K-g-框架的若干含有參數(shù)的等式和不等式

肖名煒，肖祥春*,丁明玲

(1.廈門理工學院應用數(shù)學學院，福建 廈門 361024；2.福建農(nóng)林大學計算機與信息學院，福建 福州 350002)

Hilbert空間中的K-g-框架[1]是由肖祥春等把有界線性算子K作用于g-框架而得到的.正由于K-g-框架含有有界線性算子K，才使得K-g-框架的很多性質(zhì)都與g-框架和經(jīng)典框架不同.例如，算子序列{Λj∈B(H,Vj):j∈J}是H關于{Vj:j∈J}的K-g-框架，當且僅當其合成算子是有界的，且R(K)?R(T)[1]；而{Λj∈B(H,Vj):j∈J}是H關于{Vj:j∈J}的g-框架，則等價于其合成算子是有界滿的[2].再者，對經(jīng)典框架和g-框架而言，交錯對偶涉及的兩個序列是可交換的，但K-g-框架的K-對偶涉及的兩個序列一般是不可交換的[3].關于g-框架和K-g-框架的更多內(nèi)容，可查看文獻[1-2,4-9].

經(jīng)典框架的等式最早由Balan等[10]在尋找信號重構的算法時發(fā)現(xiàn). 隨后，經(jīng)典框架、g-框架、Hilbert-Schmidt框架的許多著名等式和不等式相繼被發(fā)現(xiàn).關于框架的等式的更多內(nèi)容可查看文獻[10-16].

最近Poria[13]給出了Hilbert-Schmidt框架的若干個含有參數(shù)的等式和不等式，受此啟發(fā)本文進一步給出K-g-框架的2種不同形式的含有參數(shù)的等式和不等式.正是由于這個參數(shù)，本文的等式和不等式更具有一般性，當含有的參數(shù)取特定的值時，可以得到許多關于經(jīng)典框架和g-框架已有的著名等式和不等式.

本文采用如下記號：H,V為Hilbert空間，其內(nèi)積記為〈·，·〉，范數(shù)為‖·‖.IH為Hilbert空間H的單位算子.B(H,V)表示H映射到V的所有有界線性算子的集合.特殊地，若H=V，B(H,V)簡寫為B(H)；若K∈B(H,V)，則R(K)和N(K)分別表示為有界線性算子K的值域和核空間.

1 K-g-框架的基本性質(zhì)及主要引理

本節(jié)主要回顧K-g-框架的基本性質(zhì)，并給出2個算子等式.

定義1[16]序列{Λj∈B(H,Vj):j∈J}稱為H關于{Vj:j∈J}的g-框架，如果存在常數(shù)A,B>0使得

(1)

定義2[1]序列{Λj∈B(H,Vj):j∈J}稱為H關于{Vj:j∈J}的K-g-框架，如果存在常數(shù)A,B>0使得

?f∈H

(2)

設{Λj:j∈J}為H關于{Vj:j∈J}的g-Bessel序列，則{Λj:j∈J}的框架算子定義如下：

(3)

若{Λj:j∈J}還是H關于{Vj:j∈J}的K-g-框架，則根據(jù)文獻[1]可知存在H中一個g-Bessel序列{Γj:j∈J}，使得

(4)

并稱{Γj:j∈J}為{Λj:j∈J}的K-對偶.一般情況下{Λj:j∈J}和{Γj:j∈J}的位置是不可交換的[3].

接著給出2個有界線性算子的等式.

引理1設P和Q為Hilbert空間H上的有界線性算子，且滿足P+Q=L,則對任意的參數(shù)λ，有如下等式成立：

Q*Q+λL*P-Q*L=P*P+(λ-1)L*L+

(1-λ)L*Q.

(5)

證明對任意的參數(shù)λ，通過如下計算可得

Q*Q+λL*P-Q*L=L*L+P*P-L*P-

P*L+λL*P-Q*L=L*L+P*P+

(λ-1)L*P-(P*L+Q*L)=L*L+P*P+

(λ-1)L*(L-Q)-L*L=P*P+

(λ-1)L*L+(1-λ)L*Q.

引理2設P和Q為Hilbert空間H上的有界線性算子，且滿足P+Q=L,則對任意的參數(shù)λ，有如下等式成立：

Q*Q+λP*Q+L*P=L*L+(1-λ)P*P+

(λ-1)P*L.

(6)

證明對任意的參數(shù)λ，通過如下計算可得

Q*Q+λP*Q+L*P=(L-P)*(L-P)+

λP*(L-P)+L*P=L*L+P*P-L*P-

P*L+λP*L-λP*P+L*P=L*L+

(1-λ)P*P+(λ-1)P*L.

(7)

2 K-g-框架的等式和不等式

本節(jié)將給出K-g-框架含有參數(shù)λ的若干等式和不等式.當其中的參數(shù)λ取特定值時，本文的結論包含由Balan等[10]、Gavruta[11]、Li等[12]和Zhu等[16]得到的許多著名等式和不等式.

定理1設{Λj:j∈J}是H關于{Vj:j∈J}的K-g-框架，其K-對偶為{Γj:j∈J}，則對任意{aj}j∈J∈l∞(J)和參數(shù)λ有：

(i) 對λ∈i,有

(8)

(ii) 對λ∈[0,4], 有

(9)

證明因{Γj:j∈J}為{Λj:j∈J}的K-對偶，故式(4)成立.對任意{aj}j∈J∈l∞(J)，I?J，f∈H,定義算子P,Q:H→H如下：

(10)

容易驗證P,Q∈B(H)，結合式(4)可得

P+Q=K.

(11)

對任意λ，根據(jù)引理1可得

Q*Q+λK*P-Q*K=P*P+(λ-1)K*K+

(1-λ)K*Q.

(12)

由此可得，對任意f∈H,

〈Q*Qf,f〉+λ〈K*Pf,f〉-〈Q*Kf,f〉=

〈P*Pf,f〉+(λ-1)〈K*Kf,f〉+

(1-λ)〈K*Qf,f〉.

(13)

把式(10)帶入式(13)即可知式(8)成立.

對λ∈[0,4],有

λ‖Kf‖2=‖Pf‖2-λRe〈Pf,Kf〉+

(14)

從式(12)也可以推出

P*P-λK*P+λK*K=Q*Q+(λ-1)K*Q+

K*K-Q*K=Q*Q+(λ-1)K*Q+P*K.

(15)

結合式(14)和(15)可得

(λ-1)Re〈K*Qf,f〉+Re〈P*Kf,f〉=

Re[‖Qf‖2+(λ-1)〈K*Qf,f〉+

〈P*Kf,f〉]=Re〈(Q*Q+(λ-1)K*Q+

P*K)f,f〉=Re〈(P*P-λK*P+

λK*K)f,f〉=‖Pf‖2-λRe〈Pf,Kf〉+

因此式(9)成立.

如令K=IH，λ=1，則由定理1(i)可得到文獻[14]的定理3.1.

對任意子集I?J， 令

(16)

則由定理1可得如下的推論.

推論1設{Λj:j∈J}是H關于{Vj:j∈J}的K-g-框架，其K-對偶為{Γj:j∈J}，則對任意子集I?J有

(ii) 對λ∈[0,4], 有

如僅令λ=1，則從定理1也可得如下推論.

推論2設{Λj:j∈J}是H關于{Vj:j∈J}的K-g-框架，其K-對偶為{Γj:j∈J},則對任意{aj}j∈J∈l∞(J)，有

證明令λ=1，則(i)和(ii)可由定理1直接得到.對于(iii)，在推論1(ii)中令λ=1， 則可得

移項即得到(iii).

接著給出K-g-框架的另一類型含有參數(shù)的等式和不等式.

定理2設{Λj:j∈J}是H關于{Vj:j∈J}的K-g-框架，其K-對偶為{Γj:j∈J}，則對任意{aj}j∈J∈l∞(J)和參數(shù)λ有

(17)

(18)

(19)

(20)

(v) 對任意λ∈[-3,1],有

(21)

證明設算子P,Q如定理1所定義，因為{Γj:j∈J}是{Λj:j∈J}的K-對偶，則可知式(4)成立.根據(jù)引理2可得，對任意的λ， 有

Q*Q+λP*Q+K*P=K*K+(1-λ)P*P+

(λ-1)P*K.

對任意f∈H,由此可得

‖Qf‖2+λ〈Qf,Pf〉+〈Pf,Kf〉=‖Kf‖2+

(1-λ)‖Pf‖2+(λ-1)〈Kf,Pf〉.

(22)

在式(22)中用P和Q的具體形式(10)代入即知(i)成立.

對任意f∈H, 根據(jù)式(22)可得

Re〈Pf,Kf〉=Re[‖Qf‖2+λ〈Qf,Pf〉+

〈Pf,Kf〉]=Re[‖Kf‖2+(1-λ)‖Pf‖2+

(λ-1)〈Kf,Pf〉]=‖Kf‖2+

(λ-1)Re〈Kf,Pf〉+(1-λ)‖Pf‖2=

(23)

因此(ii)成立.由式(23)也可得

移項可知(iii)成立.

另對λ≤1，有

‖Kf‖2+(λ-1)Re〈Kf,Pf〉+(1-λ)‖Pf‖2=

(1-λ)[‖Pf‖2-Re〈Kf,Pf〉]+‖Kf‖2=

(24)

結合式(22)和(24)可知(v)成立.

由式(24)也可得

(λ-1)Re〈Kf,Pf〉+(1-λ)‖Pf‖2≥

(25)

又因為λ≤1，從式(25)可得到

所以(iv)成立.

注3在定理2(v)中，令{Λj:j∈J}是H關于{Vj:j∈J}的界為A的緊g-框架(此時K=IH，Γj=1/AΛj)，且取λ=0，{aj}j∈J如式(16)定義，則可得文獻[12]的定理3.1. 如令K=IH，λ=0， 則由定理2(v) 也可得文獻[15]的定理4.1.