談談切線的證明方法

梁新

【摘要】廣東省數學中考從2013年開始至今，連續7年中考命題的第24題都是圓的綜合知識的考查。在圓的綜合知識考查中，切線的證明是高頻考點，也是重點考點。因此，筆者對有關切線的證明方法進行了歸納，供大家參考。

【關鍵詞】圓;切線;證明方法

證明圓的切線，教材給出了切線的判定方法有以下三種：

1.定義法：和圓有且只有一個公共點的直線是圓的切線。

2.數量法：到圓心的距離d等于半徑r的直線是圓的切線，即d=r。

3.判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

在上面判定切線的三種方法中，常用的是后面兩種，而判定定理更是重中之重。分析判定定理，不難發現定理包含兩個條件：①經過半徑的外端;②垂直于這條半徑。因此，根據切線的判定定理，筆者將切線的證明分為兩種情況：（1）當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線，簡單說成“直線與圓有交點：連半徑，證垂直”;（2）當已知條件不確定直線與圓是否有交點時，常過圓心作直線的垂線段，證明該線段的長等于半徑，簡單說成“不確定直線與圓是否有交點：作垂直，證半徑”。

一、直線與圓有交點：連半徑，證垂直

直線過圓上某一點，證明直線是圓的切線時，只需“連半徑，證垂直，得切線”，“證垂直”時，常用的方法有：①利用圓中角的關系，借助角度轉換證垂直;②根據已有的垂直關系， 利用平行證垂直;③根據已知數據，運用“勾股定理逆定理”證垂直;④借助已有的直角三角形，利用三角形全等證垂直等。

（一）利用圓中角的關系，借助角度轉換證垂直

1.例題分析

例1、如圖，AB是☉O的弦，D為半徑OA上的一點，過點D作CD⊥OA交弦AB于點E，交☉O于點F，且CE=CB.求證：BC是☉O的切線。

分析：已知直線BC經過⊙O上的點B，因此，只需連接半徑OB，證明OB⊥BC即可。

證明：連接OB

∵OB=OA，CE=CB

∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC

又∵CD⊥OA

∴∠A+∠AED=90°

∴∠A+∠CEB=90°

∴∠OBA+∠ABC=90°

∴OB⊥BC

又∵OB為⊙O的半徑

∴BC是⊙O的切線

2.往屆中考試題解析

（2014年廣東省中考第24題）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC是直徑，過點O作OD⊥AB于點D，延長DO交⊙O于點P，過點P作PE⊥AC于點E，作射線DE交BC的延長線于F點，連接PF。

（1）若∠POC=60°，AC=12，求劣弧PC的長;（結果保留π）

（2）求證：OD=OE;

（3）求證：PF是⊙O的切線。

分析：（1）根據弧長計算公式進行計算即可;（2）證明△POE≌

△ADO可得DO=OE;（3）已知點P為⊙O的點，半徑OP已有，因此，只需證明OP⊥PF即可，本題可以利用角的關系，借助角度轉換證垂直。

【解答】（1）解：∵AC=12

∴CO=6

∴=2π

答：劣弧PC的長為2π。

（2）證明：∵PE⊥AC，OD⊥AB，

∠PEA=90°，∠ADO=90°

在△ADO和△PEO中

∴△POE≌△AOD（AAS）

∴OD=EO

（3）證明：如圖，連接AP，PC

∵OA=OP

∴∠OAP=∠OPA

由（2）得OD=EO

∴∠ODE=∠OED

又∵∠AOP=∠EOD

∴∠OPA=∠ODE

∴AP∥DF

∵AC是直徑

∴∠APC=90°

∴∠PQE=90°

∴PC⊥EF

又∵DP∥BF

∴∠ODE=∠EFC

∵∠OED=∠CEF

∴∠CEF=∠EFC

∴CE=CF

∴PC為EF的中垂線

∴∠EPQ=∠QPF

∵△CEP∽△CAP

∴∠EPQ=∠EAP

∴∠QPF=∠EAP

∴∠QPF=∠OPA

∵∠OPA+∠OPC=90°

∴∠QPF+∠OPC=90°

∴OP⊥PF

又∵OP為半徑

∴PF是⊙O的切線

（二）利用平行證垂直

1.例題分析

例2、如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的☉O與邊BC，AC分別交于D、E兩點，過點D作DF⊥AC，垂足為F，求證：DF是☉O的切線。

分析：已知☉O與邊BC交于D，可知點D在圓上，因此，只需連接半徑OD，證明OD⊥DF即可，又因為DF⊥AC，所以可以利用OD//AC來證明OD⊥DF。

證明：連接OD

∵OB=OD

∴∠ODB=∠B

又∵AB=AC

∴∠C=∠B

∴∠ODB=∠C

∴OD∥AC

∵DF⊥AC

∴∠DFC=90°

∴∠ODF=∠DFC=90°

∴OD⊥DF

又∵OD為⊙O的半徑