基于動態加點Kriging模型的機床立柱多目標優化

趙家黎，欒尊騰，景宏斌

(蘭州理工大學 機電工程學院，甘肅 蘭州 730050)

0 引言

復合機床作為工作母機，廣泛應用于加工制造領域。機床整機靜動特性作為機床重要性能指標，其優劣程度直接影響機床穩定性及動剛度。所以，提高機床整機靜動特性對改善機床加工質量和效率具有重要意義。

近些年，借助有限元等分析方法，國內外學者針對機床整機靜動特性的研究內容愈加豐富。胡勖等[1]基于有限元理論，利用靜動態特性分析結果，通過改變材料的方法實現對機床的優化。劉成穎等[2]基于有限元辨識立柱薄弱環節，通過拓撲優化改進筋板選型及布局，提高機床整機靜動態特性。KONON D等[3]在考慮接觸剛度的同時通過對地腳支撐位置的調整達到提高機床性能的目的。ZHAO L P等[4]通過有限元分析和動態靈敏度分析相結合來提高機床整機性能。

本文針對優化過程中傳統響應面模型精度較差、優化效率偏低等不足，結合有限元分析方法和響應面模型手段，以提高機床整機穩定性和動剛度為目的，對某型復合機床進行多目標優化研究。

1 機床有限元建模及特性分析

1.1 機床簡介及模型建立

本文研究對象為采用模塊化設計而成的多功能復合機床(圖1)。該復合機床主要由床身、立柱、主軸箱、床鞍、工作臺等部件組成。

相較于傳統三軸數控立式銑床，該復合機床增置了繞y軸0°～90°可傾斜軸(B軸)、繞z軸分度旋轉的回轉軸(C軸)、車削主軸(S2)以及數控四方刀架。其在實現傳統立式銑床基本加工功能外，還可進行空間曲面、回轉曲面、螺紋等較復雜零件的車、銑、鉆削等基本切削加工，同時具備標準圓柱直齒輪滾切加工功能。圖2分別為車削、曲面銑削、滾齒加工示意圖。

圖1 多功能復合機床簡化模型

圖2 車削、曲面銑削與滾齒加工示意圖

1.2 機床整機有限元模型建立

復合機床三維模型網格劃分的優劣程度會直接影響有限元分析效率及準確性。本文鑒于模型復雜度采用Automatic法對其進行網格劃分。該方法根據被劃分的幾何體能否被掃掠及在四面體和掃掠型間能否進行自主切換，對無法掃掠劃分的實體通過協調分片算法劃分四面體網格，反之采用掃掠方法劃分為六面體網格，同時舍去或簡化倒角、凹槽、凸臺、孔洞等對機床特性影響甚微的特征，以提高優化效率,最終得到單元數和節點數分別為261709和453047個的整機有限元網格劃分模型，如圖3所示。

圖3 有限元模型

1.3 機床動特性分析

本文著重分析圖1位姿(x、y軸處于行程中間位置，主軸箱位于立柱z軸上端極限位置)下機床整機的固有特性及工作激勵下的動態響應。

1) 模態分析

模態分析可以明確機床振動特性(即固有頻率和振型)，它們是機床結構在動力載荷作用下進行優化的重要參數。本文基于ANSYS Workbench平臺，先對機床整機采用模態疊加法進行模態分析。其中床身和立柱為鑄鐵(密度7200kg/m3，彈性模量110GPa，泊松比0.27)，其他結構零部件為結構鋼(密度7850kg/m3，彈性模量200GPa，泊松比0.3)。最終通過有限元方法得到模態分析結果如表1所示。

表1 整機前6階固有頻率與振型

2) 諧響應分析

模態分析僅可得到整機各階振型，呈現出機床各部分相對振動情況，下面對整機進行諧響應分析，進一步了解整機在動態激勵下的抗振特性。為反映機床整機在不同激勵下的動態特性變化趨勢，在主軸軸端三個方向上各自施加大小為1000N、頻率為0～200Hz的諧振力，以同一部位為拾振點，獲取其幅值與激振頻率曲線如圖4所示。

圖4 機床整機三個方向的諧響應曲線

分析圖4可知，整機在x、y、z方向都有多個共振點，其中x、y方向的最大振幅發生在60Hz附近，對應機床整機的第1階固有頻率；z方向的最大振幅發生在90Hz附近，恰好為機床整機的第2階固有頻率，對應z方向振幅最大達到了1.02mm。

1.4 機床整機薄弱環節辨識

通過機床整機的諧響應分析可知，在三個方向上的響應峰值分別出現在機床第1和第2階固有頻率附近，由此可知，機床整機動態性能受低階振型影響最大，又由模態分析可知機床整機低階振動形式對應的結構件都以立柱為主，因此立柱對機床整機低階振型影響程度最大，是機床整機的薄弱環節。從機床整機性能優化的角度出發，對立柱進行結構優化設計為最佳方案，可降低對機床性能優化的盲目性，提升優化效率。

2 基于動態加點Kriging模型立柱優化

2.1 設計變量選取

明確立柱為整機薄弱環節后，通過對立柱主要尺寸參數進行調整達到提高機床整機性能的目的。立柱尺寸參數眾多，經靈敏度分析后，此處篩選前、側、后壁厚及板筋厚度和孔徑大小等7個主要尺寸作為優化設計變量，對應設計變量取值范圍及原始尺寸如表2所列。

表2 設計變量尺寸參數及取值范圍 單位：mm

2.2 優化模型建立

通過模態分析可知立柱薄弱狀態主要表現為低階頻率偏低，又由諧響應分析可知機床立柱受力變形偏大，通過提高機床立柱低階固有頻率和立柱自身剛度，可顯著改善機床立柱薄弱狀況，實現提高機床整機性能的目的。同時順應現代機床綠色經濟的發展趨勢，在保證機床質量不增加的前提下，最終構建立柱多目標優化模型如下:

min[-fi(x)，σ(x)]，i=1，2，3

(1)

X=[b1，b2，…，b7]T

(2)

式中:X為設計變量矢量，X∈Ω，Ω為設計空間；f0、σ0、m0分別為優化前立柱的頻率、變形和質量；f(x)、σ(x)、m(x)分別為優化后立柱的頻率、變形和質量。

2.3 動態加點準則的Kriging代理模型

1) Kriging代理模型

使用拉丁超立方實驗設計能夠讓各個水平上的因素均勻分布，設計空間可通過較少樣本點得到反映[5]。在設計空間通過拉丁超立方實驗設計法采樣，可獲得Kriging代理模型樣本點，獲取樣本點應使得式(3)取值最小：

(3)

式中：‖xi-xj‖為兩樣本間的距離;N為樣本點數量。

Kriging代理模型表達了預測值y和設計變量x的關系，基本形式為[6]

y(x)=F(β，x)+z(x)

式中：F(β，x)為變量空間全局模型；z(x) 為隨機統計過程局部偏差，其均值為0，方差為σ2，協方差為cov(z(xi)，z(xj))=σ2R(xi，xj)，其中R(xi，xj)是兩樣本點xi，xj間的變異函數。

通常選擇高斯模型：

(4)

通過線性加權和法得到Kriging模型在樣本點x處的預測值為：

式中：R為對應模型矩陣；r(x)為預測點和試驗點間的模型向量；g是樣本點的相應向量。

2) 最大期望(EI)加點準則

(5)

式中:φ(·)為正態分布累積函數；φ(·)為正態分布概率密度函數。

2.4 優化流程及其結果分析

NSGA-Ⅱ是目前普遍使用的多目標遺傳算法，它降低了非劣排序遺傳算法的復雜性，在快速運行的同時能夠很好地保證解集的收斂穩定性。基于動態加點準則的Kriging代理模型及NSGA-Ⅱ多目標優化算法基準，構建優化流程如圖5所示。

圖5 優化流程圖

圖6所示是優化所得Pareto前沿解集。3個坐標軸分別對應機床整機的第1階、第2階固有頻率及質量。由所得Pareto前沿解集可知，進行多目標優化時，各目標函數間可能是相互沖突的，即某個目標函數的最優解可能對應另一個目標函數的較差情況。表現在低階頻率較高情況下對應的機床質量就會增加，反之質量的減少就會導致低階頻率的降低。雖然目標函數之間存在相互削弱的現象，Pareto前沿解集依然可以提供相當大的設計空間供設計人員挑選，設計人員根據目標期望的權衡就能確定滿足設計需求的最佳方案[8]。本文在保證質量不增加的前提下，對第1階、第2階固有頻率關注較大，故在Pareto解集中選擇表3中一組符合權重要求的優化數據。

圖6 pareto前沿解集

將經過優化修整后的立柱導入復合機床整機裝配體中重新建模，并依照上節中同樣條件下進行模態分析和諧響應分析，得到整機前兩階固有頻率如表3所示，機床整機優化前后的頻響曲線如圖7所示。由表3可知，機床整機在質量幾乎不變的情況下，第1、2階固有頻率分別提高了9.2%和5.6%，機床抗振性得到增強。又由圖6可知，機床整機在x、y、z三個方向上的最大共振峰值分別由原來的0.69mm、0.61mm、1.02mm降低到0.42mm、0.38mm、0.78mm，下降39.1%、37.7%、23.5%，機床整機剛度有所加強，機床整機動態性能得到顯著改善。

圖7 優化后整機三個方向上幅值與激振頻率曲線

表3 立柱-主軸箱結構優化結果

綜上所述，將拉丁超立方實驗設計、動態加點準則Kriging模型、NSGA-Ⅱ遺傳算法相結合的優化方法，改善了傳統響應面模型精度較差、優化效率偏低的不足，利用該方法對機床進行多目標優化改進后，機床整機剛度有較大的提升，薄弱模態下的固有頻率得到提高，達到了機床結構動態優化設計的目的。經驗證后證明，其動態性能得到大幅度提高。

3 結語

本文在對多功能復合機床準確建立動力學模型的基礎上，通過構建動態加點準則的Kriging代理模型，對機床整機進行了合理優化。

1) 基于有限元分析方法，通過模態分析和諧響應分析辨識機床立柱為薄弱環節，明確機床結構優化方向。

2) 針對機床薄弱環節，將拉丁超立方實驗設計、動態加點準則Kriging模型、NSGA-Ⅱ多目標遺傳算法相結合，保證質量不增加的前提下，對復合機床以前兩階固有頻率和剛度為多目標進行優化設計，使機床立柱這一薄弱環節得到改善后，最終機床整機前兩階固有頻率提升，機床剛度得到加強，證明該方法可靠有效。