關于旋轉相似模型的解讀探究

徐海霞

[摘? 要] 旋轉相似模型是重要的幾何模型，利用模型中的相似性質可進行條件推導，提高解題效率. 中考試題中常依托旋轉相似模型構建綜合性問題. 剖析圖形結構、提取幾何模型、利用模型構建思路是解題的關鍵，文章將剖析旋轉相似模型，結合實例深入探究，并提出幾條教學建議.

[關鍵詞] 旋轉;相似;模型;圖形

旋轉相似是中考考查的熱點，該類問題往往以旋轉、相似為背景來綜合構建，相似模型是問題解析的核心知識，梳理相似模型的構建過程，探究圖形相似的結論可總結該類問題的解題策略，對于高效解題有極大的幫助，下面深入探究.

問題引入

問題：如圖1所示，已知在△ABC中，∠ACB=90°，點D位于AB上，且△CDE∽△CAB，試回答下列問題.

（1）求證：△CAD∽△CBE;

（2）求證：EB⊥AB.

解析：（1）可由相似三角形的性質得出兩邊成比例，對應夾角相等，結合已知可進一步推導相似條件，從而證明△CAD∽△CBE.

因為△CDE∽△CAB，則 = ，∠ACB=∠DCE，所以∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，則∠ACD=∠BCE，所以△CAD∽△CBE.

（2）由三角形相似可倒推對應角相等，進一步推導所涉角為90°.

因為△CAD∽△CBE，則∠CAD=∠CBE. 又知∠ACB=90°，∠CAD+∠CBA=90°，所以∠CBE+∠CBA=90°，即EB⊥AB，證畢.

原理探究

上述問題涉及了旋轉相似模型，即可將△CAD視為是△CBE圍繞點C順時針旋轉∠BCA后再進一步縮放所得. 解析過程往往由三角形相似性質出發，結合已知推導旋轉相似三角形的條件. 模型證明過程涉及三角形相似性質及相似的判定定理，具體如下.

如圖2所示，已知△ABC∽△ADE，則△BAD∽△CAE，證明過程如下：由△ABC∽△ADE可得 = ，∠BAC=∠DAE，則∠BAD=∠CAE，可證△BAD∽△CAE.

模型實質：通過兩邊成比例、夾角相等來判斷三角形相似，同時兩個相似三角形的第三邊的夾角與頂角相等.

上述所探究的是一般的旋轉相似模型，其特點為圍繞公共頂點，已知一組相似三角形，探尋衍生相似三角形. 實際命題中常涉及角度、線段比值等問題，但問題本質不變.

典例剖析

中考常從知識綜合的角度來考查旋轉相似模型，所涉考點較多、圖形復雜、問題形式多樣. 解析過程依然可從把握其中的旋轉相似關系入手，利用相似性質推導結論. 下面以一道綜合題為例探究解題策略.

例題1? 如圖3所示，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB=90°，點D和E分別位于AC，BC上，連接DE，且有 = = ，tanB= .

（1）如圖4所示，現將△CDE圍繞點C進行旋轉，連接AD、BE，兩線交點設為H，試求證AD⊥BE;

（2）如圖5，△CDE圍繞點C旋轉過程中，當CH= 時，試求 AH-BH的值;

（3）如果CD=1，當△CDE圍繞點C旋轉過程中，請直接寫出AH的最大值.

解析：（1）根據旋轉過程中性質可證△ACD∽△BCE，由相似性質并結合條件進行等角代換，可證相關角為90°.

設BE與AC的交點為O，如圖6所示. 因為∠ACB=∠DCE=90°，所以∠ACD=∠ECB. 由 = 可得 = ，所以△ACD∽△BCE，由相似性質可得∠DAC=∠EBC，又知∠AOH=∠BOC，所以∠AHO=∠BCO=90°，則AD⊥BE.

（2）探究幾何旋轉中的線段問題，需合理添加輔助線構建模型，可在HB的延長線上取一點T，使得HT= AH，則問題就轉化為求HT-BH，即BT的長. 后續結合旋轉相似模型，證明△AHC∽△ATB，由相似性質即可推導.

如圖7所示，在HB的延長線上取一點T，使得HT= AH，連接AT，在Rt△AHT中，有tan∠ATH= = ，由于tan∠ABC= ，所以∠ATH=∠ABC. 進一步分析可證∠HAT=∠CAB，所以△AHT∽△ACB，由相似性質可得 = ，則 = ，可證△CAH∽△BAT，由三角形相似可得 = . 因為HT= AH，設AH=a，則HT= a，AT= a，所以 = ，解得BT= ，即 AH-BH的值為 .

（3）設定CD=1，在旋轉過程中有AH=AB·sin∠ABH，則當∠ABH最大時，AH的值也最大，后續分析此時的位置關系，求解線段長即可.

在Rt△AHB中，有AH=AB·sin∠ABH. 分析可知，當∠ABH最大時，AH的值也最大，此時CE⊥BE，四邊形CDHE為矩形，如圖8所示. 由矩形性質可得DH=EC，∠ADC=∠CDH=90°. 已知CD=1，EC= ，AC= ，所以DH=CE= . 在Rt△ACD中，由勾股定理可得AD= = ，所以AH=AD+DH=2 ，則AH的最大值為2 .

評析? 上述考題以旋轉為背景探究相關問題，在幾何旋轉中存在相似模型，可視為是繞固定點旋轉的相似三角形，這是問題突破的關鍵. 后續充分利用旋轉相似模型的對應邊及角度的相關結論即可逐步求解. 旋轉問題屬于動態幾何問題，結合條件準確提取模型，化“動”為“靜”是解析重點.

模型拓展

旋轉相似模型是依托幾何旋轉構建的模型，上述所探究的是常見的一般圖形形式. 實際上，旋轉相似模型還有特殊的對角互補旋轉相似，該模型中存在一組對角之和為180°. 如圖9所示，模型中∠BAD+∠C=180°，過點A分別作BC和CD的垂線，設垂足為點H和G，可將△ADG視為是△ABH旋轉對應角度后的縮放三角形，即△ABH∽△ADG，則后續連接HG、BD，可證△AHG∽△ABD.

具體探究時，要把握圖形中的對角互補關系，從旋轉視角把握圖中的相似三角形，然后利用相似性質進行推理，提取衍生相似三角形，解析時可按照如下思路：提取互補對角→尋找相似三角形→推理相似性質→探究衍生相似圖形，下面結合實例進一步探究.

例題2? 如圖10所示，點P位于矩形ABCD對角線AC上，點M在矩形邊AD上，且PM⊥PB，回答下列問題.

（1）求證： = ;

（2）如果MA=MP，AB=3，BC=4，試求AP的長.

分析：從幾何旋轉視角探究圖形，合理利用旋轉相似模型，提取其中的相似三角形，利用相似三角形的相關性質進行推理.

解：（1）連接BM，如圖10所示. 已知ABCD為矩形，則∠BAD=∠D=90°. 又知PM⊥PB，則∠BPM=90°，所以∠BAM+∠BPM=180°，則點A、B、P、M四點共圓，有∠MBP=∠DAC. 因為∠D=∠BPM=90°，可證△ADC∽△BPM，由相似性質可得 = ，所以 = .

（2）可過點B作AC的垂線，垂足為點N，如圖11. 分析可證△BMA≌△BMP，由全等性質可得AB=PB=3. 在Rt△ABC中，已知AB=3，BC=4，由勾股定理可得AC= =5，由等面積法可得 AB·AC= AC·BN，可解得BN= . 而在Rt△PBN中，由勾股定理可得PN= = ，因為BA=BP，BN⊥AP，所以AN=NP，可得AP=2PN= .

評析? 上述以矩形為背景求證線段比例，求解線段長. 問題解析要關注其中的垂直關系，以此為基礎提取旋轉相似模型. 往往對角互補相似模型中存在較多的直角，解析時要充分利用直角特性求解線段長，可直接利用勾股定理，也可借助直角求解三角函數值進行線段轉換.

教學反思

上述深入探究了旋轉相似模型，并結合實例探討解題策略，實際上模型中的“旋轉”是特殊的幾何觀察視角所獲，是用動態眼光看待圖形的一種方式，而模型中的相似關系是根本. 在解題探究中要理解模型本質，把握相似特性，總結模型結論，積累解題經驗，下面結合教學進行深入反思.

1. 關注教材模型，理解模型本質

近幾年中考試題中出現了眾多的幾何模型題，問題往往構思巧妙，形式新穎，給學生的解題突破造成了很大的困擾. 事實上，這些幾何模型題是對教材習題的拓展變式，是基于定理定義、圖形規律的拓展構建. 如上述的幾何旋轉相似模型，是基于教材中的旋轉、三角形相似而形成的特殊模型. 實際教學中，要注重挖掘教材模型，提取基本圖形，剖析模型原理，引導學生理解模型本質. 同時開展創新拓展探究，讓學生改編教材習題，充分挖掘習題的教學價值.

2. 加強建模教學，提升建模能力

初中幾何領域含有眾多的圖形，對圖形進行提煉可生成幾何模型，模型所具有的性質特征、解析思路具有一定的研究價值，可用于解析復雜圖形. 幾何模型教學的重點有三個：一是模型本質，二是模型性質特征，三是構建方法. 后兩點對于培養學生的模型意識，提升建模能力十分關鍵. 具體教學中，建議在情景問題中開展模型研究，引導學生從復合圖形中提取基本模型，探究模型結構，總結模型結論，并利用模型解決對應問題，幫助學生積累解題經驗.

3. 強化模型思想，發展核心素養

中考幾何綜合題的考查方向有兩個：一是幾何知識及方法，二是解題中的思想方法. 幾何模型考題中的數形結合、構造思想、化歸轉化思想是考查的重點. 教學中要注重思想方法，合理滲透數學思想，引導學生總結問題解析時所用到的方法，適度延伸，升華思想. 數學思想較為抽象，教學中應將重點集中在技巧講解上，如幾何構造中添加輔助線的方法，數形結合解析的具體過程，化歸轉化的具體思路、側重方向等. 通過思想方法教學強化學生思維，發展學生的核心素養.