高次非負實系數遞推數列的數值通項求解及思路深探

竇明華

無論是高考還是競賽，數列扮演著重要的角色，占據了舉足輕重的地位。而對于較為常規的線性實系數遞推，已有一套完整的理論體系和解決策略，即使是競賽中出現的一些非線性逆推數列，也往往可以結合換元，放縮，母函數求導或積分，不動點法等進行求解，在此筆者不作過多贅述。然而總會存在某些非線性遞推數列，其通項公式無法僅用初等方法求出，如：

an+1=an2+1???????????? a0=1.求其通項 an.

該問題困擾筆者很長時間，直至筆者意識到其解析通項不存在，并利用數值逼近的思路得到其數值通項，同時將該思路推廣至高次形式。本文將對此作出全面詳細的闡述，其中將涉及一些簡單的高等數學知識，但是配合筆者的描述來進行理解應該并非難事。

考慮如下的遞推數列：

為了進行數值估計，我們對求和進行處理：

考察無窮級數

有

故

故由此值判別法知無窮級數收斂，即

其中

下面對rn進行考察：

根據an遞增的性質，

故必存在一個充分大的正整數N，使得大于N的整數n滿足，

（這里的[x]為取整函數，{x}=x-[x]）

于是我們便得到了該數列的數值通項，但必須滿足 ，否則將無法對an進行確定，之所以沒有將此系數限制條件置于文首，是為了使論述過程更加自然，而在運用此方法時，βk>2βk-1的條件不可忽略。

數列與函數有何聯系？這個問題引人深思，它們都建立了變量之間的聯系。但相較于數列而言，函數仿佛更勝一籌，這是因為函數的連續性可使其更直觀地應用于生活，且函數的多變量化可以解決更復雜的問題，分析學的建立更是令函數如虎添翼，如此來看，似乎所有的數列問題都可以轉化為函數問題來分析，數列的已知遞推求通項問題可以化為函數的n次選代的問題，不動點法就是很好的例證，母函數和無窮級數的收斂判定不等式法也是函數為數列所用的實例。

但上述問題的解法便是對此觀點的有力反駁。數列的離散性使其擁有更為簡單的存在形式，對于此類數列，其函數幾次選代的解析結果很難得到，但其離散數值通項卻較易求得。這也就意味著利用數列對函數的變化性態進行分析會更容易、直觀，而取整函數所造成的“近似性”也可以大大簡化分析的過程。其次，數列作為一種特殊的遞推模型，比函數模型的構造更為簡單，在組合數學中此思想被廣泛應用。

以上為筆者對較一般情形下非負系數高次遞推的方法闡述及思路探究，望有拋磚引玉之用。限于筆者學識淺薄，難免有錯誤或不當之處，望讀者斧正。