剛柔耦合在仿貓腿跳躍機器人中的功率放大作用

陳貴亮， 黃榮新， 楊 冬

(河北工業大學機械工程學院， 天津 300130)

高效跳躍是運動機器人有待發展的一種能力，在未來，機器人將廣泛應用于搶險救災、軍事任務、危險環境作業和星際探索等復雜地形條件下的地面運動任務，需要具有靈活高效的機動能力。

跳躍能力是機器人機動性能好壞的重要標志。但目前已有的機器人中，具有良好跳躍能力的不多。而自然界的許多陸生哺乳動物具有良好的跳躍能力。因此，各種善跳動物的跳躍機理得到廣泛研究，并應用于仿生機器人中[1]。孫澤軍等[2]對蟋蟀的跳躍機構進行了分析，并研究了仿蟋蟀機器人。王永健等[3]基于松鼠優秀的跳躍性能，分析其起跳過程中腿部的生理結構和運動機理，仿生設計出一種柔性跳躍機構，根據其動力學，研究了其運動規律。郁萬春[4]通過對蝗蟲的身體結構及跳躍機理的分析，設計了仿蝗蟲的跳躍機器人；王猛[5]設計了仿青蛙的跳躍機器人。莫小娟等[6]對比各種現有仿昆蟲機器人的跳躍性能，分析了其在實現可控起跳、空中姿態調節和落地緩沖復位等方面采取的策略。宋亞杰等[7]模仿袋鼠腿部機構設計了一種四連桿跳躍機器人，通過凸輪、四連桿和彈簧機構，實現能量的儲存和瞬放。國外在這方面的研究也很多，這里不再枚舉。

跳躍的實現需要短時間內釋放大量的能量，即需要極大的瞬時功率。然而Peter Aerts在對夜猴的跳躍能力及其腿部肌肉的代謝能力的對比中發現，其腿部肌肉所能提供的最大功率遠不足以支持跳躍所需，發現了夜猴等哺乳動物通過功率放大實現跳躍的現象[8]。揭示出獨特的骨骼構型和肌肉-肌腱的柔性驅動所形成的腿部結構是實現這種功率放大的原因。動物以較小功率的驅動實現高效跳躍的省能機理值得研究、效仿。Plecnik等[9]依夜猴的跳躍機構原理設計了跳躍機器人Salto，可達到11.5倍的功率放大比。

動物機構由骨骼、肌肉、肌腱、腱膜等組成，先天的剛柔耦合構型是其跳躍中省能和功率放大的基礎。為了在機器人上應用這種原理，上述研究舉例中無一例外地利用了彈性元件，通過能量積蓄、瞬放以實現跳躍的原理。但目前研究主要是對動物機構的直接模仿。其中的剛柔耦合機理需進一步揭示，以使跳躍仿生研究可由機構模仿發展為對原理的自主應用。

貓作為一種常見的善跳動物，在復雜地形具有相當高的敏捷性與靈活性，是良好的跳躍仿生研究模本。貓跳躍中充分利用到前肢、腰部和后肢的協調能力。在對貓跳躍研究中，已經對其腰部運動對跳躍的調節作用進行了分析[10-11]。

后肢是貓產生跳躍的主要驅動機構，對其中彈性蓄能原件通過剛柔耦合作用，在跳躍中形成功率放大的能力的研究，對仿貓跳躍機構的設計很有意義。由于在研究中難以對動物內部機構精確測量、分析，以及受到動物保護法律上的限制，利用模型模仿動物機構的某些特征進行研究是機構仿生研究的重要手段。根據所設計的一個仿貓后肢跳躍機構，對其不同部位的彈性蓄能原件對跳躍效果的影響進行仿真分析，并從跳躍功率的角度對其產生進行揭示。目的是揭示其實現高效跳躍過程中的能量調度現象和能量利用規律。

1 仿貓腿跳躍機構

1.1仿貓腿機構設計

圖1(a)所示為貓的后肢骨骼構型，圖1(b)所示為根據貓的骨骼構型和肌肉驅動原理簡化的貓腿機構。據此設計了圖2的仿貓腿機構方案。機構簡化為由旋轉鉸鏈連接的股桿、脛桿和足桿三部分。AD、EF桿分別代表貓后肢的大腿部分和小腿部分的雙關節肌肉-肌腱連接，在此為簡化機構，設計為剛性桿，只體現了其對桿件的耦合作用，而未體現其柔性和驅動作用。大腿部分和小腿部分形成相互耦合的兩個四桿機構。蓄能彈簧設置于膝關節C和髖關節B點。此機構只具有一個自由度，故只需在髖關節設置驅動即可控制其運動。跳躍過程為由髖關節的驅動電機逆時針扭轉股桿，兩個四邊形變形，使腿形成圖2(a)的蹲下狀態，此時各彈簧蓄足勢能。電機驅動釋放，機構在彈簧驅動下展開，向圖2(b)狀態變形，彈簧中的能量得以瞬間釋放，驅動機構躍起。

圖1 貓的后肢骨骼和仿生骨骼機構Fig.1 The hind limb skeleton of a cat and the bionic skeletal mechanism

圖2 仿生單腿機構簡圖Fig.2 Schematic diagram of bionic single leg mechanism

機構的各桿長根據對實貓的測量尺寸確定，如表1所示。跳躍中各關節的旋轉角度范圍根據對貓進行的跳躍實驗中高速相機拍攝的腿部機構實際運動范圍確定，如表2所示。

表1 仿生單腿機構各桿長度Table 1 The length of each rod of the bionic one-legged mechanism

表2 腿機構最大伸展和收縮位姿各關節角度Table 2 The angle of each joint at maximum extension and contraction position of the leg mechanism

1.2 仿貓腿機構運動學分析

貓的跳躍過程分為著地階段和騰空階段，其中著地起跳階段為腿部肌肉肌腱能量存儲與釋放的階段。因此，只對仿生腿機構的著地起跳階段進行運動學分析。建立如圖3所示的腿連桿機構的坐標系和廣義坐標參數。其中粗體點劃線是理想連桿。假設此節段，足端P與地面接觸點無滑動，則足桿PG始終繞P點轉動，以其與地面上的對應接觸點P0為原點，建立慣性參考坐標系P0-xyz，根據各連桿的結構建立各個連桿坐標系。

圖3 機構坐標系和廣義坐標參數Fig.3 The coordinate system of mechanism and generalized coordinate parameters

各桿長度設為li，各桿質心位置為Mi(i=0，1，2，3，4)，其中l4是負載塊質心到鉸點B的距離。各桿之間相對轉角為θi，角度的正負以在前一桿的基礎上逆時針旋轉方向為正向。副連桿AD、EC選取較輕、細的材料，忽略其質量，分析中即只需考慮4個主桿的質量作用。設第i桿的質心位置距其內側鉸點的距離與該桿長的比例為ρi。另設P點到P0點為桿0，顯然l0、M0和θ0均為0。取各關節轉角θi為系統廣義坐標，各關節坐標和各桿質心位置都是廣義坐標θi的函數，各連桿的質心坐標可表示為

(1)

將式(1)分別對時間求一階導數和二階導數，得到各連桿質心的速度和加速度，即

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：k為z方向的單位向量。

1.3 跳躍功率的計算

由仿生腿機構跳躍時的總質心速度與地面對機構的接觸反力可以計算機構的輸出功率Po，輸入功率Pi可由驅動電機對BC桿的輸入力矩Ti和BC桿的角速度計算得到，記為Pi。輸出、輸入功率和設置功率放大因子C的計算公式為

Po=Ftvt

(6)

Pi=TiωBC

(7)

C=Po/Pi

(8)

式中：Ft為仿生腿機構對地接觸力矢量；vt為仿生腿機構總質心跳躍速度矢量?？傎|心坐標位置和總質心的速度矢量計算公式為

(9)

(10)

式中：i,j為x、y方向的單位向量。

2 仿貓腿機構跳躍仿真

2.1 仿真建模和設置

根據圖2結構方案及表1的機構參數，在SolidWorks中建立仿貓腿機構的三維模型，將其導入ADAMS軟件，如圖4所示。根據方案建立各連桿之間的轉動副。機構的驅動力矩電機設置在B鉸點，驅動力矩施加于連桿AB和BC之間。

圖4 ADAMS中的機構模型設置Fig.4 Setting of mechanism model in ADAMS

以水平方向為x軸，豎直方向為y軸，z軸垂直向外。由于此處是為了檢驗機構的跳躍驅動能力，為防止機構在各方向上由于不平衡造成的翻轉，將機構運動限制在xy平面內，并且限制髖部的AB桿繞z軸轉動自由度。

為對比彈性環節在機構中不同布置方案對機構跳躍效果的影響，設置了四個方案對照組：DKT、DK、DT和D。其中，D表示在髖的B點鉸鏈有彈簧；K表示在膝關節的C點鉸鏈有彈簧；T表示在足部的趾端P點附件為彈性材料。如DKT指此組機構在髖關節B鉸鏈、膝關節K鉸鏈和趾關節P鉸鏈設有彈性元件，其余方案以此類推。設置仿生單腿機構的髖部驅動蓄能彈簧剛度為0.3 N·m/(°)，阻尼為5×10-4N·m·s/(°)；膝關節蓄能彈簧剛度為0.2 N·m/(°)，阻尼為5×10-4N·m·s/(°)；趾關節蓄能彈簧剛度為1×10-4N·m/(°)，阻尼為1×10-6N·m·s/(°)；驅動力矩為48.4 N·m。

2.2 跳躍仿真實驗

2.2.1 不同關節彈性環節添加或去除對仿生腿跳躍效果的影響

仿真中腿機構運動過程為電機驅動機構收縮至起跳蹲伏姿態，然后釋放，機構在彈性恢復力作用下展開，實現躍起。

圖5所示為四個對照組的跳躍高度及距離曲線，其中DKT與DK的跳躍高度、距離相近，DT和D的跳躍高度、距離相近，DKT與DK的跳躍高度和距離均接近DT和D的跳躍高度和距離的2倍。說明趾關節的彈性元件對于跳躍能力影響不大，膝關節的彈性元件對于跳躍能力影響較顯著。其中起跳時間不同是由于DT和D系統剛性較大，為平穩起跳選擇較慢的腿機構收縮速度(收縮是蓄力過程，速度不影響起跳效果)。

圖5 仿生單腿機構跳躍對比圖Fig.5 Comparison diagram of jump of bionic single-leg mechanism

圖6所示為對照組跳躍速度曲線，其中DKT與DK的跳躍速度相近，DT和D的跳躍速度相近。說明膝關節彈性環節對提高起跳離地速度有著顯著效果。

圖6 仿生單腿機構起跳速度對比圖Fig.6 Comparison diagram of jump velocity of bionic single-leg mechanism

圖7所示為對照組對地接觸力曲線，其中0.4 s和0.8 s附近的峰值分別為DKT、DK和DT、D組起跳時足部受到的地面接觸力峰值，1.7 s和1.8 s附近分別為降落時DKT、DK和DT、D組的足部受到的地面接觸力峰值。由圖7可見，起跳時對地接觸峰值力為DKT和DK較高，且二者比較接近；DT和D較小且數值相近。

圖7 仿生單腿機構對地作用力對比圖Fig.7 Comparison diagram of the force to ground of bionic single-leg mechanism

從圖5～圖7可以看出，DKT與DK的起跳時接觸力曲線較DT和D更為平穩，同時也具有較大的起跳時對地壓力，從而獲得更大的起跳加速度。而在著陸時，對地接觸峰值力為DT組最大，D次之，DKT再次之，DK最小。

以上仿真結果所沒有表示的是，在該機構中，D、K至少需要具有其一，否則機構很難跳起來。在此以具有D配置為基礎條件，比較K和T配置對跳躍效果的作用差異。

由以上可見，在此機構中，膝關節的彈性蓄能原件對跳躍效果的提高貢獻較大，在起跳階段可以獲得較大的地面接觸反力，提高起跳加速度，獲得較大的峰值速度，因而在跳躍高度和距離上均較其他對照組有較大的提高。在降落階段，該配置可以減小降落沖擊力，有益于系統的安全。而趾關節配置的彈性元件對起跳的作用不明顯。

2.2.2 膝關節和趾關節彈性環節剛度和阻尼的增大或減小對仿生腿跳躍效果的影響

從圖8可知，保持輸入力矩大小及作用時長不變，其他參數不變，膝關節彈性環節剛度增大50%時，跳躍高度減少了18.3%，跳躍距離減少了19.1%，起跳時對地作用時長減少了23.2%，對地峰值力增加了18%，落地沖擊有效峰值力降低38.8%。剛度減小50%時，跳躍高度減少了15%，跳躍距離減少了16.6%，起跳時對地作用時長增加了18.1%，對地峰值力減少了26.4%，落地沖擊有效峰值力升高36.4%。膝關節彈性環節阻尼放大100倍時，跳躍高度減少了39.6%，跳躍距離減少了38.8%，起跳時對地作用時長與初始阻尼條件下相近，對地峰值力降低了5.8%，落地沖擊有效峰值力降低42.5%。阻尼縮小100倍時，跳躍高度增加了6.9%，跳躍距離增加了6.9%，起跳時對地作用力曲線與初始阻尼條件下幾乎重合，落地沖擊有效峰值力升高15.3%。

圖8 膝關節彈性環節剛度和阻尼不同配置下仿生腿機構跳躍效果對比曲線Fig.8 The jump effect comparison curves of bionic leg mechanism under different configurations of stiffness and damping of elastic element of knee joint

由于輸入力矩大小及作用時長不變，其他參數不變，膝關節彈性環節剛度增大則無法達到腿機構最大行程，剛度減小則同樣行程內儲存能量減少，因此跳躍高度和距離均減少。一定范圍內，剛度越大起跳時對地作用力時間越短，對地峰值力越大。膝關節彈性環節阻尼越大，能量消耗越大，則跳躍高度和距離均減小，阻尼增大或減小對起跳時對地作用力無顯著效果。膝關節彈性環節剛度及阻尼的增大均能有效吸收腿機構落地沖擊。

從圖9可知，保持輸入力矩大小及作用時長不變，其他參數不變，趾關節彈性環節剛度放大100倍時，跳躍高度增加了11.7%，跳躍距離減少了44.6%，起跳時對地作用時長與初始剛度條件下相近，對地峰值力增大了1.7%，落地沖擊有效峰值力降低6.4%。剛度縮小100倍時，跳躍高度、距離、起跳時對地作用力曲線均與初始剛度條件下幾乎重合，落地沖擊有效峰值力升高7%。趾關節彈性環節阻尼放大100倍時，跳躍高度減少了1.6%，跳躍距離增加了0.8%，起跳時對地作用力曲線與初始阻尼條件下相近，落地沖擊有效峰值力降低16.8%。阻尼縮小100倍時，跳躍高度減少了0.4%，跳躍距離增加了0.9%，起跳時對地作用力曲線與初始阻尼條件下相近，落地沖擊有效峰值力升高10.7%。

圖9 趾關節彈性環節剛度和阻尼不同配置下仿生腿機構跳躍效果對比曲線Fig.9 The jump effect comparison curves of bionic leg mechanism under different configurations of stiffness and damping of elastic element of toe joint

在一定范圍內增大趾關節彈性環節剛度，能夠使仿生腿跳得更高更近，即一定程度改變其起跳角度，剛度減小則對仿生腿的跳躍效果無顯著改變，趾關節彈性環節阻尼放大或縮小，均會使跳躍高度小幅度下降和距離小幅度減小。

趾關節彈性環節阻尼和剛度的改變對起跳時對地作用力無顯著改變，增大剛度或阻尼同樣能有效吸收腿機構落地沖擊。

2.3 根據功率放大對跳躍效果的分析

根據前面對起跳中的輸入、輸出功率及功率放大因子的計算方法，由于改變各關節彈性環節剛度和阻尼對機構起跳時對地作用力均無顯著改變，對2.2.1節仿真的功率過程進行計算，如圖10所示。

圖10 各組輸出功率與輸入功率Fig.10 Output power and input power of each group

常識上，如果是純剛性系統，在忽略傳輸損耗和機構原件消耗的能量下，系統的輸入輸出功率應該同步且相等，這是我們推導剛性系統力學的基礎，比如虛功原理。但在圖11中，可以發現，該機構的幾種配置方案的輸入、輸出功率既不同步也不相等。共同的趨勢是，在起跳前，盡管有較大的輸入功率，但輸出功率非常小。在起跳時的較短時間內(約為0.2 s)，輸出功率達到一個非常大的峰值，輸入功率在此時雖然也有一個峰值，但遠小于輸出功率峰值。其中峰值時間和大小的差異變化過程說明，彈性元件可以在起跳前將電機的輸入功大量儲存為彈性勢能，在起跳時瞬間釋放，以獲得一個較大的起跳瞬時功率，形成時間上的能量調度和功率調制。鑒于在沒有彈性元件下這個系統很難跳起來，可見系統中彈性元件的存在形成的這種功率放大，對于機構的跳躍能力來說是關鍵因素。

計算各對照組的跳躍功率放大因子，如表3所示。由四組配置的功放因子可以看出，功率放大均在二倍以上。其中跳躍效果最好的DKT組的C值接近4倍。但在表中也發現跳躍效果不是最好的DT組的C值達到最大，為4.27倍。其中原因有待研究。但是，對照功率圖可以看出，盡管DT組的功率峰值較高，但其波形尖銳，包容面積較小。對其積分得到的做功值必然較小。這應可以解釋其C值雖然較大，但跳躍效果并非最好。

表3 峰值輸出、輸入功率及功率放大因子Table 3 Peak output, input power and power amplification factor

DK組的C值為2.95，D組為2.39，可見加入K后功放的放大提高較明顯。二者波形均比較光滑，變化均勻。比較DKT、DK和DT組波形，發現，DKT的波形基本上就是在DK波形的基礎上疊加上DT中較尖銳的那部分波形。波形包絡的主要面積還是DK的那部分波形。這也說明盡管增加T可以大幅提高峰值功率，但其在跳躍中的貢獻還是有限。以上分析對跳躍機構設計的啟發是，應該追求波形較為厚實的功率放大效果，而不是一味追求提高功放因子。

該機構設計中，盡管T配置對跳躍能力提高效果不彰，但在盡可能挖掘一切有助于跳躍提高的原則下，還是應該利用的。況且，在真實樣機設計中，為跳躍機構的站立穩定起見，需要考慮設計足趾，使具有一定的支持面積，這個具形的足趾必須采用柔性連接方式。這個問題可留在實際設計時考慮。

2.4 仿真運動過程與實貓實驗數據的比較

圖11所示為腿機構跳躍仿真過程中各關節轉角曲線，圖12為實驗模本所用貓單次跳躍過程中各關節轉角曲線，該過程大約與圖11中0.3～0.45 s時間段對應。其中，髖關節曲線均為最先攀升，膝關節和踝關節隨后攀升，踝關節轉角范圍均略大于膝關節，髖關節轉角范圍最小?？梢姺律葯C構跳躍運動過程與所用模本貓跳躍實驗實驗過程趨勢一致，二者在運動方式上具有一定相似性，對機構的研究可作為在貓生物機構跳躍研究中的鏡鑒。

圖11 仿生腿機構跳躍過程各關節轉角曲線Fig.11 The rotation curve of each joint during the jumping of bionic leg mechanism

圖12 貓跳躍實驗過程各關節轉角曲線Fig.12 The rotation curve of each joint during the jumping of the cat

3 結論

針對所設計的仿貓后肢跳躍機器人機構的跳躍能力進行了研究。

機構的構型和參數按照貓后腿的骨骼形式和測量參數設計。對其運動學模型進行了分析。在此基礎上對其跳躍能力進行了仿真實驗和分析，目的是研究柔性原件在機構中形成的剛柔耦合作用對機構跳躍能力的影響。

在ADAMS的運動仿真中，對在髖關節、膝關節和足趾部分布置的彈簧的不同配置方案對跳躍的影響進行了分析。得出彈性元件，在與機構的運動耦合中，通過蓄能作用，并在跳躍瞬間的釋放，形成高倍數的功率放大作用，形成非常高的瞬時輸出功率，從而與地面產生較大的接觸力，產生較高的加速度，實現較大的起跳瞬時速度，從而達到提高起跳效果的作用。對機構的功率輸入輸出曲線分析表明，在機構起跳前，盡管電機輸入大量的能量，但機構輸出功率很小，說明此階段輸入功率大部被彈性元件吸收為勢能。而在起跳階段，相對于功率輸入曲線，機構產生很高的瞬時輸出功率，和較大的功率曲線包絡面積，說明蓄能原件的做功是跳躍能量的主要部分。以上分析說明了由于柔性蓄能元件與剛性主體機構形成了剛柔耦合機制，在跳躍中形成了功率放大的效果，使機構獲得較好的跳躍能力。

比較不同的彈性原件配置效果發現，配置在髖關節和膝關節的彈性元件對跳躍能力提高作用明顯，而在足趾部分，盡管彈性元件可以產生很大的峰值功率，大幅提高功率放大因子，但是總的做功不多，對跳躍能力提高的貢獻較小。

文中同時對機構中各個關節的阻尼、剛度配置的不同對跳躍能力的影響進行了簡要的仿真和分析。

以機構跳躍中各關節角位移軌跡與貓跳實驗的數據作比較，發現二者有近似的過程趨勢，說明其機構運動特點相近，因此對其的研究也可在對貓的運動能力研究中作為參照。