基于2-UPR/RPS并聯機構尺度對工作空間的影響

馬春生， 馬振東， 尹曉秦， 米文博

(中北大學機械工程學院， 太原 030051)

并聯傳動機構的特點是結構穩定、傳動性能好,具有較大的承載能力及較高的控制精度[1-2]。可以應用于物料分揀和快遞物流行業等此類需要大量重復的機械運動中。分揀機的主要工作是將不同的產品進行分類，工作類型但需要大量重復工作，因此，少自由度并聯機構構型及并聯機構工作空間的范圍才是設計中所主要需求的[3-4]。

劉偉等[5]對3T、2T1R 和2R1T 模式的并聯機構進行了構型綜合，提出多種構型。許允斗等[6]通過研究2-RPU/UPR并聯機構的受力特點和結構特點,搭建實體樣機。張偉中等[7]通過分析運動副布置對工作空間的影響，優化了2-PUR-PSR并聯機構的空間尺寸。汪滿新等[8]分析了3-SPR并聯機構不同尺寸下的運動學性能參數，選出了合適的機構參數。李典等[9]通過研究新型2-2PRUR并聯機構的運動學和工作空間的優化方法進行了分析,基于遺傳算法對該類并聯機構的工作空間進行了優化，給出優化后的機構尺寸，為建立樣機提供基礎。

工作空間是衡量并聯機構的一個重要指標，應根據不同的生產實際需求選擇合適的并聯機構。樣機尺寸對機構的工作空間影響較大，同一機構在不同尺寸下的工作空間也不同，工作空間和機構尺寸的關系很多時候并不是簡單的線性增長。分析并聯機構尺寸參數與工作空間之間的關系，具有重要的實際意義。

少自由度并聯機構結構簡單、運動性能良好、具有良好的控制精度、響應速度較快。對于產品分揀、包裝等各種需要同時進行大規模的重復運動的工作而言非常適合。

1 自由度分析

1.1 機構描述及坐標建立

2-UPR/RPS(U代表虎克鉸，P代表移動副，R代表轉動副，S代表球面副)并聯機構由動平臺、定平臺、兩條UPR支鏈以及一條RPS支鏈組成，機構的初始位型如圖1所示。

圖1 2-UPR/RPS并聯機構模型Fig.1 2-UPR/RPS parallel mechanism model

兩條UPR分支呈對稱分布。如圖2所示，在UPR 支鏈中，虎克鉸與定平臺分別相連于A1、A2點，轉動副與動平臺分別連結于B1、B2點，移動副的軸線方向通過U副中心點和R副相連，兩個U副中的第一轉動軸線共線。動平臺上兩個轉動副的軸線平行。

圖2 2-UPR/RPS三維簡圖Fig.2 2-UPR/RPS three-dimensional diagram

RPS 分支中 R 副與定平臺相連接A3點，S副與動平臺相連接于B3點。P 副的軸線經過S副的中心點并與轉動副軸線相互垂直。

在動平臺和定平臺中分別建立坐標如圖1所示。定平臺幾何中心為原點O，X軸方向與RPS支鏈中轉動副方向平行，Y軸與X軸方向垂直，Z軸垂直于定平臺。整體坐標系遵循右手定則。動平臺上坐標系為P-xyz，定平臺上坐標系為O-XYZ。

1.2 自由度分析

基于螺旋理論[10-12]對2-UPR/RPS并聯機構進行自由度分析，將運動副通過運動螺旋表示，求解其約束螺旋，在通過分析其約束螺旋，求解機構自由度。首先取UPR支鏈進行自由度分析，以A1點為原點創建局部坐標系，可以寫出UPR支鏈運動螺旋為

(1)

對式(1)求反螺旋可得

(2)

同理，對RPS支鏈進行自由度分析，即

(3)

式中：g、f表示機構尺寸以及與軸線有關的位置變量。

對式(3)求反螺旋可得

(4)

綜上所述，2-UPR/RPS并聯機構的動平臺有三個約束螺旋，在無約束的情況下，物體在空間中具有六個自由度，因此該機構具有三個自由度，分別是繞X軸與Y軸的轉動和沿Z軸的移動。通過修正的G-K公式驗證該機構的自由度，即

(5)

2 運動學分析

并聯機構運動學逆解，是在確定動平臺位姿參數時，如(X,Y,Z,ψ,θ,φ)，求出機構各分支中驅動副的驅動參數。2-UPR/RPS并聯機構將三條分支的移動副設定為驅動副，則需要求出驅動副的伸長量[13]。

動平臺位姿可以用Z-Y-X型歐拉角表示。Rot為Z-Y-X型歐拉角的姿態轉換矩陣。設l1、l2、l3表示AiBi(i=1, 2,3)的長度。

(6)

式(6)中：c為余弦函數；s為正弦函數。

假設定平臺半徑為R，動定平臺半徑比為λ,動平臺上Bi點在動坐標系P-xyz中的坐標分別為

(7)

動平臺中心點P在定平臺坐標系下的位置參數為

(8)

點Bi在定坐標系下的位置參數為

OBi=Rot·PBi+OP

(9)

移動副伸長量為

li=|OBi-OAi|,i=1,2,3

(10)

根據式(8)～式(10)可以求出RPS支鏈的運動學逆解，即

(11)

3 并聯機構平臺尺寸和工作空間的關系

3.1 動靜平臺尺寸比對工作空間的影響

并聯機構動平臺可達空間是衡量其工作性能的重要指標之一，除并聯機構構型外，動靜平臺尺寸比也是影響工作空間大小的一個關鍵因素。利用位置反解在MATLAB程序中求解并聯機構的工作空間，設定并聯機構其他參數不變，改變動平臺和靜平臺面積大小，求解工作空間體積變化。

假設動平臺面積與定平臺面積之比為λ，設定λ取值范圍為0.5～2，在空間中搜索并聯機構動平臺的可達空間，并計算其工作空間的體積大小。計算結果如圖3所示。

圖3 平臺尺寸對工作空間的影響Fig.3 The impact of platform size on working space

通過觀察圖3可得，隨著動定平臺比增大，并聯機構的工作空間體積先增大后減小，當λ的取值大于1.8時，并聯機構各運動副間發生干涉，無法運動。

3.2 運動副布置方式對工作空間的影響

運動副的布置方式對工作空間有較大的影響，由于球副與U副繞自身Z軸轉動后無改變，所以僅能改變轉動副軸線方向，在三維軟件中進行建模分析，求解其工作空間。

改變定平臺轉動副軸線方向，改變后旋轉副的軸線方向如圖4所示。將原本繞X軸轉動的轉動副改為繞Y軸轉動，計算其工作空間，通過觀察可得，其工作空間如圖5所示。該工作空間是X-Z平面內一個區域面積。

圖4 定平臺運動副簡圖Fig.4 Schematic diagram of fixed platform motion

圖5 改變定平臺運動副后的工作空間Fig.5 Workspace after changing the motion pair of the fixed platform

改變動平臺轉動副軸線方向，設定其他條件不變，將轉動副軸線從沿Y軸方向改為沿X軸方向，分別與X軸存在30°、120°夾角，重新求解工作空間。工作空間特點如表1所示。觀察表1發現，當轉動副與X軸或Y軸平行時，機構運動平穩。當轉動副與坐標系存在夾角時，兩個轉動副之間會存在干涉現象，影響其運動。

表1 運動副布置及工作空間特點Table 1 Sports assistant layout and working space characteristics

4 并聯機構的工作空間

并聯機構的結構參數為：靜平臺外接圓半徑R=400 mm，動平臺外接圓半徑r=400 mm，動靜平臺尺寸比為1，RPS 支鏈驅動桿桿長l1=l2=450 mm，UPR 桿驅動桿桿長l3=450 mm。將求出的位置反解帶入MATLAB軟件中，編寫求解程序，搜索其可達空間。進行運算，即可得出該并聯機構的工作空間，結果如圖6所示。

圖6 2-UPR/RPS并聯機構可達工作空間Fig.6 2-UPR/RPS parallel mechanism reachable working space

通過觀察可得，2-UPR/RPS并聯機構在空間中具有較大的工作范圍，整體工作空間沿X-Z平面呈空間對稱分布，整體工作空間區域緊湊，機構在工作空間內運動平穩，無奇異性。區域內無斷點，無空洞。

5 結論

(1)首先利用空間螺旋理論計算2-UPR/RPS機構自由度，該機構具有繞X軸、Y軸轉動和沿Z軸移動的三個自由度。并通過修正的G-K公式驗證其自由度的正確性。通過閉環矢量法求解機構的運動學逆解。在三維軟件中建模分析其運動性能，利用運動學反解和極限位置搜索法求解并聯機構的工作空間。整體工作空間緊湊，無斷點，無空洞，運行過程平穩。可應用到工業生產工作中。通過控制驅動副改變動平臺位姿參數，可適用于不同規格產品的分揀工作。

(2)考慮到機構的尺寸參數對并聯機構工作空間的影響，通過控制變量的方式分析動靜平臺尺寸比和運動副布置方式對工作空間的影響。在工業自動化流水線上，將抓取裝置安裝于動平臺上，動平臺采用UPR支鏈轉動副方向與Y軸方向一致的布置方式，在考慮實際安裝需求及工位空間尺寸時，動靜平臺尺寸比應選取在0.8～1.3，此時機構的工作空間明顯大于其他尺寸，對機構的樣機制造具有十分重要的現實意義。