折，點B恰好落在邊AC上的點D處，點O為AC邊上的一個動點，連接OB，以O(shè)圓心，OB為半徑作⊙O，交線段AB于點B和點E，作∠BOF=∠BAC交⊙O于點F，OF交線段AB于點G.

（1）分別求點D到點B的距離，以及到直線AB的距離;

（2）若點F平分劣弧BE，求此時線段AE的長度;

（3）若△AOE為等腰三角形，以A為圓心的⊙A與此時的⊙O相切，求⊙A的半徑.

整體分析：（1）可設(shè)BD與AM的交點為N，則∠BNM=90°，BN=DN，通過解直角三角形可分別求距離.

（2）求AE的長，需要求出BE的長，可先確定∠CAB的正弦值，然后設(shè)出BG=3m，OG=4m，構(gòu)建關(guān)于m的方程，求出m的值，最后解直角三角形求BE長.

（3）該問討論兩圓相切，可先求出△AOE為等腰三角形時⊙O的半徑以及圓心距，然后討論相切情形下⊙A的半徑.

過程探究：（1）簡答，BD=2BN= ，點D到AB的距離為 .

（2）過點D作AB的垂線，設(shè)垂足為H，如圖7所示. 在Rt△ADH中，已知DH= ，AD=AB=12，則sin∠CAB= .

按照題意繪制如圖8所示圖像，其中點F平分弧BE，連接DF，與AB的交點設(shè)為G. 分析可知OF⊥BE，BG=EG. 在Rt△BOG中，已知∠BOF=∠BAC，可設(shè)BG=3m，OG=4m，在Rt△AOG中，由tan∠A= = = ，解得m= . 所以AE=AB-BE=12-6m= .

（3）下面采用分步突破的方法，先求“⊙O的半徑”，然后討論“兩圓相切”.

第一步，求△AOE為等腰三角形時⊙O的半徑.

由于△AOE為等腰三角形，則可能EO=EA，如圖9所示，作EK⊥AC于K. 在Rt△AEK中，設(shè)EK=3n，則AK=4n，EA=5n. 然后作OP⊥AB于P，在Rt△AOP中，OA=2AK=8n，AP= OA= ，所以PE=AP-AE= n. 由于AB=2PE+EA= n+5n=12，可得n= ，所以⊙O的半徑rO =OE=5n= ，圓心距d=OA= .

第二步，討論⊙A與⊙O的相切情形.

⊙A與⊙O相切，有外切和內(nèi)切兩種情形.

①如圖10所示，若⊙A與⊙O外切，有rO +rA=d，所以rA=d-rO = ;

②如圖11所示，若⊙A與⊙O內(nèi)切，有rA- rO =d，所以rA=d+rO =20;

綜上可知，⊙A的半徑為 或20.

解后評析：上述第（3）問探究幾何圖形背景中兩圓的相切，結(jié)合相關(guān)知識推導(dǎo)兩圓的圓心距及半徑是重點，通常將距離問題轉(zhuǎn)化為線段問題. 上述充分把握特殊三角形性質(zhì)，利用直角三角形構(gòu)建代數(shù)方程. 突破過程涉及了垂徑定理、勾股定理、解直角三角形、兩圓相切的位置關(guān)系等知識，同時涉及數(shù)形結(jié)合、分類討論思想，是知識與方法綜合的典型代表.

總結(jié)思考

1. 關(guān)于兩圓相切的解讀歸納

兩圓相切是一種特殊的位置關(guān)系，通常有內(nèi)切和外切兩種情形，即對于半徑長分別為R 和R 的兩個圓，當兩圓為外切關(guān)系時，圓心距d=R +R ;為內(nèi)切關(guān)系時，d=R -R . 當一圓心位于另一圓內(nèi)時，只能為內(nèi)切關(guān)系，同時由于“互包”會出現(xiàn)兩種情形. 實際上，“線段和差”是兩圓相切的本質(zhì)，故求線段和距離長是解析的關(guān)鍵. 在不同背景下可按照對應(yīng)思路進行問題轉(zhuǎn)化，如函數(shù)背景下可將“兩點之間的距離”作為研究重點，而幾何圖形背景下可將“線段長”作為研究的重點.

另外，在實際解題時有如下解題思路：

思路一：結(jié)合動點的運動方式來表示相關(guān)線段長，重點是理解動點條件.

思路二：利用幾何性質(zhì)來表示線段間的關(guān)系，重點是提取幾何特性.

思路三：根據(jù)相似或全等關(guān)系、勾股定理構(gòu)建關(guān)于線段長的代數(shù)方程，重點是探索特性成立的條件.

思路四：把握坐標系中的點坐標，結(jié)合兩點之間的距離關(guān)系直接求線段長.

2. 關(guān)于相切問題教學(xué)中的建議

建議一：挖掘知識本質(zhì)，開展知識歸納.

兩圓相切是一種特殊的位置關(guān)系，在探究教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生挖掘相切的知識本質(zhì)，結(jié)合圖像歸納相切的不同的情形，歸納圓心距與圓半徑之間的關(guān)系. 雖然兩圓相切的問題類型較為眾多，但實則可歸為函數(shù)與幾何兩大構(gòu)建背景，探究教學(xué)要立足知識本質(zhì)，把握求“線段”或“距離”這一本質(zhì)內(nèi)容，探索關(guān)聯(lián)知識，串聯(lián)知識體系.

建議二：關(guān)注解題思想，形成解題策略.

兩圓相切問題中有兩大難點：一是相切關(guān)系的多樣性，二是問題轉(zhuǎn)化解析多視角. 前者與圖形位置關(guān)系相關(guān)，后者關(guān)系到解題思路的構(gòu)建，問題突破過程常涉及分類討論、數(shù)形結(jié)合、化歸轉(zhuǎn)化等思想方法. 教學(xué)中建議教師引導(dǎo)學(xué)生體驗問題的突破過程，關(guān)注學(xué)生思維，合理滲透數(shù)學(xué)思想，充分探究審題突破的視角，形成相應(yīng)的解題策略.