Pasternak地基降水對鄰近管線影響的解析研究

徐長節，曾怡婷，田 威，陳 明

(1. 浙江大學 濱海和城市巖土工程研究中心， 杭州 310058； 2. 華東交通大學 土木建筑 學院， 南昌 330013； 3. 杭州市水務控股集團有限公司， 杭州 310009； 4. 浙江省交通投資集團有限公司， 杭州 310000)

隨著城市地下空間開發利用規模的不斷擴大，地下工程鄰近既有地下管線的情況越來越常見[1-3].基坑開挖前往往需要展開抽水試驗及試泵試井等預降水工作來獲取水文地質參數，確保降水井在開挖施工時能達到施工降水設計要求，這會引起周邊土體及結構物的沉降變形.地下管線作為城市生命線，一旦發生事故會造成巨大的經濟損失.因此，深基坑開挖前預降水引起鄰近既有地下管線的撓曲不可忽略，準確預估變形量及分析結構受力薄弱點對地下管線的變形控制及防護至關重要.

目前，對于基坑降水引起的土體沉降及管線變形問題國內外已有較多研究.Shen等[4-7]等對不同截降水條件下水位的分布進行了現場試驗、數值模擬及解析預測.Zhang等[8]對深層承壓含水層多井抽水回灌試驗進行數值模擬，分析了地下水和地層對抽水回灌的影響.Zeng等[9-10]指出基坑開挖前預降水引起的擋墻及周邊土體變形可達厘米級.黃戡等[11]基于流固耦合理論建立三維仿真模型，分析滲流特性、基坑開挖過程、不同降水速度下基坑施工特性以及其對鄰近地鐵的影響.鄭剛等[12]進行了承壓層減壓降水對既有盾構隧道影響的有限元模擬，分析了既有隧道相對于承壓含水層不同位置時的橫斷面內力、變形及周圍土體應力場.施成華等[13]推導了基坑降水漏斗曲線方程及考慮水的滲流作用的基坑周邊土體有效應力的計算公式, 并由此導出了考慮滲流作用的基坑降水地表沉降計算公式.周念清等[14]采用三維有限差分法對基坑降水進行模擬，同時對基坑降水引起的地面沉降進行計算. Wang等[15]對某地鐵基坑降水井-隔水帷幕相互作用下的地面沉降進行了數值模擬.上述研究大多集中于基坑施工階段的開挖及降水影響，而開挖前階段的降水對管線的影響研究卻少有涉及，管線在降水作用下的空間變形響應研究則不多見.

目前理論解析方法求解管線變形常采用彈性地基梁模型.傳統的Winkler地基模型假設土體表面任意一點的應力與該點的位移成正比而與其他點的應力狀態無關，忽略了地基變形的連續性，許多學者在此基礎上提出了改良的“雙參數模型”[16].Tanahashi等[17-18]提出了基于Pasternak地基模型的二維彈性地基梁變形及受力解析計算方法.Liang等[19]通過引入Pasternak模型提出了一種簡化的分析方法來預測與鄰近開挖有關的盾構隧道行為.可文海等[20]運用修正Vlasov模型中的迭代流程計算出Pasternak模型的關鍵參數(彈性系數與剪切系數).Zhang等[21]基于Pasternak地基模型，研究了基坑降水及開挖對其下臥既有隧道的影響，然而其研究過程中未考慮降水引起管線附加荷載的空間變化.

本文針對砂土地基，采用二階段分析法，基于Pasternak彈性地基梁理論，考慮土體剪切作用，結合土的有效應力原理和Dupuit假設，考慮降水引起地基附加應力的空間變異性，推導了由單井降水引起的鄰近管線附加荷載，并進一步推導管線變形解析解.通過算例分析，研究了不同參數下管線的整體變形及受力規律，可為相關工程的管線防護提供參考.

1 基于Pasternak彈性地基梁理論的管線變形推導

如圖1所示，管線距降水井距離為d，將對稱點O視為管線中心和坐標軸原點，沿管線建立x軸，x=l處距降水井距離為r，降水影響半徑為R，D、D′為影響半徑與管線交點.圖2為相應的xOz平面內的Pasternak彈性地基梁模型，z方向為豎直向下，σ(l)為x=l處由降水引起的附加荷載.為計算降水導致的管線變形，本文基于以下假定和簡化處理：

圖1 管線及降水井平面位置Fig.1 Plane position of pipeline and dewatering well

圖2 計算模型Fig.2 Calculation model

(1) 將地下管線視為無限長的Euler-Bernoulli梁；

(2) 將地基土視為可考慮剪切剛度的Pasternak彈性地基；

(3) 土層為無限潛水各向同性均質含水砂土層；

(4) 存在影響范圍為R的補給邊界，邊界外水頭不變；

(5) 忽略管線直徑對降水的影響；

(6) 只考慮xOz平面內管線的受力和變形.

1.1 降水曲線公式

如圖3所示，初始水頭為H的無限潛水含水層中有一口半徑為r0的完整井，井管處設計降水水位為h0，經長時間定流量抽水后形成相對穩定的降水漏斗[22]，距離降水井r處水頭為h.基于Dupuit假定，等水頭面為共軸圓柱面，不同過水斷面流量與井的流量Q相等，為

圖3 潛水完整井降水曲線Fig.3 Drawdown curve during phreatic well dewatering

(1)

式中：k為滲透系數.

(2)

(h0≤h≤H,r0≤r≤R)

1.2 降水引起的有效應力增加

土體的強度和變形主要由有效應力決定，降水前后有效應力變化可根據降水后水位線與計算點相對位置分為兩種情況，如圖4所示.圖中計算點A、B埋深與初始水位的高差分別為hA、hB，降水后水位線位于A下方、B上方，埋深為h1.

圖4 降水前后有效應力計算示意圖Fig.4 Schematic diagram of effective stress calculation before and after dewatering

A點有效應力計算：

降水前，

(3)

降水后，

(4)

所以A點降水前后有效應力變化值為

(5)

B點有效應力計算：

降水前，

(6)

降水后，

(7)

所以B點降水前后有效應力變化值為

Δh(γ+γw-γs)

(8)

1.3 降水引起管線附加荷載

如圖5所示，附加荷載計算分為兩種情況，一種為降水前后水位始終位于管線上方，另一種為降水后部分水位降到管線下方，對應的附加荷載分布形式如圖6所示.

圖5 降水前后水位線沿管線長度分布Fig.5 Water level distribution along pipeline length before and after dewatering

圖6 降水后附加荷載沿管線分布Fig.6 Additional load distribution along pipeline after dewatering

(1) 降水前后水位始終位于管線上方.如圖1所示，管線上任一點x=l處與降水井距離為

(9)

則由式(8)得管線沿長度受力為

σ=Δσ′=(H-h)(γ+γw-γs)

(10)

將式(2)代入式(10)得

(γ+γw-γs)

(11)

將式(9)代入式(11)得

(γ+γw-γs)

(12)

(2) 降水后部分水位降到管線下方.管線受力分為兩部分，降水后水位位于管線上方部分受力為式(12)，由式(5)得降水后水位降到管線以下部分受力為定值：

σ=Δσ′=hA(γ+γw-γs)

(13)

當hA=H-h時，為分界點， 即

(14)

解得

(15)

綜上，降水引起管線附加荷載分布為

σ(l)=

(16)

1.4 基于Pasternak 地基模型的管線位移推導

Pasternak 地基模型地基反力和位移的關系式為[18]

(17)

式中：p為地基反力；K為地基反力系數；w為地基位移；Gp為地基切變模量.

(18)

地基反力系數K及地基切變模量Gp可按以下式取值[17，19]：

式中：vs和Es分別為土體的泊松比和彈性模量；Ht為土體剪切層厚度，取為管線直徑的2.5倍[19].

根據Euler-Bernoulli 梁理論，降水引起管線位移的控制方程為

(21)

式中：E為地下管線彈性模量；I為地下管線橫截面慣性矩；q為管線受力；b為管線直徑；σz(x)為降水引起的管線附加荷載.把式(17)代入式(21)整理得

bσz(x)

(22)

該式對應的齊次方程為

(23)

特征方程為

(24)

式中：λ為特征方程的特征根.

(25)

所以有

(26)

特征方程有兩個單重復數根，解得：

(27)

(28)

(29)

故得式(27)的通解為

w(x)=eαx(c1cosβx+c2sinβx)+

e-αx(c3cosβx+c4sinβx)

(30)

式中：c1,c2,c3,c4為4個積分常數，由于附加荷載σz(x)關于原點對稱分布，所以取x≥0進行分析求解.σz(x)不是均布力，故先求集中應力P作用下管線撓度，并利用坐標變換求得任一點在集中應力作用下的管線撓度，再通過積分求得在σz(x)作用下的管線撓度.

如圖7所示，假設x=0處作用集中應力P，當x→∞時，w(x)=0，代入式(30)可得c1=c2=0，又因為此時式(22)的一個特解為w*=0，所以σz(x)為集中應力P時式(22)的通解為

圖7 集中力作用下的管線與Pasternak地基模型Fig.7 Pipeline on Pasternak foundation model at concentrated load

w(x)=e-αx(c3cosβx+c4sinβx)

(31)

(32)

將式(31)代入(32)解得：

(33)

將式(33)代入式(31)得x=0處作用集中應力P下的撓度方程為

(34)

利用坐標變換求得任一點x=l處在集中應力σz(l)dl作用下引起的管線撓度為

(35)

積分得管線撓度方程為

(36)

式中：l1、l2為附加荷載作用范圍，分別為

(37)

2 算例驗證

為驗證本文解析方法，將計算結果與抽水試驗下鄰近管線監測結果進行對照，并與PLAXIS三維有限元數值模型計算結果進行對比分析.

試驗場地含水層厚度在20.0～26.4 m，初始水位埋深在1.3～2 m，含水層主要由砂土和粉砂土層構成，下部淤泥質粉質黏土和粉質黏土構成了潛水含水層的隔水底板，具體參數詳見表1.抽水試驗為混合穩定流抽水試驗，即將淺部粉及砂性土作為一個整體的均質含水層考慮(無限邊界)，并將抽水井模擬為淹沒濾水管井壁進水的完整井.

表1 試驗區地層參數Tab.1 Soil parameters of test area

試驗采用單孔抽水試驗方法，共計1個落程，在距現有管線10 m處設置一口試驗井，抽水井降深sw隨時間t的變化如圖8所示，降深值在較短時間內趨于穩定，穩定后抽水量為28.30 m3/h，降水深度為12 m.

圖8 抽水試驗s-t圖Fig.8 s-t curves of pumping test

如表2所示，為對比數值模擬和解析計算結果，數值模型及解析計算地層參數取用試驗土層參數加權平均的近似值，綜合滲透系數取抽水試驗實測值.管線參數如表3所示，管線采用梁單元進行模擬，地基土體采用線彈性模型.圖9為數值計算模型，模型平面取邊長為500 m的正方形，該距離超過影響半徑范圍，模型深度取60 m，為降水深度的5倍，模型

圖9 數值計算模型Fig.9 Numerical calculation model

表2 數值模擬參數Tab.2 Parameters of numerical simulation

表3 管線計算參數Tab.3 Parameters of pipeline calculation

中心設置排水線模擬降水井抽水，管線位于距降水井10 m處，模擬抽水工況時將排水線處水頭孔壓設置為-12 m，數值模型四周邊界和地表設為地下水滲流的補水邊界，模型底部為關閉地下水滲流的隔水邊界，圖10所示為模擬降水后管線豎向變形示意圖.

圖10 降水后管線豎向變形示意圖Fig.10 Schematic diagram of vertical deformation of pipeline after dewatering

用MATLAB對式(36)進行編程計算，抽水試驗、數值計算以及本文解析解得到的管線變形如圖11所示，x=0處為管線距降水井最近處.可見，三個結果在±100 m范圍內吻合較好，從而驗證了本文解析解的合理性.位移沿管線長度呈中間大兩頭小的類似于正態分布的對稱非線性分布，x=0處存在最大位移值約9 mm，可見降水引起鄰近管線位移可達厘米級，在工程中預降水帶來的影響不可忽略[23].x=0處實測變形比解析解小9%，由于Dupuit公式推導水位線時無法考慮潛水井存在滲出面，導致實際浸潤曲線高于計算曲線，這種誤差會隨著管線上計算點與降水井距離的增大而減小.超出±100 m范圍處理論計算結果偏小，主要原因在于有限元模型中沒有降水影響半徑，而理論模型中假定了一個降水影響半徑R=234 m.理論與有限元計算位移誤差小于1 mm，在合理范圍內.

圖11 解析解計算結果與數值模擬及抽水試驗結果對比Fig.11 Result comparison of analytical calculation, numerical simulation, and pumping test

3 參數分析

變形計算公式w(x)是與所受附加荷載σz(l)及地基反力系數K、參數χ及ρ有關的函數，參數χ、ρ由土體及管線剛度決定，沿管線的附加荷載σz(l)則與降深、影響半徑及管線與降水井間距等參數有關.為了研究管線在單井抽水下的受力變形規律，對這些參數進行了算例分析.

3.1 土體剪切剛度對管線受力變形的影響

以表2、3的參數為基礎，保持其他參數不變，取ρ不同值：0，0.3，0.6，0.9，代入公式得到管線豎向位移w和彎矩M沿管線的分布，如圖12、13所示.當ρ=0時，剪切剛度為0，Pasternak 彈性地基模型退化為傳統的Winkler地基模型.ρ越大，對應的土體剪切剛度越大.此外，隨著ρ增大，管線位移和彎矩都逐漸減小，其中ρ=0時的位移最大值與圖11所示抽水試驗所得管線最大位移值相差10%，誤差為ρ=0.9時的兩倍.當ρ從0變化到0.9時，彎矩最大值減小27%，說明在分析管線受力時不考慮土體剪切剛度將會引起較大誤差.比起傳統的Winkler 地基模型，Pasternak 地基模型考慮了土體在垂直方向上的實際剪切效應，管線剛度相對較小，采用Pasternak地基模型能更好地反映管線的受力及變形[16].

圖12 不同ρ下的管線位移Fig.12 Deformations of pipeline at different ρ values

圖13 不同ρ下的管線彎矩Fig.13 Bending moments of pipeline at different ρ values

3.2 降水井降水深度sw對管線受力變形的影響

為研究降水深度sw對管線受力變形的影響，在算例計算中分別取降水井降水深度sw為 4、8、12、16及20 m，得到管線豎向位移w和彎矩M沿管線的分布，如圖14、15所示.

圖14 不同降水井降水深度下的管線位移Fig.14 Deformations of pipeline at different drawdown of dewatering well

由圖14可看出，隨著sw的增大，管線最大位移從3 mm逐漸增大到11 mm，增大速率逐級減緩，管線發生位移的范圍逐漸變大，從±80 m范圍等距離發展到±400 m范圍，這是由于計算時影響半徑取值隨sw增大而線性增大，管線所受附加荷載范圍也隨之變廣.管線變形值超過最大值50%的部分集中在影響半徑值25%范圍內，超出該范圍的管線變形較小，因此工程中應對影響半徑25%范圍內的管線變形進行重點監測及保護.

由圖15可看出，管線受力主要在±50 m范圍內，在這個范圍外彎矩較小可忽略.sw從4 m增大到12 m的過程中，彎矩最大值出現在管線中心且逐漸增大.但sw從12 m增大到20 m的過程中，彎矩最大值開始減小，最大彎矩位置由中心向外偏移，出現兩個彎矩峰值，sw為16 m、20 m時的峰值分別位于±6 m、±13 m，水位線與管線相交點也分別為±6 m、±13 m位置.可見，峰值出現在水位線與管線相交點附近，降水時應對該位置進行重點保護，相交點位置可由前文式(15)計算得到或者在工程監測中得到.由于隨著sw增大，管線受到附加荷載增大，所以彎矩逐漸增大.但是當sw增大到一定值時，管線中間位置水位降到管線下方，如圖5(b)所示，該部分附加荷載將不隨sw增大而改變，而是為一定值σ=hA(γ+γw-γs)，其僅與降水前水頭及管線埋深有關，相當于原彎矩疊加了降到管線以下水位引起的附加荷載所導致的負彎矩，因此彎矩最大值反而減小并由管線中心向外偏移.

圖15 不同降水井降水深度下的管線彎矩Fig.15 Bending moments of pipeline at different drawdowns of dewatering well

可見，存在最不利降深使得管線中心彎矩最大，該降深為管線與降水曲面相切時的臨界降深，可由式(15)中l=0計算得到此時的降水井臨界降深為

(38)

當sw超過臨界降深后，管線最大彎矩將減小，且由管線中心向外偏移，出現兩個彎矩峰值，峰值位于水位線與管線相交點附近.

3.3 降水井距管線距離d對管線受力變形的影響

為研究降水井距管線距離d對管線受力變形的影響，保持其他參數與前文一致，降水深度sw固定為12 m，管線埋深z為4 m和6 m時，分別取距離d為5、10、15及20 m進行算例分析.

如圖16(a)和圖17(a)所示，管線埋深z=6 m時，當d從5 m增大到10 m時，位移最大值減小15.8%，彎矩最大值減小46.3%.可見，d對管線變形有顯著影響，d越大，管線變形越小，彎矩越小，因此在工程中降水點應盡可能遠離管線.如圖16(b)和圖17(b)所示，管線埋深z=4 m時，d較小時，管線變形隨d增大變化不明顯，d增大到一定值后，管線變形才出現減小的趨勢.彎矩有兩個峰值，對稱分布在管線兩側， 隨d增大逐漸減小且向中心靠攏并回歸為一個峰值.

圖16 降水井距管線不同距離時的管線位移Fig.16 Deformations of pipeline at different distance from dewatering well

圖17 降水井距管線不同距離時的管線彎矩Fig.17 Bending moments of pipeline at different distances from dewatering well

上述現象是由于當管線埋深較淺時，d較小時降水曲面與管線相交，部分水位降到管線以下，該部分管線所受附加荷載恒定，故d較小時管線變形基本不隨d變化，管線彎矩為兩個峰值，再次驗證了前文提出的管線與水位線相交處會出現彎矩峰值.d增大到一定值后，降水曲面位于管線上方，水位線與管線不再相交，此后附加荷載分布形式隨d變化將與管線埋深較淺時相似，管線變形及受力隨d變化將呈現圖16(a)、17(a)的趨勢.此定值可由管線與水位線恰只有一個交點計算得出，為

(39)

4 結論

為了能反映降水引起的管線附加荷載空間變化以及管-土相互作用時土體的剪切效應，本文基于 Pasternak 彈性地基梁理論推導了一種單井降水引起鄰近管線變形的解析計算方法，并通過降水試驗及數值模擬驗證其準確性.進一步對不同參數的敏感性展開了算例分析，研究了單井降水引起鄰近管線受力變形的規律及機理，得到以下結論：

(1) 降水引起的鄰近管線位移可達厘米級，可見工程中預降水對管線帶來的影響不可忽略.參數分析中，土體剪切剛度對彎矩影響可達27%，證明了在研究管-土相互作用時，土中剪力的影響不應被忽略.

(2) 管線變形范圍與影響半徑大致相等，但變形較大值分布在影響半徑25%范圍內，應對管線中心段的變形進行重點監測及保護.

(3) 管線變形和彎矩最大值隨降水井降深sw增大而增大，但存在一個臨界降深，當sw達到臨界降深后，彎矩最大值隨著sw增大而減小，由中心向外偏移，出現兩個彎矩峰值，彎矩峰值位于水位線與管線相交點附近，故對管線進行監測及保護時要注意水位線與管線相交處.

(4) 管線與降水點距離d對管線變形影響很大，降水點應盡可能遠離管線，距離降水井越遠，管線變形越小，彎矩越小.當埋深較淺且d較小時，管線彎矩有兩個峰值，但會隨著d增大逐漸減小并回歸為一個峰值.