鉆井系統(tǒng)黏滑效應(yīng)的非線性穩(wěn)定性研究

張康智，畢永強(qiáng)，曹鵬飛

(1. 西安航空學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，陜西 西安 710077；2. 西安興航航空科技股份有限公司，陜西 西安 710077)

0 引言

鉆井系統(tǒng)主要是由鉆頭、鉆柱井架、驅(qū)動(dòng)等部分組成。鉆井過(guò)程中，鉆柱推動(dòng)鉆頭深入地下巖層切削巖石，鉆頭與巖石之間存在相互擠壓、摩擦、黏滯等接觸力引起鉆頭和鉆柱的振動(dòng)，加速了鉆柱和鉆頭的疲勞及斷裂。

有許多學(xué)者致力于研究鉆井系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 RICHARD T等[1]將鉆柱系統(tǒng)簡(jiǎn)化為兩自由度扭擺模型，建立了系統(tǒng)的二階滯后動(dòng)力學(xué)方程，考慮鉆頭與巖石相互作用的切削力和摩擦力，獲得了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，并進(jìn)行黏滑振動(dòng)模擬。基于此模型，NANDAKUMAR K等[2]考慮鉆柱的黏性阻尼，重新建立了模型，分析了系統(tǒng)的線性穩(wěn)定性，繪制了旋轉(zhuǎn)的穩(wěn)定邊界速度和鉆孔速度。然而，在NANDAKUMAR K的模型中沒(méi)有考慮軸向振動(dòng)。 RICHARD T[3-4]和KHULIEF Y A[5]考慮基于扭擺模型的軸向振動(dòng)并研究了黏滑振動(dòng)，但沒(méi)有對(duì)模型添加阻尼。 KAMEL J M等[6]分析了鉆柱軸向和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的時(shí)域響應(yīng)，并比較了每個(gè)鉆孔參數(shù)對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響。有學(xué)者指出通過(guò)增加鉆削系統(tǒng)剛度、阻尼或者附加動(dòng)力吸振器吸收振動(dòng)來(lái)抑制顫的方法，主要是采用各類(lèi)減振器[7]。BAKHTIARI-Nejad F[8]考慮鉆鋌的影響并將鉆柱系統(tǒng)分解為鉆桿、鉆鋌和鉆頭3個(gè)集中質(zhì)量模型，分析了輸入?yún)?shù)和鉆桿長(zhǎng)度等參數(shù)對(duì)其的影響。上述學(xué)者都將鉆柱系統(tǒng)視為軸向和圓周集中質(zhì)量模型，以這種方式研究黏滑振動(dòng)，不能解釋黏滑振動(dòng)鉆頭以高頻旋轉(zhuǎn)時(shí)發(fā)生的振動(dòng)不穩(wěn)定性。

本文將鉆柱系統(tǒng)考慮為彈性體模型，考慮鉆柱軸向和扭轉(zhuǎn)阻尼，并考慮切削力和接觸力，建立其力學(xué)模型如圖1所示。

圖1 鉆柱系統(tǒng)的彈性體力學(xué)模型

1 鉆井系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

在距離鉆柱頂部z處取長(zhǎng)度為dz的微元體進(jìn)行受力分析，微元體受力如圖2所示。

圖2 微元體受力分析

根據(jù)微元體受力分解圖，可以得到如下公式：

(1)

(2)

其中：ρ表示鉆柱的密度；A表示鉆柱的截面積；ca和cr分別表示鉆柱的體積軸向阻尼和體積旋轉(zhuǎn)阻尼；v表示截面軸向速度；ω表示截面扭轉(zhuǎn)角速度；F表示截面上的軸向力；T表示截面上的轉(zhuǎn)矩；p表示體積分布軸向力；m表示體積分布轉(zhuǎn)矩。

根據(jù)材料力學(xué)，力與變形的關(guān)系如下：

(3)

(4)

其中：E為彈性模量；G為切變模量；u表示截面軸向位移；φ表示截面扭轉(zhuǎn)角度。

位移與速度的關(guān)系如下：

(5)

(6)

將式(3)-式(6)代入式(1)和式(2)，可得無(wú)限維鉆井系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下：

(7)

(8)

1.2 鉆頭受力分析

鉆頭與巖石的作用如圖3所示。其中，R表示鉆頭的半徑，N表示鉆頭的刀齒數(shù)，L表示進(jìn)給量，D(t)表示單個(gè)刀齒的切削深度，tN表示鉆頭切削延遲時(shí)間，則鉆頭整體的切削深度d(t)=ND(t)。

圖3 鉆頭與巖石作用

根據(jù)PDC鉆頭的單刃切削實(shí)驗(yàn)[9]，作用于鉆頭上的力可以分解為切削力Fc和摩擦力Ff，如圖4所示。

圖4 刀齒受力分析

切削力和摩擦力共同作用于鉆頭上，于是，鉆頭所受軸向力PL和轉(zhuǎn)矩TL可以寫(xiě)作：

PL(t)=ζFc+Ff=ζεRd(t)+NσlR

(9)

(10)

單齒切深可以采用狀態(tài)依賴延遲(SDD)模型，寫(xiě)作如下形式：

(11)

1.3 動(dòng)力學(xué)方程的解

利用模態(tài)分解法求解式(7)和式(8)，定義：

(12)

(13)

其中i為模態(tài)階數(shù)，取整數(shù)。將式(12)和式(13)代入式(7)和式(8)，得:

(14)

(15)

(16)

(17)

將式(9)和式(10)、式(14)和式(15)代入式(16)和式(17)，即可得到鉆井系統(tǒng)各階模態(tài)的振動(dòng)微分方程：

(18)

(19)

其中：λ是與鉆速有關(guān)的量；μ是采用平滑處理的干摩擦模型，其表達(dá)式如下：

(20)

(21)

2 非線性穩(wěn)定性仿真

定義狀態(tài)參數(shù)ψi、θ、V，定義切削參數(shù)向量Q(t)，其形式如下：

(22)

(23)

利用式(22)和式(23)可將鉆井系統(tǒng)的響應(yīng)方程化為如下形式：

(24)

其中：

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

其中：

(32)

D=A+B

(33)

則t=ti+1時(shí)，式(31)可化為

(34)

Pi+1=EPi+F

(35)

其中：

(36)

(37)

稱為系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣。應(yīng)用Floquet穩(wěn)定性理論可判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

鉆井系統(tǒng)的參數(shù)值如表1所示。

表1 鉆井系統(tǒng)參數(shù)表

圖5 系統(tǒng)前3階模態(tài)穩(wěn)定性邊界(σ=0)

接觸應(yīng)力σ的最大值為max(σ)=ε，故選取σ=ε繪制穩(wěn)定性邊界。σ=0與σ=ε繪制的邊界將平面分為穩(wěn)定區(qū)、顫振區(qū)和失穩(wěn)區(qū)，如圖6所示。

圖6 鉆井系統(tǒng)穩(wěn)定性邊界

分別從失穩(wěn)區(qū)、顫振區(qū)、穩(wěn)定區(qū)選取A、B、C三點(diǎn)，代入原方程，進(jìn)行時(shí)域仿真，仿真結(jié)果如圖7-圖10所示。

圖7 A點(diǎn)轉(zhuǎn)速時(shí)域波形

圖8 B點(diǎn)轉(zhuǎn)速時(shí)域波形

圖9 B點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)相圖

圖10 C點(diǎn)轉(zhuǎn)速時(shí)域波形

從時(shí)域仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)在失穩(wěn)區(qū)工作時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)幅值會(huì)越來(lái)越大，處于失穩(wěn)狀態(tài)；系統(tǒng)在顫振區(qū)工作時(shí)，摩擦力能夠穩(wěn)定振動(dòng)幅值在一定區(qū)間內(nèi)，使系統(tǒng)的振動(dòng)呈現(xiàn)穩(wěn)定的周期振動(dòng)；系統(tǒng)在穩(wěn)定區(qū)工作時(shí)，沒(méi)有摩擦力的作用，系統(tǒng)的振動(dòng)會(huì)逐漸減小。

3 結(jié)語(yǔ)

1)鉆井系統(tǒng)的穩(wěn)定性與切削力及接觸力有關(guān)，研究鉆井系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí)必須同時(shí)考慮。

2)鉆井系統(tǒng)由細(xì)長(zhǎng)鉆柱構(gòu)成，研究其穩(wěn)定性時(shí)，應(yīng)考慮為無(wú)限維彈性體，這樣，針對(duì)研究系統(tǒng)在中高轉(zhuǎn)速下的穩(wěn)定性也能適用。

3)接觸應(yīng)力作用于鉆頭產(chǎn)生的摩擦力是引起黏滑振動(dòng)的主要因素。

4)在實(shí)際工程中，系統(tǒng)處于穩(wěn)定區(qū)工作時(shí)，具有減振效果，處于顫振區(qū)工作時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)較為穩(wěn)定，處于失穩(wěn)區(qū)工作時(shí)系統(tǒng)振動(dòng)會(huì)擴(kuò)大。