基于非局部Biot理論的平面波作用下飽和地基動力響應

王 寧，丁海濱，童立紅，蔣亞龍

(1. 華東交通大學 江西省巖土工程基礎設施安全與控制重點實驗室，南昌 330013； 2. 江西省地下空間技術開發工程中心，南昌 330013)

關于彈性波傳播至兩種介質交界面的反射及折射問題，國內外學者已經做了充分的研究[1-3].但以往對于飽和土中彈性波傳播問題的研究基本都是基于經典Biot理論[4].然而，Biot理論的建立是基于波長遠大于飽和土中的孔隙尺寸的假設，但理論[5-8]及試驗[9-10]研究均表明，在高頻下，波長遠大于孔隙尺寸的假設已不再成立，此時，孔隙材料的孔隙尺寸對波傳播特性具有顯著的影響.此外，波的傳播會引起土顆粒的運動，由此會導致土顆粒產生慣性力(孔隙動應力)，顯然此慣性力隨入射頻率的增加而增大，而Biot理論假定孔隙尺寸為常數.因此，其理論中未考慮孔隙尺寸及孔隙動應力對波傳播特性的影響.

為解決上述問題，Chakraborty等[11]結合經典非局部彈性理論[12]和Biot理論[4]預測了飽和多孔材料中波的傳播特性，但其由于考慮了流體的非局部效應，對Biot理論進行過修正，而使其預測結果與實驗結果產生一定的偏差.Tong等[13]摒棄了流體部分非局部效應，提出了僅考慮土骨架非局部效應的非局部-Biot理論模型，分析了飽和土中波速的傳播及其衰減規律，其結果與Bouzidi等[9]的試驗結果吻合得很好，以此說明了所提出模型的合理性.隨后，徐長節等[14]、Xu等[15]及Ding等[16]基于非局部-Biot理論研究了飽和土中深埋、淺埋圓形襯砌及淺埋復合式襯砌對入射P波的散射問題.結果表明，高頻下孔隙尺寸對襯砌動應力影響顯著，而低頻情況下，非局部-Biot理論解與經典Biot理論解基本一致.Tong等[17]利用非局部-Biot理論，分析了非局部參數對飽和土中Rayleigh波的傳播特性的影響，結果仍表明高頻下孔隙尺寸對波傳播特性的影響不可忽略.由以上分析可知，高頻下，飽和土中孔隙尺寸及孔隙動應力會對波的傳播特性產生較大的影響，為此，研究孔隙尺寸在平面波作用下對地表動力響應的影響顯得尤為重要.

本文基于非局部-Biot理論，構建了P波及SV波入射下，飽和土地基地表響應計算模型，采用波函數展開法，得出了地表位移及水平應力的解析解，通過算例分析研究了非局部參數、入射波頻率及入射角對地表位移及應力響應影響的變化規律.

1 計算模型

假設平面P1(SV)波以入射角為θα(θβ)經飽和土半空間傳播至地表，如圖1所示.飽和土地基為典型的兩相介質，因此，入射波經地表反射將產生P1、P2及SV波.

圖1 計算模型Fig.1 Calculation model

P1波入射時：

(1)

SV波入射時：

(2)

式（1）中，fsr為轉發器接收信號頻率，fst表示衛星天線發射頻率，即衛星下行頻率，fs為衛星轉發器本振頻率。

2 非局部-Biot理論控制方程

飽和土中總波場由入射波場和散射波場構成，本文考慮入射波場分別為P波和SV波情況.

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本構方程：

(3)

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運動方程：

(4)

SV波入射：

(5)

3 波場的求解

3.1 飽和土中散射波場的求解

β9=-ρfτ2ω2

(6)

將式(6)帶入式(4)，并消去φf和Ψf，可得：

式中：ξ1、ξ2及ξ3為流體部分勢函數與土骨架部分勢函數的比值，其表達式為

(7)

實際工程中人們所關心的問題是地表的位移及應力變化，地表位移可采用式(15)中第1式計算，所得出的位移為與入射波幅值的比值(本文取入射波幅值為φ0=1)，因此后續分析中的位移為無量綱位移，針對P波和SV波入射分別采用ka1和kβ對其位移進行無量綱化.地表應力采用無量綱應力，即

參數關系為

β1=(λ+α2M+2μ-ρω2τ2)

β2=αM-ρfω2τ2

煨姜 煨姜為生姜經煨制的品名，生姜經煨制后辛溫不燥，辛散藥力不及生姜，溫中止嘔功效又較生姜好，適用于腹痛嘔吐、大便泄瀉等癥。

β3=-ρω2,β4=-ρfω2

β5=αM,β6=M

β8=μ-ρτ2ω2

為求解式(4)，引入土骨架標量和矢量勢函數φs和Ψs，及流體部分標量及矢量勢函數φf和Ψf，根據Helmholtz分解定理，飽和土中位移場可表示為

其中：ω為圓角頻率.

目前的技術水平已經可實現不受控制的核聚變，如氫彈等核武器早已登上歷史舞臺。但如要使核聚變釋放出的巨大能量可有效為人類所利用，則必須對其進行人為控制，即受控核聚變。

由式(7)可知，飽和多孔介質中存在兩種P波，土骨架部分的P波勢函數可表示為

φs=φs1+φs2

(8)

同理，由式(4)和(6)可得流體部分P波和SV波勢函數為

(9)

（三）在學習“健康的生活”一章內容時，教材中提到“拒絕毒品、遠離毒品”。青少年時期是一個“出生牛犢不怕虎”的時期，對什么都感到好奇，對什么都想試一試，再加上對毒品的危害認識不清，致使受害人數較多。青少年時期正是迅速生長發育的時期，若吸毒危害比成年人更為嚴重，所以我們要在青少年中開展禁毒教育，使之充分認識毒品的危害，自覺抵制毒品、遠離毒品。在每年的6月26日，制作相關內容的展板，宣傳相關的禁毒知識，并開展講座，以具體事例教育學生，真正從思想上樹立高度警惕意識。

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ξ3=-β4/β7

1）對一些已經廢棄但是確實可以體現城市歷史文化特色的街道名稱進行調研，必要時予以恢復。濰坊市2018年發布的《關于道路命名征求意見的公告》中將原來已經廢棄的“狀元胡同”重新啟用，改為“狀元街”。

3.2 飽和土中總波場

根據文獻[13]可知，飽和孔隙彈性介質的非局部-Biot理論的運動方程為

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入射波為P波時：

(10)

入射波為SV波時：

(11)

此處需要說明的是，入射波為SV波時，由于P1波波速通常大于SV波波速，當SV波的入射角達到臨界角θcr1時，P1波的反射角將大于90°，此時，P1波表現出隨深度增加，其幅值呈指數減小的非均勻波.與此同時，在軟黏土介質中，P2波波速也有可能大于SV波波速，此時將存在第二個臨界角θcr2.由波的反射關系，可得兩個臨界角為

(12)

為便于分析，將式(2)表示為

(13)

式中：K1、K2及K3為反射波待定系數，

k=kβsinθβ=kα1sinθα1=kα2sinθα2

為提高公路瀝青路面運行使用的整體性與安全性，路面表面的施工應進行防水施工處理，以降低雨水環境對其結構穩定性帶來的負面影響。此外，相關人員還應在公路工程的兩側設置排水溝，以使雨水能夠快速排除，進而降低對路面結構作用效果帶來的影響。

4 邊界條件及待定系數求解

4.1 應力位移與勢函數關系

由式(3)可知，非局部-Biot應力張量與經典Biot理論應力張量滿足

即

(14)

結合式(3)、(6)及(14)，應力、位移與勢函數關系可表示為

(15)

式中：ux、uy分別為x、y方向土骨架位移；wx、wy分別為x、y方向流體相對土骨架位移；σxx、σyy、σxy分別為x、y方向正應力與切應力；Pf為孔隙水壓力.

4.2 邊界條件

考慮到地表零應力及透水特性，可將其邊界條件表示為

(16)

將式(1)和(13)分別代入式(15)，并結合式(16)可求出P波及SV波入射下勢函數的待定系數，待定系數求解方程組如下[3].

P波入射：

(17)

式中：ρ為土體密度；ρf為流體密度；m=ρf/n0，b=ηF(ξ)/k，η為流體黏滯系數，k為流體滲透系數；F(ξ)為高頻下黏性修正系數，其表達式為[18]

(18)

系數矩陣表達式見表1.

通過式(17)，并結合表1即可求出反射系數，從而可利用式(15)求解出飽和土中位移及應力表達式.

表1 系數矩陣表達式Tab.1 Expression of coefficient matrix

5 結果與討論

式中：kb為剪切波波數，滿足

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(19)

5.1 結果驗證

為驗證本文結果的合理性，將本文計算結果與Lin[3]結果進行對比(見圖2)，為此，取流體黏滯系數η=0，P波及SV波入射下，同樣水平位移(Ux)及豎向位移(Uy)分別采用kα1和kβ進行無量綱化，其余參數見文獻[3].由圖2可知，P波及SV波入射下，本文水平及豎向位移計算結果與文獻[3]結果一致，由此說明本文計算結果的正確性.

圖2 本文結果與文獻[3]結果對比曲線Fig.2 Comparison of results obtained in this paper with those in Ref.[3]

5.2 算例分析

為充分分析P波及SV波作用下飽和地基地表動力響應情況，本文選取飽和土體計算參數，見表2所示.

表2 飽和土體物理力學參數Tab.2 Physical and mechanics parameters of saturated soil

圖3、4分別為P波及SV波作用下，地表位移及應力隨非局部參數的變化曲線(入射角為30°).由圖可知，當入射頻率f=10 Hz時， 地表位移及應力隨非局部參數的增加幾乎沒有變化，而隨著入射波頻率的增加，非局部參數對地表位移及應力具有顯著的影響.如當入射波頻率達到 1 000 Hz，P波入射情況下，地表位移隨非局部參數出現增加而增大，應力隨非局部參數增加而呈現出減小的趨勢.SV波入射情況下，地表水平位移及水平應力均隨非局部參數的增加而減小，其豎向位移隨非局部參數的增加而增大.其原因是非局部參數的增加，意味著飽和土中孔隙尺寸的增大，入射頻率較低(如10 Hz)時，波長遠大于孔隙尺寸，此時孔隙尺寸對波傳播的影響可以忽略，而隨著入射波頻率(如 1 000 Hz)的增加，飽和土中波長減小，此時隨著孔隙尺寸的增加，波長與孔隙尺寸更加接近，導致孔隙尺寸對波傳播特性產生較大的影響.此外，從圖3和4中還可以看出，隨著入射波頻率的增加，地表水平位移及豎向位移的起始值逐漸增大，這是由于入射波頻率增加引起地表位移增大，而入射波頻率對地表應力起始值影響不大.

圖3 P波入射下地表位移及應力隨非局部參數的變化Fig.3 Displacement and stress of ground surface versus nonlocal parameter subjected to P wave

圖4 SV波入射下地表位移及應力隨非局部參數變化Fig.4 Displacement and stress of ground surface versus nonlocal parameter subjected to SV wave

圖5、6分別為不同非局部參數時，P波及SV波入射下，地表位移及應力隨入射波頻率變化曲線，其中P波及SV波入射角均為30°.由圖可知，當入射波頻率較低時，本文理論計算結果與經典Biot理論計算結果(τ=0.00 m)基本一致，而隨著入射波頻率的增加，本文理論計算結果與Biot理論計算結果逐漸顯現出差異.由此說明，高頻下孔隙尺寸對波傳播特性的影響不可忽略.倘若以與經典Biot理論偏差達5%為分界點，由圖可以看出，頻率分界點(與Biot理論偏差達到5%的頻率點)隨非局部參數的增大而減小.如SV波入射下，地表水平位移在非局部參數為0.06、0.08及0.10 m時，所對應的臨界頻率分別為892、672及538 Hz，其原因是非局部參數越大，其對應的飽和土孔隙越大，從而導致其對波傳播特性的影響越大.

圖5 P波入射下地表位移及應力隨入射頻率變化Fig.5 Displacement and stress of ground surface versus input frequency subjected to P wave

圖6 SV波入射下地表位移及應力隨入射頻率變化Fig.6 Displacement and stress of ground surface versus input frequency subjected to SV wave

圖7、8分別為P波及SV波作用下，地表應力及位移隨入射波入射角度的變化曲線，入射頻率為1 000 Hz.由圖可知，P波入射下，地表水平及豎向位移隨非局部參數的增加而增大，而應力隨非局部參數的增大而減小.SV波入射時，地表水平位移及應力在入射角為45° 時減小為0，這是由于SV波在45° 入射時， 在地表發生全反射，此結論與經典彈性解相同[19].在45° 之前水平位移隨非局部參數增加呈現出增加的趨勢，在此之后隨非局部參數的增加而呈現出減小趨勢.地表豎向位移隨非局部參數增加而增大.此外，圖中虛線內出現的拐點隨非局部參數增大而向左移動，這是由于非局部參數增加使得臨界角度減小所致.對比圖7、8可知，對于相同幅值的P波、SV波作用下，SV波所引起的地表響應大于P波.

為了研究生物炭添加量對土壤水分保水性能的影響，采用每天稱重的方法測得土壤每天的水分蒸發量，計算土壤水分總蒸發量，同時還對陳化2天后及自然狀態下蒸發12天的土壤含水量進行了計算，結果如圖6和圖7所示。由圖6可以看出，土壤水分日蒸發量出現上下波動現象，整體服從相似的規律。由圖7可以看出，樣品陳化2天后的含水量隨生物炭添加量的增加而增大，水分總蒸發量亦表現出相似的趨勢，但每個樣品蒸發總量相差不大，土壤最終含水量隨生物炭含量的增加而增大，即生物炭添加量越大，雖然蒸發量大，但由于土樣吸水量大，因此最終含水量還是最高。

圖7 P波入射下地表位移及應力隨入射角變化曲線Fig.7 Displacement and stress of ground surface versus incident angle subjected to P wave

圖8 SV波入射下地表位移及應力隨入射角變化Fig.8 Displacement and stress of ground surface versus incident angle subjected to SV wave

6 結論

基于非局部-Biot理論，利用波函數展開法，求解了P波和SV波作用下，飽和土地基地表響應問題的解析解.將本文解退化為經典Biot理論下無黏性解，并與文獻[3]對比，結果一致.通過算例分析研究了非局部參數、入射波頻率及入射角對地表動力響應的影響，得出如下結論：

(1) 非局部參數對地表動力響應的影響與入射波頻率有關，入射波頻率較低(10 Hz)時，本文解與經典Biot理論解基本一致，隨入射波頻率增加(如 1 000 Hz)，非局部參數對地表影響的影響較為顯著.其原因是頻率越高，波長越小，孔隙尺寸對波傳播特性的影響越大.

(2) 入射波頻率對地表響應的影響與非局部參數有關，倘若以與經典Biot偏差5%為分界點，可知非局部參數越大，頻率分界點越小.

(3) P波入射時，地表位移隨非局部參數的增大而增大，應力隨非局部參數的增大而減小.SV波入射時，地表水平位移及應力在入射角為45° 時，其值為0，這是由于SV波在45° 時發生全反射所致.此外，非局部參數通過減小SV波入射的臨界角，而使地表響應的拐點向左移動.相同幅值的P波和SV波作用下，SV波所引起的地表響應大于P波.

本文理論及研究成果可為半空間飽和土中波動問題的研究提供借鑒.