基于三角模糊數的灰色關聯動態分辨系數算法研究

蘇鵬，李晉宏

（北方工業大學信息學院，北京 100144）

0 引言

灰色關聯分析是一種計算多個序列對目標序列接近程度或叫關聯程度的算法模型，其屬于灰色理論的一個重要分支。關聯分析與分類和回歸分析等都屬于機器學習方法[1-2]。灰色關聯分析是鄧聚龍教授[3]所提出，自此提出后灰色關聯分析等相關的灰色理論在社會生產，資源利用，軍事評估等方面發揮著越來越重要的作用[4,5]。灰色關聯分析是指對一個系統發展變化態勢的定量描述和比較的方法，其基本思想是根據各因素變化曲線幾何形狀的相似程度，來判斷因素之間關聯程度的方法。此方法通過對動態過程發展態勢的量化分析，完成對系統內序列有關統計數據幾何關系的比較，求出參考數列與各比較數列之間的灰色關聯度。與參考數列關聯度越大的比較數列，其發展方向和速率與參考數列越接近，與參考數列的關系越緊密[6]。

在灰色關聯分析的基本步驟中，計算關聯系數時，涉及到一個分辨系數ρ。這個分辨系數在鄧聚龍教授所發表的論文中描述為：“分辨系數的取值范圍為（0，1），通常取0.5”[7]。這個分辨系數，并沒有一個量化標準，無論在怎樣的模型中，無論模型設計如何，這個分辨系數ρ都是0.5。就其理論而言，這個分辨系數是來調節兩個序列在每個點位的關聯系數大小，從而影響最終兩個序列間的關聯度大小，并可以調節各個參考序列間關聯度的區分度。在近些年，很多人針對這個分辨系數有過研究：呂鋒[8]認為觀測序列平穩與否影響ρ值的大小；東亞斌等[9]分析了分辨系數對關聯度的影響，認為當序列波動大時ρ應該取較小值，當序列平穩時ρ應該取較大值。這些研究者從算法模型和數據序列出發，做出了較好的分析和結論，并給出了ρ的范圍判斷。錢隼馳和仇蕾[10]提出了數學推導的方式對ρ進行定量取值，來增大關聯度之間的分辨率，他們給出了ρ值的量化計算方法，但過程和邏輯復雜，且主要針對只有兩個序列情況排序，對多序列排序復雜度高且可能有平衡性問題。同樣對此問題，本文給出了一個可量化的基于三角模糊數的動態分辨系數算法。

1 傳統灰色關聯分析及其分辨系數

1.1 傳統灰色關聯分析模型

輸入：參考序列Y={Y(k)|k=1,2,...n}；比較序列Xi={Xi(k)|k=1,2,...n},i=1,2,...m。

輸出：比較序列對參考序列的關聯度排序。

步驟1：確定參考序列和比較序列。參考序列是目標序列，比較序列是可能對參考序列有影響的參數組成的序列。

步驟2：變量的無量綱化。由于系統中多個因素中的數據可能量綱不同，放在一起比較會有較大誤差，因此用以下公式做數據無量綱化處理，無量綱化處理同時也完成了歸一化：

正向歸一化：

負向歸一化：

還有其他歸一化方式：

步驟3：計算絕對差

步驟4：計算關聯系數

步驟5：計算關聯度。根據計算出來的關聯系數計算每個比較序列x的關聯度

步驟6：關聯度排序。將計算出來的m個關聯度按大小排序，關聯度越大代表這個x序列對原始目標序列y影響越大。

1.2 傳統灰色關聯分析模型中分辨系數的缺陷

針對這個問題，我們依據灰色關聯分析的幾何意義，結合三角模糊函數，給出了分辨系數ρ的量化算法。

2 基于三角模糊數的動態分辨系數算法

2.1 傳統灰色關聯分析的理論及改進點

首先，我們知道灰色關聯的基本思想是，微觀上用序列的每個數據點在二維坐標縱軸上的接近程度來描繪它們之間的聯系，進而在宏觀上根據序列幾何形狀的相似度來判斷不同序列之間的關聯度，兩條曲線的形狀越相似，它們的關聯度就越大。

由理論得到的是計算灰色關聯度的六個計算步驟。我們根據灰色關聯的基本思想結合鄧聚龍教授給出的計算步驟，可知：此算法的核心點在于：計算序列數據點的絕對差。絕對差計算的是兩條序列上各個數據點的差值。它代表了基本思想中“數據在二維坐標縱軸上的接近程度”，這也是描繪兩條序列近似與否的關鍵。

針對絕對差，它反應兩個序列的近似程度，即絕對差越小，此處關聯系數應該越大。因此，本文瞄準序列的絕對差，根據絕對差動態調整分辨系數ρ。

則（5）式所計算的關聯系數為真分數，又因為真分數分子分母同時增大一個相同的值，這個真分數也會變大，得關聯系數和分辨系數正相關。

綜上，得到兩個理論：

（1）絕對差越小，則我們應該讓關聯系數越大；

（2）實際計算時，分辨系數可以調節關聯系數，且分辨系數越大，關聯系數越大。

所以，本文根據絕對差結合模糊三角函數，設計了一套動態計算分辨系數的算法。

2.2 三角模糊數理論

三角模糊數源自“模糊數學”，模糊數學又稱Fuzzy數學，是研究和處理模糊性現象的一種數學理論和方法。模糊數學中常用的模型包括三角模糊數和梯形模糊數等，本算法所用的是三角模糊數[13]。

三角模糊數，對應二維坐標上的一個三角形函數，如下圖：

圖1 三角模糊數圖

其隸屬度被表達如下：

2.3 對分辨系數的改進

根據之前得到的理論，我們需要得到一個隨著絕對差變大，分辨系數變小的函數，在此結合三角模糊數，對分辨系數做改進。對這種方式本文設計了如下基于三角模糊數的分辨系數計算方式：首先根據絕對差跟分辨系數的取值范圍和關系構造以下三角模糊數：

圖2 自定義的三角模糊數圖

3 數據驗證與對比

3.1 基于三角模糊數的動態分辨系數算法計算過程及結果

表1 原始數據序列

計算步驟及結果如下：

表2 絕對差

根據絕對差計算每個分辨系數ρ，見表3：

表3 動態計算的分辨系數ρ值

3.2 對比分析

關聯度計算，結果如表4：

表4 關聯度結果表

其中，Ρ=0.5，對應傳統算法得到的關聯度；ρ=0.458，是文獻［8］優化得到的ρ值，這行數據對應文獻［8］優化后得到的關聯度；動態ρ，對應本文算法得到的關聯度；而文獻［10］是計算兩個序列的關聯度，不容易展示五個關聯度，此處未展示。

與文獻［10］結果對比，見下表：

因為文獻［10］主要針對兩序列計算關聯度，所以在他的論文中主要比較了一些特殊序列的關聯度差值，即上表中五個差值。本文沿用這五處點位以方便對比結果，因為數值進位不同，計算時小數第三位可能略有差異。此表，第2至第6列，是列舉的五處關聯度差值，第2至第5行分別代表傳統灰關聯，文獻［8］優化的灰關聯，文獻［10］優化的灰關聯和本文優化的灰關聯。

另外，根據表5可以看出，傳統ρ=0.5的灰關聯計算得到的五個關聯度都很大，主次區分不明確。我們用最大關聯度減去最小關聯度的值，來衡量區分度強弱。結果為：ρ=0.5時，即傳統灰關聯，差值為0.212；ρ=0.458，即文獻［8］優化的灰關聯，差值為0.216；動態ρ，即本文優化的灰關聯，差值為0.335。可以發現，本文的算法能更好的提升各個序列關聯度的差異，從而擴大區分度，提高分辨率。

表5 結果對比

4 結語

針對在實際使用中發現灰色關聯分析分辨率低的問題，本文從理論出發結合計算公式，設計了動態分辨系數算法。本文探索結果總結如下：

（1）計算關聯系數時，無論在理論上還是計算公式上，絕對差都發揮重要作用。

（2）本文根據絕對差和分辨系數的關系，設計了基于三角模糊數的動態分辨系數算法。在實際數據序列中絕對差越小的地方，則計算得到的分辨系數越大，最終得到的關聯度也越大；反之則同理越小。

（3）本文設計的算法跟以往優化分辨系數的算法相比，用他們的比較方法，算出的分辨率完全勝過之前算法的結果。