考慮動(dòng)態(tài)流體網(wǎng)格的顆粒-流體耦合算法

何金輝，李明廣，陳錦劍，夏小和

(上海交通大學(xué) 土木工程系， 上海 200240)

由于天然土具有散粒性及含水性，采用微觀流固耦合方法進(jìn)行巖土材料不排水特性分析已成為越來(lái)越多學(xué)者的選擇.目前，微觀耦合法主要有基于離散-連續(xù)耦合理論的管域法和粗網(wǎng)格法[1].管域法按照初始顆粒的分布劃分流體域，不同流體域通過(guò)管道進(jìn)行流體交換[2].該方法簡(jiǎn)單直觀，易于實(shí)現(xiàn)，近年來(lái)得到了廣泛應(yīng)用.Zhang等[3]采用管域法模擬了黃土中裂隙注漿及其發(fā)展過(guò)程，并同模型試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)最終都會(huì)形成“Y”形注漿裂縫.Zeng等[4]通過(guò)管域法研究了橫向各向同性巖體中水壓致裂的機(jī)理，并對(duì)注水速率、地應(yīng)力比和傾角等參數(shù)進(jìn)行了敏感性分析.Wang等[5]在管域法基礎(chǔ)上，根據(jù)流動(dòng)守恒原則重新建立了流體壓力更新準(zhǔn)則，并通過(guò)穩(wěn)態(tài)飽和介質(zhì)滲流驗(yàn)證了方法的可靠性.盡管管域法可簡(jiǎn)化耦合模擬過(guò)程并獲得較為準(zhǔn)確的結(jié)果，但流域結(jié)構(gòu)的分布只與顆粒初始位置有關(guān)，而不會(huì)根據(jù)顆粒位移進(jìn)行更新，因此僅適用于小變形的情形.

粗網(wǎng)格法對(duì)顆粒群劃分初始流體網(wǎng)格，通過(guò)求解N-S方程來(lái)更新流體信息并計(jì)算流體對(duì)顆粒的作用力[6].因計(jì)算方便，許多學(xué)者采用該方法研究宏觀現(xiàn)象機(jī)理，推動(dòng)了相關(guān)理論的發(fā)展.如Zeghal等[7]采用粗網(wǎng)格法研究了飽和無(wú)黏性沉積土在動(dòng)態(tài)激勵(lì)作用下的液化機(jī)理，揭示了若干沉積質(zhì)液化的微觀力學(xué)機(jī)理和響應(yīng)模式.Tao等[8]通過(guò)粗網(wǎng)格法對(duì)管涌的微觀力學(xué)機(jī)制進(jìn)行了研究，彌補(bǔ)了相關(guān)理論的空白.王學(xué)紅[6]通過(guò)粗網(wǎng)格法研究了振動(dòng)樁下沉的微觀力學(xué)機(jī)理及環(huán)境響應(yīng)規(guī)律，對(duì)完善相關(guān)理論、指導(dǎo)現(xiàn)場(chǎng)施工具有重要意義.粗網(wǎng)格法中的流體網(wǎng)格始終是固定的，不會(huì)隨顆粒群邊界的變化而移動(dòng)，因此在大變形案例模擬中具有一定局限性.

隨著微觀耦合方法應(yīng)用場(chǎng)景的擴(kuò)大化、復(fù)雜化，考慮大變形下流固邊界的匹配性具有重要的研究?jī)r(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義.目前，已有學(xué)者基于傳統(tǒng)耦合法進(jìn)行了改進(jìn)，考慮了流固邊界相適應(yīng)的因素，并進(jìn)行了驗(yàn)證.如Zhang等[9]通過(guò)把動(dòng)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的速度引入N-S方程，從而考慮動(dòng)邊界的影響；Zhang等[10]在研究潛蝕問(wèn)題時(shí)，根據(jù)大顆粒初始分布建立四面體流體網(wǎng)格，后續(xù)模擬過(guò)程中結(jié)合顆粒位置進(jìn)行網(wǎng)格重新劃分，從而實(shí)現(xiàn)流體網(wǎng)格的實(shí)時(shí)更新.當(dāng)前動(dòng)網(wǎng)格方法雖解決了部分應(yīng)用場(chǎng)景下流固邊界不匹配的問(wèn)題，但在推廣過(guò)程中仍存在一定局限性.比如，N-S方程迭代運(yùn)算效率低，方程因簡(jiǎn)化而未考慮部分項(xiàng)(比如流體-顆粒相互作用力)，四面體流體網(wǎng)格算法空間搜索耗時(shí)長(zhǎng)，應(yīng)用場(chǎng)景受限制(需大小顆粒共存).因此，亟需一種原理簡(jiǎn)單、易于實(shí)現(xiàn)、適用范圍廣的考慮動(dòng)邊界的微觀雙向耦合算法.

本文在離散元商業(yè)軟件PFC2D的基礎(chǔ)上，引入流體網(wǎng)格動(dòng)態(tài)更新方法，推導(dǎo)動(dòng)網(wǎng)格下的達(dá)西滲流方程和顆粒-流體相互作用方程，并通過(guò)Python語(yǔ)言和C語(yǔ)言混編的方法將算法嵌入軟件，開發(fā)了可考慮流體動(dòng)邊界的微觀耦合模塊.將該算法用于模擬飽和土不排水剪切雙軸試驗(yàn)，并通過(guò)和常體積法的結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了算法的有效性.該算法擴(kuò)大了微觀耦合法的適用范圍，在大變形算例的模擬中有助于提高仿真精度，同時(shí)通過(guò)技術(shù)優(yōu)化，在一定程度上解決了運(yùn)算效率低的問(wèn)題，因此對(duì)微觀尺度上的大變形流固耦合模擬具有一定的參考價(jià)值.

1 顆粒-流體耦合算法原理及程序 實(shí)現(xiàn)

1.1 顆粒場(chǎng)分析

在不考慮流場(chǎng)作用下，顆粒一般受到體力、阻尼力及粒間相互作用力的影響.本文考慮了流體相和顆粒相之間的雙向耦合，因此，顆粒還受到流體對(duì)其施加的作用力.在流場(chǎng)中，顆粒一般受到流體靜態(tài)作用力和流體動(dòng)態(tài)作用力的影響[11].本文采用該耦合算法模擬雙軸試驗(yàn)，因加載過(guò)程中流體和顆粒速度均較慢，因而可以忽略流體動(dòng)態(tài)力的影響.根據(jù)牛頓第二定律，顆粒受力情況可以表示為

(1)

(2)

1.2 流體場(chǎng)分析

從流體角度進(jìn)行分析時(shí)，主要考慮體積應(yīng)變引起孔壓增量和不同孔隙之間發(fā)生滲流作用兩個(gè)因素.每經(jīng)歷一個(gè)耦合間隔時(shí)，對(duì)流體網(wǎng)格位置及流體信息進(jìn)行更新，然后返回對(duì)顆粒的作用力矩陣.本文參考文獻(xiàn)[9]中的動(dòng)網(wǎng)格實(shí)現(xiàn)方法，對(duì)網(wǎng)格的速度和位置進(jìn)行更新，如下式：

(3)

(4)

對(duì)于更新之后的網(wǎng)格及此時(shí)的顆粒分布狀態(tài)，根據(jù)文獻(xiàn)[12]中孔隙結(jié)構(gòu)變化引起孔壓累積的原理方法進(jìn)行孔壓增量計(jì)算.首先對(duì)各個(gè)網(wǎng)格有：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

根據(jù)式(7)和(9)，預(yù)測(cè)相對(duì)速度vpre和實(shí)際相對(duì)速度vrel間的誤差δ可以表示為

(10)

(11)

(12)

Δp=Bfεv

(13)

式中：Bf為流體體積模量.在空間流體網(wǎng)格之間，由于流體壓力梯度的存在，會(huì)發(fā)生流體的滲流作用.為了避免繁重的計(jì)算任務(wù)，本文不考慮采用N-S方程進(jìn)行模擬，而是采用達(dá)西滲流定律進(jìn)行計(jì)算.如圖1所示，每個(gè)流體單元在壓差作用下，都會(huì)與周圍其他單元發(fā)生流體交換(I，J表示流體網(wǎng)格在二維空間內(nèi)的位置坐標(biāo)，取1，2，…).任意流體單元因壓力梯度而與相鄰單元發(fā)生流體交換(流入/流出)的速度可以表示為[13]

圖1 某網(wǎng)格與相鄰網(wǎng)格間滲流作用示意圖Fig.1 Schematic diagram of seepage action between a certain mesh and adjacent meshes

(14)

式中：g=1, 2表示二維空間某方向；h=1, 2表示g方向坐標(biāo)軸的負(fù)向或正向；vgh為某網(wǎng)格g方向上h側(cè)的邊界滲流速度；K和Kh分別為該網(wǎng)格和g方向h側(cè)相鄰網(wǎng)格的滲透系數(shù)；p和ph分別為上述相鄰兩網(wǎng)格的孔隙水壓力；Ug和Ugh分別為相鄰兩網(wǎng)格中心位置g方向上的坐標(biāo)分量；γw為流體的容重.

因?yàn)榫W(wǎng)格是時(shí)刻變化的，所以需要根據(jù)網(wǎng)格的速度對(duì)流體交換速度進(jìn)行修正，獲得真實(shí)的滲流流速.結(jié)合式(3)，(14)，可得邊界修正滲流速度為

(15)

(16)

(17)

式中：Vcell為網(wǎng)格容積.由上可得新的孔隙水壓力pnew為

(18)

式中：pold為該流體網(wǎng)格上一時(shí)刻的總孔壓.

1.3 兩相耦合場(chǎng)分析

如1.1節(jié)所述，本文只考慮流體對(duì)顆粒的靜態(tài)作用力.如圖2所示，當(dāng)顆粒完全浸入網(wǎng)格時(shí)，顆粒處于平衡狀態(tài)；而當(dāng)顆粒處于邊界位置時(shí)，顆粒處于不平衡狀態(tài)，將受到流體對(duì)其的作用力.由此可知，流體網(wǎng)格內(nèi)某不平衡狀態(tài)顆粒所受的靜態(tài)作用力為[14]

圖2 流體網(wǎng)格中顆粒位置及受力情況示意圖Fig.2 Schematic diagram of positions of particles and their stress states in a fluid mesh

fstatic=pnewAcrn

(19)

式中：Acr為流體網(wǎng)格內(nèi)流場(chǎng)對(duì)不平衡狀態(tài)顆粒的等效作用面積；n為顆粒所受流體作用力方向上的單位向量.

1.4 顆粒-流體耦合算法程序?qū)崿F(xiàn)

該耦合算法的實(shí)現(xiàn)思路為：① 進(jìn)行力學(xué)計(jì)算，在未達(dá)到程序終止條件的前提下，當(dāng)該力學(xué)進(jìn)程時(shí)間Δtcur等于設(shè)定的耦合間隔時(shí)間Δt時(shí)，根據(jù)顆粒邊界的速度和位移，對(duì)網(wǎng)格位置及節(jié)點(diǎn)速度進(jìn)行更新.② 在更新后的流體網(wǎng)格下，求解因顆粒運(yùn)動(dòng)引起的體積應(yīng)變，并更新孔隙水壓力.③ 根據(jù)動(dòng)網(wǎng)格下的修正達(dá)西滲流方程對(duì)流場(chǎng)進(jìn)行更新.④ 判斷流場(chǎng)內(nèi)的顆粒浸潤(rùn)狀態(tài)，計(jì)算流體對(duì)顆粒的作用力，并以外力形式施加于各個(gè)顆粒，然后進(jìn)入下一個(gè)循環(huán).具體流程如圖3所示.

圖3 耦合流程示意圖Fig.3 Schematic diagram of coupling process

2 顆粒-流體耦合算法驗(yàn)證

2.1 試樣制備

首先在寬度為10 cm、高度為20 cm的容器內(nèi)，按照初始孔隙率0.16生成試樣，生成的顆粒數(shù)目為 1 004.試樣的顆粒級(jí)配曲線示意圖如圖4所示.圖中：dp為顆粒直徑，w為試樣中直徑小于某數(shù)值的顆粒所占的質(zhì)量分?jǐn)?shù).采用線性接觸本構(gòu)模擬密實(shí)粒狀土不排水剪切特性，本構(gòu)微觀參數(shù)取值如表1所示.

表1 顆粒參數(shù)Tab.1 Particle parameters

圖4 顆粒級(jí)配曲線圖Fig.4 Diagram of grain size distribution

試樣生成后，對(duì)材料施加100 kPa的有效應(yīng)力，從而實(shí)現(xiàn)試樣的等向固結(jié).之后，保持100 kPa的圍壓，在耦合條件下進(jìn)行不排水雙軸試驗(yàn)，其中流體模量為2.0 GPa，密度為 1 000 kg/m3.雙軸試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪疽鈭D如圖5所示，加載過(guò)程中對(duì)上下剛性墻體施加5 mm/s的軸向加載速度，同時(shí)通過(guò)伺服機(jī)制保持側(cè)向圍壓恒定，記錄加載過(guò)程中偏應(yīng)力、超孔隙水壓力及軸向應(yīng)變等用于后續(xù)的對(duì)比和分析.

圖5 雙軸試驗(yàn)?zāi)Ｐ褪疽鈭DFig.5 Schematic diagram of biaxial test model

2.2 常體積法原理

雖然常體積法不能考慮土水之間相互作用機(jī)制，但因其計(jì)算效率高、模擬結(jié)果基本能反映不排水剪切規(guī)律，常被用于耦合算法的驗(yàn)證.

當(dāng)采用常體積法時(shí)，通過(guò)控制試樣體積不變來(lái)模擬材料的不排水行為[15].因此，當(dāng)軸向加載速度為va時(shí)，計(jì)算得到的徑向速度vr應(yīng)保證試樣在任意時(shí)間間隔Δτ內(nèi)體積保持不變，即體積應(yīng)變?chǔ)舦為0，具體為

(20)

式中：Wx，Wy分別為容器x，y方向的長(zhǎng)度.由式(20)可以得出：

(21)

2.3 結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證

圖6所示為常體積法和耦合法的超孔隙水壓力對(duì)比圖，圖中：εa為軸向應(yīng)變，pexc為側(cè)墻附近產(chǎn)生的超孔隙水壓力.可以看出，兩種方法下的孔壓規(guī)律較為一致，數(shù)值比較接近.初始時(shí)刻均生成正孔壓，然后試樣發(fā)生體積剪脹，孔壓逐漸消散，變?yōu)樨?fù)孔壓.該趨勢(shì)與較密實(shí)砂土的不排水剪切行為一致.

圖6 耦合法和常體積法下的超孔隙水壓力對(duì)比Fig.6 Comparisons of excess pore water pressure in coupling method and constant volume method

圖7所示為兩種方法下的偏應(yīng)力曲線，圖中q為偏應(yīng)力.由圖可得，軸向應(yīng)變?yōu)?%以內(nèi)時(shí)，兩種方法下的偏應(yīng)力數(shù)值基本沒(méi)有差別.繼續(xù)加載，軸向應(yīng)變超過(guò)4%時(shí)，二者數(shù)據(jù)雖有差異但偏差不大，均表現(xiàn)為隨著加載過(guò)程而偏應(yīng)力不斷增大的趨勢(shì)，同時(shí)軸向應(yīng)變?cè)?0%附近，兩者趨于相近.

圖7 耦合法和常體積法下的偏應(yīng)力結(jié)果對(duì)比Fig.7 Comparisons of deviatoric stress results in coupling method and constant volume method

事實(shí)上，常體積法理論中流體是不可壓縮的，也未考慮土水的相互作用，通過(guò)間接方式考慮流體信息的計(jì)算和更新，這種簡(jiǎn)化使得其模擬結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)不能高度吻合，但其結(jié)果顯示的規(guī)律性同實(shí)驗(yàn)較為一致.從圖6、7可以看出，本文提出的微觀耦合法同常體積法數(shù)值比較接近，模擬規(guī)律一致，都體現(xiàn)出密實(shí)砂土在不排水剪切時(shí)的“硬化”趨勢(shì).同時(shí)該耦合法結(jié)合了流固耦合及動(dòng)網(wǎng)格技術(shù)，模擬過(guò)程更為貼合實(shí)際，因此可為類似研究提供參考.

3 不同圍壓影響下的雙軸試驗(yàn)結(jié)果 分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證方法的有效性，采用耦合法模擬了圍壓分別為100，200，300 kPa時(shí)的飽和土不排水剪切雙軸試驗(yàn)，并對(duì)偏應(yīng)力、孔隙水壓力及有效應(yīng)力比的變化情況進(jìn)行了對(duì)比分析.

圖8所示為不同圍壓下的偏應(yīng)力變化情況.從圖8可以看出，當(dāng)圍壓增大時(shí)，相同應(yīng)變時(shí)偏應(yīng)力更大.原因?yàn)榇蟮膰鷫簩?duì)土體的側(cè)向膨脹限制作用更加明顯，顆粒間的摩擦力更大，表現(xiàn)為土體模量較大，因此剪切強(qiáng)度也就越大.

圖8 不同圍壓下偏應(yīng)力結(jié)果對(duì)比Fig.8 Comparison of deviatoric stress results at different confining pressures

圖9所示為不同圍壓下的超孔壓發(fā)展情況.可以看出，不同圍壓下試樣的超孔壓變化趨勢(shì)均為先升高后下降，表明3組試樣在應(yīng)變較小時(shí)孔隙受到壓縮，產(chǎn)生正的孔隙水壓力，隨著加載的進(jìn)行，試樣發(fā)生了剪脹，孔壓逐漸降低，出現(xiàn)負(fù)值.對(duì)比3組試樣的孔壓曲線可知，當(dāng)圍壓增大時(shí)，正孔壓幅值增大，峰值點(diǎn)延后，負(fù)孔壓值較小.因?yàn)殡S著圍壓的增大，側(cè)墻對(duì)試樣剪脹的抑制作用更明顯，所以試樣受壓縮程度較高，因而正孔壓的累積作用也就較強(qiáng).

圖9 不同圍壓下的超孔隙水壓力結(jié)果對(duì)比Fig.9 Comparisons of excess pore water pressure results at different confining pressures

圖10所示為不同圍壓下有效應(yīng)力比η′的變化趨勢(shì)圖.三者有效應(yīng)力比峰值均出現(xiàn)在軸向應(yīng)變?yōu)?%左右，之后應(yīng)力比逐漸降低.在1%附近時(shí)，100，200及300 kPa圍壓(后文默認(rèn)為此順序)對(duì)應(yīng)的有效摩擦角分別為31.9°，31.3°及30.3°.3組試樣在軸向應(yīng)變9%附近的摩擦角差別相對(duì)較大，分別對(duì)應(yīng)為18.0°，23.1°，22.3°.由圖8可以看到，100 kPa圍壓的試樣在軸向應(yīng)變8%～9%時(shí)偏應(yīng)力有一個(gè)突變，此時(shí)可能為該試樣局部力鏈發(fā)生斷裂，顆粒隨機(jī)重新分布.而在加載終止時(shí)，三者的有效應(yīng)力比趨于一致，其對(duì)應(yīng)的摩擦角分別為20.3°，22.0° 及21.4°.綜上，圍壓變化對(duì)摩擦角影響不大，這與文獻(xiàn)[13]的研究結(jié)論一致.

圖10 不同圍壓下有效應(yīng)力比結(jié)果對(duì)比Fig.10 Comparisons of effective stress ratio results at different confining pressures

4 結(jié)論

本文研究了一種考慮動(dòng)態(tài)流體網(wǎng)格的顆粒-流體耦合算法，將算法嵌入離散元商業(yè)軟件PFC2D中，在大變形微觀耦合算例模擬中可提高仿真精度.將該算法用于模擬飽和土不排水剪切雙軸試驗(yàn)，并通過(guò)和常體積法的結(jié)果對(duì)比驗(yàn)證了算法的有效性.最后，采用該算法研究了不同圍壓影響下粒狀土雙軸剪切特性，模擬規(guī)律與室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果較為吻合.主要結(jié)論如下：

(1) 在引入流體網(wǎng)格動(dòng)態(tài)更新方法的前提下，改進(jìn)并推導(dǎo)動(dòng)網(wǎng)格下的達(dá)西滲流方程和顆粒-流體相互作用方程，在離散元商業(yè)軟件PFC2D基礎(chǔ)上開發(fā)了考慮動(dòng)態(tài)流體網(wǎng)格的顆粒-流體耦合模塊.該算法原理簡(jiǎn)單，易于實(shí)現(xiàn)，彌補(bǔ)了傳統(tǒng)微觀耦合方法的不足，為大變形微觀耦合模擬提供了參考，但在流場(chǎng)可視化、算法效率等方面仍需進(jìn)一步的改進(jìn)和研究；

(2) 將算法用于模擬飽和土不排水剪切雙軸試驗(yàn)，并通過(guò)和常體積法的結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證了算法的有效性.結(jié)果顯示，兩種方法模擬得到的偏應(yīng)力曲線和孔壓曲線規(guī)律一致，數(shù)值較為接近.