考慮動態流體網格的顆粒-流體耦合算法

何金輝，李明廣，陳錦劍，夏小和

(上海交通大學 土木工程系， 上海 200240)

由于天然土具有散粒性及含水性，采用微觀流固耦合方法進行巖土材料不排水特性分析已成為越來越多學者的選擇.目前，微觀耦合法主要有基于離散-連續耦合理論的管域法和粗網格法[1].管域法按照初始顆粒的分布劃分流體域，不同流體域通過管道進行流體交換[2].該方法簡單直觀，易于實現，近年來得到了廣泛應用.Zhang等[3]采用管域法模擬了黃土中裂隙注漿及其發展過程，并同模型試驗結果進行了對比分析，發現最終都會形成“Y”形注漿裂縫.Zeng等[4]通過管域法研究了橫向各向同性巖體中水壓致裂的機理，并對注水速率、地應力比和傾角等參數進行了敏感性分析.Wang等[5]在管域法基礎上，根據流動守恒原則重新建立了流體壓力更新準則，并通過穩態飽和介質滲流驗證了方法的可靠性.盡管管域法可簡化耦合模擬過程并獲得較為準確的結果，但流域結構的分布只與顆粒初始位置有關，而不會根據顆粒位移進行更新，因此僅適用于小變形的情形.

粗網格法對顆粒群劃分初始流體網格，通過求解N-S方程來更新流體信息并計算流體對顆粒的作用力[6].因計算方便，許多學者采用該方法研究宏觀現象機理，推動了相關理論的發展.如Zeghal等[7]采用粗網格法研究了飽和無黏性沉積土在動態激勵作用下的液化機理，揭示了若干沉積質液化的微觀力學機理和響應模式.Tao等[8]通過粗網格法對管涌的微觀力學機制進行了研究，彌補了相關理論的空白.王學紅[6]通過粗網格法研究了振動樁下沉的微觀力學機理及環境響應規律，對完善相關理論、指導現場施工具有重要意義.粗網格法中的流體網格始終是固定的，不會隨顆粒群邊界的變化而移動，因此在大變形案例模擬中具有一定局限性.

隨著微觀耦合方法應用場景的擴大化、復雜化，考慮大變形下流固邊界的匹配性具有重要的研究價值和現實意義.目前，已有學者基于傳統耦合法進行了改進，考慮了流固邊界相適應的因素，并進行了驗證.如Zhang等[9]通過把動網格節點的速度引入N-S方程，從而考慮動邊界的影響；Zhang等[10]在研究潛蝕問題時，根據大顆粒初始分布建立四面體流體網格，后續模擬過程中結合顆粒位置進行網格重新劃分，從而實現流體網格的實時更新.當前動網格方法雖解決了部分應用場景下流固邊界不匹配的問題，但在推廣過程中仍存在一定局限性.比如，N-S方程迭代運算效率低，方程因簡化而未考慮部分項(比如流體-顆粒相互作用力)，四面體流體網格算法空間搜索耗時長，應用場景受限制(需大小顆粒共存).因此，亟需一種原理簡單、易于實現、適用范圍廣的考慮動邊界的微觀雙向耦合算法.

本文在離散元商業軟件PFC2D的基礎上，引入流體網格動態更新方法，推導動網格下的達西滲流方程和顆粒-流體相互作用方程，并通過Python語言和C語言混編的方法將算法嵌入軟件，開發了可考慮流體動邊界的微觀耦合模塊.將該算法用于模擬飽和土不排水剪切雙軸試驗，并通過和常體積法的結果對比驗證了算法的有效性.該算法擴大了微觀耦合法的適用范圍，在大變形算例的模擬中有助于提高仿真精度，同時通過技術優化，在一定程度上解決了運算效率低的問題，因此對微觀尺度上的大變形流固耦合模擬具有一定的參考價值.

1 顆粒-流體耦合算法原理及程序 實現

1.1 顆粒場分析

在不考慮流場作用下，顆粒一般受到體力、阻尼力及粒間相互作用力的影響.本文考慮了流體相和顆粒相之間的雙向耦合，因此，顆粒還受到流體對其施加的作用力.在流場中，顆粒一般受到流體靜態作用力和流體動態作用力的影響[11].本文采用該耦合算法模擬雙軸試驗，因加載過程中流體和顆粒速度均較慢，因而可以忽略流體動態力的影響.根據牛頓第二定律，顆粒受力情況可以表示為

(1)

(2)

1.2 流體場分析

從流體角度進行分析時，主要考慮體積應變引起孔壓增量和不同孔隙之間發生滲流作用兩個因素.每經歷一個耦合間隔時，對流體網格位置及流體信息進行更新，然后返回對顆粒的作用力矩陣.本文參考文獻[9]中的動網格實現方法，對網格的速度和位置進行更新，如下式：

(3)

(4)

對于更新之后的網格及此時的顆粒分布狀態，根據文獻[12]中孔隙結構變化引起孔壓累積的原理方法進行孔壓增量計算.首先對各個網格有：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

根據式(7)和(9)，預測相對速度vpre和實際相對速度vrel間的誤差δ可以表示為

(10)

(11)

(12)

Δp=Bfεv

(13)

式中：Bf為流體體積模量.在空間流體網格之間，由于流體壓力梯度的存在，會發生流體的滲流作用.為了避免繁重的計算任務，本文不考慮采用N-S方程進行模擬，而是采用達西滲流定律進行計算.如圖1所示，每個流體單元在壓差作用下，都會與周圍其他單元發生流體交換(I，J表示流體網格在二維空間內的位置坐標，取1，2，…).任意流體單元因壓力梯度而與相鄰單元發生流體交換(流入/流出)的速度可以表示為[13]

圖1 某網格與相鄰網格間滲流作用示意圖Fig.1 Schematic diagram of seepage action between a certain mesh and adjacent meshes

(14)

式中：g=1, 2表示二維空間某方向；h=1, 2表示g方向坐標軸的負向或正向；vgh為某網格g方向上h側的邊界滲流速度；K和Kh分別為該網格和g方向h側相鄰網格的滲透系數；p和ph分別為上述相鄰兩網格的孔隙水壓力；Ug和Ugh分別為相鄰兩網格中心位置g方向上的坐標分量；γw為流體的容重.

因為網格是時刻變化的，所以需要根據網格的速度對流體交換速度進行修正，獲得真實的滲流流速.結合式(3)，(14)，可得邊界修正滲流速度為

(15)

(16)

(17)

式中：Vcell為網格容積.由上可得新的孔隙水壓力pnew為

(18)

式中：pold為該流體網格上一時刻的總孔壓.

1.3 兩相耦合場分析

如1.1節所述，本文只考慮流體對顆粒的靜態作用力.如圖2所示，當顆粒完全浸入網格時，顆粒處于平衡狀態；而當顆粒處于邊界位置時，顆粒處于不平衡狀態，將受到流體對其的作用力.由此可知，流體網格內某不平衡狀態顆粒所受的靜態作用力為[14]

圖2 流體網格中顆粒位置及受力情況示意圖Fig.2 Schematic diagram of positions of particles and their stress states in a fluid mesh

fstatic=pnewAcrn

(19)

式中：Acr為流體網格內流場對不平衡狀態顆粒的等效作用面積；n為顆粒所受流體作用力方向上的單位向量.

1.4 顆粒-流體耦合算法程序實現

該耦合算法的實現思路為：① 進行力學計算，在未達到程序終止條件的前提下，當該力學進程時間Δtcur等于設定的耦合間隔時間Δt時，根據顆粒邊界的速度和位移，對網格位置及節點速度進行更新.② 在更新后的流體網格下，求解因顆粒運動引起的體積應變，并更新孔隙水壓力.③ 根據動網格下的修正達西滲流方程對流場進行更新.④ 判斷流場內的顆粒浸潤狀態，計算流體對顆粒的作用力，并以外力形式施加于各個顆粒，然后進入下一個循環.具體流程如圖3所示.

圖3 耦合流程示意圖Fig.3 Schematic diagram of coupling process

2 顆粒-流體耦合算法驗證

2.1 試樣制備

首先在寬度為10 cm、高度為20 cm的容器內，按照初始孔隙率0.16生成試樣，生成的顆粒數目為 1 004.試樣的顆粒級配曲線示意圖如圖4所示.圖中：dp為顆粒直徑，w為試樣中直徑小于某數值的顆粒所占的質量分數.采用線性接觸本構模擬密實粒狀土不排水剪切特性，本構微觀參數取值如表1所示.

表1 顆粒參數Tab.1 Particle parameters

圖4 顆粒級配曲線圖Fig.4 Diagram of grain size distribution

試樣生成后，對材料施加100 kPa的有效應力，從而實現試樣的等向固結.之后，保持100 kPa的圍壓，在耦合條件下進行不排水雙軸試驗，其中流體模量為2.0 GPa，密度為 1 000 kg/m3.雙軸試驗模型示意圖如圖5所示，加載過程中對上下剛性墻體施加5 mm/s的軸向加載速度，同時通過伺服機制保持側向圍壓恒定，記錄加載過程中偏應力、超孔隙水壓力及軸向應變等用于后續的對比和分析.

圖5 雙軸試驗模型示意圖Fig.5 Schematic diagram of biaxial test model

2.2 常體積法原理

雖然常體積法不能考慮土水之間相互作用機制，但因其計算效率高、模擬結果基本能反映不排水剪切規律，常被用于耦合算法的驗證.

當采用常體積法時，通過控制試樣體積不變來模擬材料的不排水行為[15].因此，當軸向加載速度為va時，計算得到的徑向速度vr應保證試樣在任意時間間隔Δτ內體積保持不變，即體積應變εv為0，具體為

(20)

式中：Wx，Wy分別為容器x，y方向的長度.由式(20)可以得出：

(21)

2.3 結果對比驗證

圖6所示為常體積法和耦合法的超孔隙水壓力對比圖，圖中：εa為軸向應變，pexc為側墻附近產生的超孔隙水壓力.可以看出，兩種方法下的孔壓規律較為一致，數值比較接近.初始時刻均生成正孔壓，然后試樣發生體積剪脹，孔壓逐漸消散，變為負孔壓.該趨勢與較密實砂土的不排水剪切行為一致.

圖6 耦合法和常體積法下的超孔隙水壓力對比Fig.6 Comparisons of excess pore water pressure in coupling method and constant volume method

圖7所示為兩種方法下的偏應力曲線，圖中q為偏應力.由圖可得，軸向應變為4%以內時，兩種方法下的偏應力數值基本沒有差別.繼續加載，軸向應變超過4%時，二者數據雖有差異但偏差不大，均表現為隨著加載過程而偏應力不斷增大的趨勢，同時軸向應變在10%附近，兩者趨于相近.

圖7 耦合法和常體積法下的偏應力結果對比Fig.7 Comparisons of deviatoric stress results in coupling method and constant volume method

事實上，常體積法理論中流體是不可壓縮的，也未考慮土水的相互作用，通過間接方式考慮流體信息的計算和更新，這種簡化使得其模擬結果與實驗數據不能高度吻合，但其結果顯示的規律性同實驗較為一致.從圖6、7可以看出，本文提出的微觀耦合法同常體積法數值比較接近，模擬規律一致，都體現出密實砂土在不排水剪切時的“硬化”趨勢.同時該耦合法結合了流固耦合及動網格技術，模擬過程更為貼合實際，因此可為類似研究提供參考.

3 不同圍壓影響下的雙軸試驗結果 分析

為了進一步驗證方法的有效性，采用耦合法模擬了圍壓分別為100，200，300 kPa時的飽和土不排水剪切雙軸試驗，并對偏應力、孔隙水壓力及有效應力比的變化情況進行了對比分析.

圖8所示為不同圍壓下的偏應力變化情況.從圖8可以看出，當圍壓增大時，相同應變時偏應力更大.原因為大的圍壓對土體的側向膨脹限制作用更加明顯，顆粒間的摩擦力更大，表現為土體模量較大，因此剪切強度也就越大.

圖8 不同圍壓下偏應力結果對比Fig.8 Comparison of deviatoric stress results at different confining pressures

圖9所示為不同圍壓下的超孔壓發展情況.可以看出，不同圍壓下試樣的超孔壓變化趨勢均為先升高后下降，表明3組試樣在應變較小時孔隙受到壓縮，產生正的孔隙水壓力，隨著加載的進行，試樣發生了剪脹，孔壓逐漸降低，出現負值.對比3組試樣的孔壓曲線可知，當圍壓增大時，正孔壓幅值增大，峰值點延后，負孔壓值較小.因為隨著圍壓的增大，側墻對試樣剪脹的抑制作用更明顯，所以試樣受壓縮程度較高，因而正孔壓的累積作用也就較強.

圖9 不同圍壓下的超孔隙水壓力結果對比Fig.9 Comparisons of excess pore water pressure results at different confining pressures

圖10所示為不同圍壓下有效應力比η′的變化趨勢圖.三者有效應力比峰值均出現在軸向應變為1%左右，之后應力比逐漸降低.在1%附近時，100，200及300 kPa圍壓(后文默認為此順序)對應的有效摩擦角分別為31.9°，31.3°及30.3°.3組試樣在軸向應變9%附近的摩擦角差別相對較大，分別對應為18.0°，23.1°，22.3°.由圖8可以看到，100 kPa圍壓的試樣在軸向應變8%～9%時偏應力有一個突變，此時可能為該試樣局部力鏈發生斷裂，顆粒隨機重新分布.而在加載終止時，三者的有效應力比趨于一致，其對應的摩擦角分別為20.3°，22.0° 及21.4°.綜上，圍壓變化對摩擦角影響不大，這與文獻[13]的研究結論一致.

圖10 不同圍壓下有效應力比結果對比Fig.10 Comparisons of effective stress ratio results at different confining pressures

4 結論

本文研究了一種考慮動態流體網格的顆粒-流體耦合算法，將算法嵌入離散元商業軟件PFC2D中，在大變形微觀耦合算例模擬中可提高仿真精度.將該算法用于模擬飽和土不排水剪切雙軸試驗，并通過和常體積法的結果對比驗證了算法的有效性.最后，采用該算法研究了不同圍壓影響下粒狀土雙軸剪切特性，模擬規律與室內試驗結果較為吻合.主要結論如下：

(1) 在引入流體網格動態更新方法的前提下，改進并推導動網格下的達西滲流方程和顆粒-流體相互作用方程，在離散元商業軟件PFC2D基礎上開發了考慮動態流體網格的顆粒-流體耦合模塊.該算法原理簡單，易于實現，彌補了傳統微觀耦合方法的不足，為大變形微觀耦合模擬提供了參考，但在流場可視化、算法效率等方面仍需進一步的改進和研究；

(2) 將算法用于模擬飽和土不排水剪切雙軸試驗，并通過和常體積法的結果對比，驗證了算法的有效性.結果顯示，兩種方法模擬得到的偏應力曲線和孔壓曲線規律一致，數值較為接近.