基于球面并聯機器人空間定位技術的動力學控制研究

張林，郭旭俠，師朝陽，史革盟

(1. 寶雞文理學院 機械工程學院，陜西 寶雞 721013；2. 包神鐵路集團機務分公司，陜西 神木 719316)

0 引言

隨著航天技術的發展，傳統的陀螺儀定位導航裝置越來越難以滿足復雜環境下的定位跟蹤要求，人們開始考慮將高靈活性的并聯機器人技術應用其中，但其復雜的機構學特征使得機器人動力學層面的問題變得異常復雜，學者們對此提出了多種不同的方法來分析不同構型下機器人的動力學問題。魯開講等[1]利用Kane法得到平面3自由度并聯機構動力學方程。李永泉等[2]結合拉格朗日方程和鍵合圖法建立了2-DOF冗余驅動并聯機器人動力學模型。柳賀等[3]通過計算機器人力矩輸出的前饋值，使得機器人轉矩輸出實現穩態調整。王中雙等[4]利用向量鍵合圖法對空間并聯機器人進行了動力學分析。劉涼等[5]利用自然坐標法和絕對節點坐標法構建了3-RRRU并聯機器人的正、逆動力學模型。MAZARE M[6]利用拉格朗日法推導了3自由度并聯機器人的動力學模型。STAICU S[7]基于虛功原理和拉格朗日乘子法建立了6-6 Stewart機構的逆動力學方程。ENFERADI J等[8]基于虛功原理和螺旋理論，得到了3-RRCP的動力學方程。ZHANG B等[9]利用虛功原理，建立了3-PRRU并聯機構的動力學模型。SHARIFZADEH M等[10]采用輸入輸出黑盒辨識技術提出了一種多項式回歸的逆動力學模型。本文將球面3自由度并聯機器人用于3自由度陀螺平臺定位的執行機構，采用拉格朗日法建立機器人運動微分方程，導出主動關節驅動力矩的表達式，得到影響機器人主動關節驅動力矩的主要因素，為機器人動力學性能分析和控制系統設計打下基礎。

1 機器人速度分析

空間球面3自由度并聯機器人上、下角錐均為正三棱錐。如圖1所示，它們之間通過3條相同的3轉動副運動鏈連接，機器人全部轉動副的軸線匯交于一點O，上角錐可實現繞O的定點轉動。取參考坐標系O-i1i2i3，基矢量i3垂直于下角錐底面B1B2B3，基矢量i1的方向由b1×i3確定。在上角錐固連動坐標系O-e1e2e3，基矢量e3垂直于上角錐底面V1V2V3，基矢量e1的方向由v1×e3確定。

圖1 球面3自由度并聯機器人

機器人上、下角錐之間的旋轉變換采用3個歐拉角描述，并取為系統廣義坐標，上角錐在參考坐標系的角速度為

(1)

式中：i3、p、e3為歐拉變換瞬時旋轉軸方向的單位矢量；ψ、φ、δ為歐拉角，即系統廣義坐標。

利用影響系數法[11]建立各分支關節運動角速度對上角錐轉動角速度的影響關系：

(2)

(3)

(4)

2 系統動能的計算

2.1 主動連桿動能計算

機器人主動桿一端與下角錐以轉動關節相連，所以主動桿的運動是繞br定軸轉動，絕對角速度矢量

(5)

主動桿動能

(6)

式中Ibr為主動連桿繞瞬時角速度矢量軸的轉動慣量；α1為arc(Br，Wr)對應的圓心角；ρ為主動桿線密度，單位為kg/m。

2.2 從動桿動能計算

在連桿上建立局部坐標系O-x′y′z′，如圖2所示。

圖2 機器人從動桿

x′軸的方向與關節軸線wr的方向一致，y′軸取在從動連桿所在平面，z′軸的方向垂直于連桿所在的平面。從動連桿隨主動桿轉動，同時又繞wr軸轉動，其絕對角速度矢量

今天，要在“老實人”后面添兩個字造句，第一反應往往是“老實人吃虧”；再來，“老實人倒霉”；再來，“老實人背（黑）鍋”——而“老實人光榮”恐怕是造不出來的。說起“老實”的涵義，倒也知道是“守規矩”，但這里面的“味兒”卻又不一樣了。乃至于《現代漢語詞典》也要再加一條解釋：婉辭，指人不聰明。

(7)

從動桿的運動可看作是繞瞬時角速度矢量軸的瞬時轉動，其動能

(8)

式中：Iar為從動連桿繞瞬時角速度矢量軸的轉動慣量；α2為arc(Wr，Vr)對應的圓心角；ρ為從動桿線密度。

2.3 上角錐動能計算

在機器人上角錐建立直角坐標系，坐標軸方向與動坐標系O-e1e2e3一致。上角錐速度以歐拉角的形式給出，將其投影在動坐標系中：

上角錐的運動可看作是繞瞬時角速度軸的瞬時轉動，其動能

(9)

式中：Is為上角錐繞瞬時角速度矢量軸的轉動慣量;ρ2為下角錐的體積密度。

由上述計算可知系統動能具有如下形式，它是廣義坐標、廣義速度及時間的函數。

(10)

3 系統運動微分方程

將式(10)代入拉格朗日第二類動力學方程，可得機器人運動微分方程

(11)

由于機器人的運動只能實現上角錐繞下角錐的定點轉動，所以在轉動過程中系統只傳遞轉矩。根據虛位移原理，主動關節驅動力矩做的元功。

(12)

由上式可求得廣義力Q：

(13)

將以上結果代入式(11)，得機器人系統運動微分方程

(14)

(15)

4 應用實例

在剛體定位控制問題中，一般采用對應于歐拉角順序的3自由度陀螺平臺進行定位，結合球面3-RRR并聯機器人上平臺3維轉動的結構特點，將陀螺平臺附加在球面機器人上，如圖3所示。該執行機構可以在空間目標移動的過程中，控制陀螺平臺搜索目標信號，對陀螺的姿態進行穩定補償，使陀螺平臺實時跟蹤空間目標。在陀螺平臺轉動軸上安裝傳感器AH500，此傳感器是基于三軸磁力計、三軸陀螺儀以及三軸加速度計進行設計的穩定跟蹤傳感器。三軸磁力計可測量出空間目標的方位角；加速度計可測量單軸的線加速度，經過雙目測距原理，得出目標在陀螺儀坐標系的向徑，進而可將運動目標的線加速度轉化為陀螺儀的角加速度；陀螺儀可測量出空間目標的角速度。通過數據融合，系統可以實時地輸出空間目標的進動角、章動角、自轉角及其角速度、加速度等數據，輸出的進動角ψ、章動角φ、自轉角δ可作為球面機器人的3個廣義坐標。

圖3 基于球面3自由度并聯機器人的空間定位執行機構

選取并聯機器人結構參數如下，上、下角錐的錐半角分別為γ=30°、β=45°；連桿BrWr和WrVr的圓心角分別為α1=90°、α2=90°。給定機構上角錐的運動規律ψ=0.56sin(1.2t-59.9)，φ=-0.4cos(0.4t-20),δ=-0.36sin(0.6t-30) ，t=[0，6.5]s。

對于給定的上角錐運動，由式(4)求得主動關節角速度的變化歷程，如圖4所示，角速度曲線光滑連續表明機器人具有較好的運動傳遞性。由式(15)可知，主動關節的驅動力由加速度項、速度項和重力項3部分組成。1個運動周期內，主動關節加速度項和速度項引起驅動力矩的變化曲線分別如圖5、圖6所示。為了清楚加速度項與速度項對驅動力的影響程度，圖7給出了上角錐在1個運動周期內主動關節驅動力矩的總體變化曲線。對比圖5-圖7可看出影響驅動力大小的主要因素是加速度項和速度項，而重力項影響很小。本文按照預訂的定位軌跡，計算出主動關節的力矩作為控制量，是一種動力學層面上的開環控制，如果系統存在不確定因素和隨機擾動，就必須建立帶有反饋環路的閉環控制，以抑制不確定性因素和擾動引起的定位誤差。

圖4 機器人主動關節轉動角速度

圖5 加速度項對驅動力矩的影響

圖6 速度項對驅動力矩的影響

圖7 機器人主動關節驅動力矩

5 結語

1)選取機器人3個歐拉角為廣義坐標，采用拉格朗日法從機械能的觀點出發導出了機器人轉動構件動能計算式，建立了機器人運動微分方程，避免在約束方程出現較為復雜的眾多約束力和約束力偶，并且所得方程易于轉化為形式簡單的狀態方程，便于機器人動力學性能分析和控制系統設計。

2)以球面3自由度并聯機器人在目標跟蹤問題的應用為例，設計出執行機構姿態角檢測方案，以目標對象的姿態角為輸入量，得到施加于機器人主動關節的驅動力矩。仿真結果表明，影響驅動力大小的主要因素是加速度項和速度項，而重力項影響很小。