以三角板為背景的幾何命題探究

蘭洲

[摘? 要] 三角板是學生常用的作圖工具，以三角板為基礎綜合數學內容命制的考題在中考中十分常見，如三角板與旋轉、三角板與圓、三角板與反比例函數、三角板與平移等. 文章將探究三角板相關考題的知識背景，結合實例剖析問題的解析思路，提出相應的教學建議，與讀者交流.

[關鍵詞] 三角板;旋轉;圓;反比例函數;平移

背景綜述

在“培養學生動手能力，提升學生探究思維”的教學理念下，近幾年中考越發注重以學生熟悉的幾何圖形為載體來綜合命制考題，考查學生的實踐能力、解析思維. 三角板是學生常用的作圖工具，由于三角板的邊與角的特殊性，使其含有豐富的數學知識與規律，以其為背景融合幾何圖形、函數曲線，不僅極具創新性，還能較好地考查學生的探究歸納能力、運用思想方法的能力等. 這類問題往往立足基本的幾何性質，綜合圖形運動、三角函數、曲線圖像等知識，立意新穎、知識點眾多，如求解疊放三角板旋轉角度，分析三角板與圓的綜合，思考函數曲線中的三角板位置，探究三角板平移過程等.

實例探索

1. 三角板旋轉中的角度大小

例1? （2020年齊齊哈爾市中考卷第9題）有兩個直角三角形紙板，一個含45°角，另一個含30°角，如圖1所示疊放，先將含30°角的紙板固定不動，再將含45°角的紙板繞頂點A順時針旋轉，使BC∥DE，如圖2所示，則旋轉角∠BAD的度數為______.

解析：本題目中將兩個45°角和30°角的三角板疊放，并將45°角三角板圍繞點A順時針旋轉. 問題解析需要關注兩點：一是兩三角板疊放的位置，二是三角板旋轉過程. 突破的關鍵條件是BC∥DE，可利用平行特性進行角度推導.

因為BC∥DE，則∠CFA=∠D=90°，又因為∠CFA=∠B+∠BAD=60°+∠BAD，則∠BAD=30°，即旋轉角∠BAD的度數為30°.

點評? 上述分析疊放三角板旋轉中的角度，實則考查平行線的性質以及外角的性質，解析過程要關注疊放三角形的位置關系，把握三角板旋轉的三要素. 結合三角板的相對關系及角度特性構建角度模型.

2. 三角板與圓的結合探究

例2? 將一副三角板Rt△ABD與Rt△ACB（其中∠ABD=90°，∠D=60°，∠ACB=90°，∠ABC=45°）如圖3所示擺放，Rt△ABD中∠D所對直角邊與Rt△ACB斜邊恰好重合. 以AB為直徑的圓經過點C，且與AD交于點E，分別連接EB，EC.

（1）求證：EC平分∠AEB;

（2）求 的值.

解析：本題目將三角板與圓相結合，構建了復合模型，兩小問分別求證角平分和三角形面積比值. 其中兩個三角板的相對位置是解析的關鍵，另外在求解面積比值問題時要合理構建面積模型，將其轉化為線段比值問題.

（1）由條件可得∠BAC=∠ABC=45°，由圓周角定理可得∠AEC=∠ABC，∠BEC=∠BAC，等量代換可得∠BEC=∠AEC，則EC平分∠AEB.

（2）設AB與EC的交點為M，由角平分線的性質可得 = ，分析可得∠BAD=30°，由直徑所對的圓周角為直角可得∠AEB=90°，通過解Rt△AEB可得AE= BE，所以 = = .

分別過點A和B作EC的垂線，設垂足為點F和G，如圖4所示. 則△ACE的面積為S = CE·AF，△BEC的面積為S = CE·BG， = . 分析可證Rt△AFM∽Rt△BGM，由三角形相似性質可得 = = ，所以 的值為 .

評析? 上述將兩個三角板進行疊放，并以其中一斜邊構建了圓，從而使圖形中不僅含有三角形特性，還涉及了幾何圓性質. 一般求證角平分需通過等角代換進行推導，而解析三角形面積比值關系時，可將其轉化為線段之比. 在幾何中，線段之比的解法有三種思路：一是直接通過線段長度關系轉化，二是由三角形相似性質推導，三是構建直角模型，利用三角形函數.

3. 三角板與反比例函數融合思考

例3? （2020年衢州市中考卷第15題）如圖5，將一把矩形直尺ABCD和一塊含30°角的三角板EFG擺放在平面直角坐標系中，AB在x軸上，點G與點A重合，點F在AD上，三角板的直角邊EF交BC于點M，反比例函數y= （x>0）的圖像恰好經過點F，M. 若直尺的寬CD=3，三角板的斜邊FG=8 ，則k=______.

解析：本題目中將三角形、30°角的三角板擺放在平面直角坐標系中，提取三角板與直尺的幾個交點來構建反比例函數曲線. 解析的關鍵是確定點F或M的坐標，實則就是求線段長，需要構建特殊三角形模型.

過點M作AD的垂線，設垂足為點N，如圖5所示. 則MN=CD=3，在Rt△FMN中，已知∠MFN=30°，MN=3，則FN= MN=3 ，AN=MB=8 -3 =5 . 設OA=x，OB=x+3，則點F和M的坐標分別為（x，8 ），（x+3，5 ）. 點F和M均位于反比例函數曲線上，將點坐標代入y= 中，聯立可解得x=5，k=40 .

評析? 上述將直尺和三角板放在了平面直角坐標系中，求反比例函數的k值，主要考查反比例函數圖像上點的坐標特征. 將點坐標代入函數關系式是常用的方法，圖中三角板的特殊角是隱含條件，可合理構建直角三角形模型，結合三角函數求線段長.

4. 三角板平移過程的探究

例4? （2020年青海市中考卷第27題）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G.

特例感知：

（1）將一等腰直角三角尺按圖6所示的位置擺放，該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC重合，另一條直角邊恰好經過點B. 通過觀察、測量BF與CG的長度，得到BF=CG，請給予證明.

猜想論證：

（2）當三角尺沿AC方向移動到圖7所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊重合，另一條直角邊交BC于點D，過點D作DE⊥BA，垂足為E. 此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度，猜想并寫出DE、DF與CG之間存在的數量關系，并證明你的猜想.

聯系拓展：

（3）當三角尺在圖7的基礎上沿AC方向繼續移動到圖8所示的位置（點F在線段AC上，且點F與點C不重合）時，請你判斷（2）中的猜想是否仍然成立？（不用證明）.

解析：本題目為幾何探究題，以三角板與三角形重疊平移為背景，探究線段之間的關系. 考題設計了三個階段，問題難度逐步加深，但解析思路往往相似，可采用類比聯想的方式解析.

（1）圖6中，三角板的直角邊與AC重合，且另一直角邊過點B，由∠F=∠G=90°，∠FAB=∠CAG，AB=AC可證△FAB≌△GAC（AAS），所以BF=CG.

（2）三角板沿著AC方向繼續平移，使得一條直角邊與BC出現交點，探究DE、DF與CG的長度可采用等面積法. 連接AD，如圖9所示，AD將△ABC分割為△ABD和△ADC兩部分，則S =S +S . 已知DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，則結合面積公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF，又知AB=AC，所以CG=DE+DF.

（3）該問是基于第（2）問的進一步探討，可參考上述等面積轉化思路解析. 同樣連接AD，如圖10所示，由等面積法可得S =S +S ，已知DE⊥AB，DF⊥AC，CG⊥AB，結合面積公式可得 AB·CG= AB·DE+ AC·DF，又知AB=AC，所以CG=DE+DF，即結論不變.

評析? 上述結合等腰三角板進行幾何平移，探究平移過程中線段之間的長度關系，三角板的出現不僅使問題更貼近生活，同時隱含著特殊角. 上述解析過程把握幾何平移的特性，采用了全等變換、等面積變換兩種方法探討不同平移情形，充分體現了“動中有靜”“化動為靜”的解題策略. 與線段長度相關的幾何問題，突破的方法有多種，除了上述的全等變換、等面積轉化外，還可以采用相似轉換、勾股定理、三角函數等.

總結思考

三角板是作圖的常用工具，同時也是學生熟悉的特殊圖形，以三角板為依托構建幾何考題較為新穎，貼近生活，蘊含數學規律. 上述以三角板為背景，結合旋轉、圓、反比例函數、平移構建了四大類問題，立足三角形基礎知識，關注知識融合，注重方法探究，融合數學思想，引導學生深入探究考題，體驗解題過程，總結解題方法，可顯著提升學生的解題能力.

中考創新題的“新”主要體現在命題形式上，但問題本質是不變的，依然遵循數學規律，按照常規思路進行命題構建. 在教學幾何創新題時，可分以下四步進行：第一步，引導學生讀題審題，總結問題所涉知識點;第二步，探究問題本質，思考轉化思路;第三步，引導學生把握知識關聯，結合思想方法簡化解析;第四步，剖析構題思路，總結問題方法，適度拓展解法. “四步教學”法是基于問題本質、方法的解題探究，教學過程要注重引導思考、思維培養，可合理滲透數學的思想方法，培養學生的數學思維.

以三角板為背景的幾何問題類型較多，上述所呈現的是其中典型的幾例，涉及基本圖形、圖形運動、函數內容等. 雖然問題形式不同，考查點有差異，但分析思路相一致. 問題探究要充分把握三角板角的特殊性，聯系相關知識進行幾何轉化，合理利用數形結合方法，挖掘問題本質. 教學中建議注重剖析問題特點，關注解法思路，設問引導思考，提升學生的綜合能力.