終日學終日誤，終日誤終日學

汪慶

摘 要：學生在數(shù)學學習過程中，錯誤十分常見，屢教屢錯的現(xiàn)象亦不在少數(shù)，作為一線教師，與其嘮叨抱怨，不如思考行動。對待錯誤，既要及時糾正，更要潛心鉆研歸因分析，并采取進一步的改變措施才是亟待關注與深思的。

關鍵詞：易錯點;歸類分析;策略摸索

一、研究背景

嘗試錯誤說觀點：學習即試誤，是形成刺激與反應的聯(lián)結。而聯(lián)結就是某情境只能引起相應反應，而不能喚醒其他反應的傾向。終日學終日誤，終日誤終日學，前者反映了錯誤的常態(tài)性，學生的學習便是從無到有，從知之甚少到知之甚多，在此間錯誤實屬正常，無須嚴苛強求。正如人們對自然、社會的認識無不是一個從認識到實踐再到認識的不斷反復，是出錯、糾錯、改錯，不斷調(diào)整與內(nèi)化的過程。盡管錯誤難免，但也絕不提倡錯誤。錯誤猶如一種引力，每一種挫折或不利的突變，同時還帶著同樣或更大的有利種子。即在錯誤中不斷反思前行，讓有利的種子開花結果、絢爛多姿才是我們的不斷追求。

學生在數(shù)學學習過程中，錯誤十分常見，作為一線教師，對待錯誤，既要及時糾正，更要潛心鉆研歸因分析，并采取進一步的改變措施。

二、歸類分析

（一）混淆點

在教學過程中，我們經(jīng)常會有感覺：如果是全新的、完全陌生的內(nèi)容可能掌握相對較好，反而是經(jīng)驗性的知識、相近知識的學習不盡如人意。這種狀態(tài)便是心理學上所謂的前攝抑制，即由于對原有知識的理解不充分，進而導致對相近新內(nèi)容的學習造成一定干擾與影響，而這種干擾也是產(chǎn)生錯誤的主要原因之一。當然，后攝抑制的影響也時有存在。

1.“式”與“式”

浙教版七年級下冊，異分母分式加減運算與分式方程是前后緊挨著的兩個課時，編寫者也是出于兩者聯(lián)系緊密的考慮，可學生的表現(xiàn)卻讓教師無法預料。教師可能會預設公因式與公分母混淆，畢竟前者是系數(shù)的最大公約數(shù)，相同字母的最低次冪，后者則是系數(shù)的最小公倍數(shù)，相同字母的最高次冪。可預設與生成卻不同，混淆這兩者的學生人數(shù)還算一般，反而通分與分式方程去分母卻產(chǎn)生了一定的問題。新學異分母分式相加減時不成問題，學習分式方程時，部分學生卻是先通分而不是直接去分母，這也能理解。但之后再解異分母分式加減時，卻出現(xiàn)較多學生丟分母現(xiàn)象，是對分式基本性質(zhì)與等式基本性質(zhì)的混淆，其實同七年級上冊解分母中含有小數(shù)的一元一次方程時多乘少乘問題實質(zhì)是一樣的。其次，到八年級的求形如3x2-6x+1的最小值與用配方法解3x2-6x+1=0時，是提出3還是等式兩邊同時除以3相混淆，再到推導一元二次方程的求根公式與二次函數(shù)圖象頂點坐標，都會產(chǎn)生一系列的連帶影響。因此，在最初接觸的時候，必須強化正確的理解。學生在出現(xiàn)此類問題時，本人也嘗試著做些形象的比方，可能還不是很合理與規(guī)范，但也是一種嘗試。將丟分母比喻成了脫褲子，只有有簾子（等號）才能丟，否則不雅。或者用具體的例子：2/3-1/3=2-1嗎？1/3=1嗎？那么學生在遲疑之時就會激起這些特殊例子的記憶，從而做出正確的決定。從本質(zhì)而言，上述問題都是對代數(shù)式與等式的混淆。在初解一元一次方程時，部分學生出現(xiàn)“=5x-3x=5+7”雙等號的現(xiàn)象便是一種問題反映。算式表示的一個結果，等式卻反映兩個量之間相等的關系，兩個等號之間有差別，務必讓學生從本質(zhì)上進行理解與掌握，減少相互抑制，不斷循環(huán)反復。

2.“一”與“全”

說明一個命題是假命題，我們只要舉一個反例即可，但可能由于受小學枚舉法等思維不夠嚴密的影響，學生在證明一個真命題時，也同樣會以一個或幾個符合為判斷依據(jù)而認為結論的正確性?！耙弧笔欠褡銐蜃C明，學生對此產(chǎn)生了混淆。比如：nn+1與（n+1）n（n為正整數(shù)）的大小比較時，學生往往會舉最簡單的n=1，2的情況，以此判斷后者大，以偏概全，殊不知從n=3開始，結論已發(fā)生了改變，即使舉再多的例子也并不能代表全部，畢竟此題中n為正整數(shù)，無限多，因此歸納推理或者小學中經(jīng)常使用的實驗操作（證明三角形三內(nèi)角和等于180度時用剪、拼或折疊的方法）等都需要更為嚴謹?shù)耐评磉^程才能證明真命題，這是必須要強化的觀念，畢竟數(shù)學是一門邏輯性、嚴密性很強的學科。

在思維的固定性方面，既然“一”不能代表全部來證明真命題，學生也就將考試時用特殊值法快速解答選擇填空的技巧給自然地丟棄在了一邊，這便是一種極端，其實很多時候，特殊值巧解不失為一個又快又準確的好方法。比例中，2∶a=3∶b=4∶c求相關代數(shù)式的值的時候或者當0

但特殊值也有它的不利性，可能是一種思維的限制，如下2016蕭山二模卷。

如圖，直角坐標系xOy中，正方形OABC的邊AB與反比例函數(shù)y=1/x（x>0）的圖象交于點D，且AD∶DB=1∶8，則：

（1）點D的坐標為_______________________;

（2）設P是反比例函數(shù)圖象上的動點，則線段PB長度的最小值是______________________。

第二問中，大部分學生最初的猜測可能就是：當P點在對角線OB與反比例函數(shù)交點處取到最小值，這便是一種思維上的定式。在教學中，學會兩面看問題，學會全面看問題，既不拘泥刻板，又不乏靈動新奇，具體問題具體對待。

3.“大”與“小”

很多學生由于對相近或者屬于特殊與一般關系的兩個概念分不清導致一些錯誤，如關于x的方程rx2-（2r+7）x+r+7=0根是正整數(shù)，則整數(shù)r可以是？這題學生初感知就是一元二次方程，可能部分研究會認為這是對一元二次方程概念不清導致的錯誤，而本文認為從某種角度來分析，也是對方程與一元二次方程概念的區(qū)分度不清。方程沒說是什么方程，就要分情況討論了。此類錯誤我會讓學生將方程二字圈起來，以顯警示。另外也可以做一些類似的延伸：一次函數(shù)與直線的區(qū)別，直線的解析式不一定都是一次函數(shù)形式。數(shù)軸與直線（數(shù)軸是直線，但直線不一定是數(shù)軸），自然數(shù)與整數(shù)，范疇上大小關系的題目均可以嘗試用辨析題，讓學生判別分析哪個才是正確，學生既能提高聽課注意力的集中程度，又能加深對此類范疇有大小之別題型的理解與掌握。如一次函數(shù)y=kx+b的圖象不經(jīng)過第三象限，學生只知普通的一次函數(shù)，卻丟了特殊的正比例函數(shù)，十分普遍。

（二）忽略點

1.忽視成立的附加條件

對此，教師其實還是可以做到提前預設，在課堂教學中通過游戲辨析、反例分析等方法強化條件的重要性和必要性，及時消滅錯誤的萌芽。

2.忽視過程中的隱含點

如果說上述定義性質(zhì)等成立的條件還能被部分學生關注，那么過程中的條件可能就沒那么輕易被留心了，畢竟其“深藏不漏”，考查的能力也會更全面。

韋達定理與求根公式有著緊密的聯(lián)系，在推導求根公式時，是在當b2-4ac≥0的前提下，才能推導得出兩根之和與兩根之積的，雖然工具性理解（知道法則但不知緣由和來龍去脈）似乎從表象上看更直接，更快捷，但終究只是表象，只有知其然且知其所以然才能培養(yǎng)學生的問題意識，積累活動經(jīng)驗，促進數(shù)學能力的發(fā)展。在教學過程中，重訓練輕算理，重結果輕過程，肯定是機械化與目光短淺，是絕不可取的。又如，

這是一個屢考屢錯的題目，大部分學生對2基本能認定它不可代入，但在化簡過程中新出現(xiàn)的分母（a+3）（a-3）卻極易忽略，而導致認為可將3代入，這便是在解答過程中對新增加的某些限制條件的忽視導致的常規(guī)錯誤。有些隱含的條件表面上看起來可有可無，然則至關重要，為引起學生的警覺與重視，防止學生思考的片面性和表面化，可列出一些反例，既強調(diào)了不容忽視，十分重要，又訓練了思維的批判性與深刻性。數(shù)學是一門考查細節(jié)的學科，在諸多的陷阱中能不被深陷才是能力與實力的體現(xiàn)。

（三）易多易少點

如果一個命題的條件或者結論（大部分是條件不確定）難以統(tǒng)一解答，就需逐一加以討論，最后再進行整合歸納出正確的結論，這便是分類討論。要注意幾個問題：1.什么時候要分類，即條件中的不確定而分類，幾何中往往體現(xiàn)在位置的不確定上，常見的如已知線段AB長為7cm，點C在直線AB上，且AC=3cm，求BC的長度。由于點C位置的不確定性，可能是A的左邊或右邊3cm處，導致結果的多樣性。而代數(shù)中難點往往集中在絕對值、平方根這些區(qū)塊。關于平方根，由于概念與表示上的抽象化，學生在理解上存在著相當大的困難。對此，本人也嘗試用一些雖不規(guī)范但通俗易懂的話語以便學生理解。原數(shù)認為是老王，它的兩個平方根，當作是老王的兩個兒子——大王和小王。學生經(jīng)常會丟負的那個平方根，可否嘗試：老王有兩個兒子，如果老王的兒子是大王，那小王不是覺得委屈了嗎？這樣在解決：4的平方根是2，2是4的平方根上就能辨別孰對孰錯了。2.注意分類標準的統(tǒng)一性，不漏不重。3.分類討論中最易忽視討論之后的檢驗或舍去的環(huán)節(jié)。如，一元二次方程中的“為了使顧客得到優(yōu)惠”，隱含條件Δ，分式方程增根問題，等。因而一定要嚴謹、周密，既不能丟解，也不能多解。

分類討論對思維的嚴謹性要求很高，討論煩瑣，另一方面，也不能一見參數(shù)便討論，還是有必要從不同角度入手，能簡化或回避分類討論自然是更好，更簡便。如二次函數(shù)，用水平寬鉛垂高求三角形面積時，表示某些垂直于x軸的線段就無須根據(jù)點的位置再作圖分情況，直接加絕對值即可，如此省去煩瑣的思索與書寫過程。

（四）難記難解點

數(shù)學雖重邏輯與過程，但也不乏在理解基礎上的記憶部分。如一些概念、因式分解，很大一部分學生對此難以準確地表述。對此，除了要加強對概念的本質(zhì)屬性通過與小學分解質(zhì)因數(shù)類比并準確歸納之外，也需適當記憶，為方便，也可嘗試簡化為：因式分解即多項式=整式×整式。又如相交線的概念前提：在同一平面內(nèi)。可舉教室內(nèi)現(xiàn)成線段作為反例，通過實物，加強印象。同時也可以對初中階段需加此條件的性質(zhì)等作一整理，以便整體串聯(lián)記憶。又如，在平面直角坐標系中概念較多，可否借助學生的座位，以教師或某個學生的位置為原點，提問橫軸、縱軸上或每個象限內(nèi)的學生情況，特別要注意一些易錯點，坐標軸上的點不屬于任何象限等。如此，既能活躍課堂氣氛，集中學生注意力，讓學生在活動中提高數(shù)學學習的興趣，又能通過活動加深學生對易混淆知識點的掌握。

教學難點，往往超出了學生的理解范圍，受其認知、智力因素等影響。分式方程中的增根無解的問題就是學生深感困難的一塊內(nèi)容。摸索著能否：相同點是都需要先將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，區(qū)別是

增根：有根，只是這個根是分式無意義的根，注意增根可能不止一個。

如文科班進行兩者關鍵信息提煉，可能更好理解些。

三、摸索策略

（一）專項練習

針對上述的易錯點，即使教師在教學前提前干預，盡量減少學生刻板印象，也肯定不可能完全避免混淆與錯誤。因而，在出現(xiàn)群體性的問題之后，教師可臨時再追加一些微專題或微課，內(nèi)容可以多樣化。畢竟此種練習針對性強，時效性好，細致性分明，還可重復。課內(nèi)與課外相結合，突出重點，突破難點上，微專題等發(fā)揮著課堂教學所不可替代的作用，尤其是在當前所處的大背景下。以年級組或教研組為單位創(chuàng)辦微信公眾平臺，集教師的智慧和力量，及時更新同進度的相關內(nèi)容，可以是每日一題或微視頻講解或題組變式提升，學生可針對自身的問題，不懂的隨時聽，不明白的反復聽，便能有效擺脫學習時空的限制，大大提高學習效率。

比方說，對二次根式有意義這一知識點可出示如下訓練。

涉及內(nèi)容相對全面，難度也層層遞進。二次根式的大小比較方法上也可適當延伸取倒數(shù)法、平方法等，因材施教，不過高要求，也不過于保守，把好教學延伸的“度”，決不能讓專題成為增加學業(yè)負擔的另一形式。

（二）助力圈畫

對于分情況討論中備用圖的使用，絕大部分學生很不上心，范圍、圖形、方程，檢驗是很常規(guī)的過程，教師還需不斷引導并給他們充足的時間思考與作圖。草稿也需保證清晰、明白，在狹小的區(qū)域畫圖或打草稿很容易由于不清晰造成的錯誤或思維阻隔。逐漸規(guī)范細節(jié)才能盡可能減少錯誤的產(chǎn)生。

（三）構建網(wǎng)架

系統(tǒng)論認為：系統(tǒng)地組織起來的材料能提供的信息遠大于各部分材料信息之和。創(chuàng)造心理學也表明：新的發(fā)明創(chuàng)造主要取決于整體性認知框架的轉(zhuǎn)化。而數(shù)學的生命力就在于各個部分的內(nèi)在聯(lián)系。從引入負數(shù)，完成有理數(shù)，實數(shù)數(shù)系的擴充，圍繞字母表示數(shù)展開到方程、不等式，函數(shù)以及之間的數(shù)形結合，無不體現(xiàn)其較強的邏輯結構與順序。

但學生在每個課時中學到的內(nèi)容往往是零散的，如以網(wǎng)絡結構形式存于大腦，便是將內(nèi)容學習經(jīng)歷從厚到薄的過程，也便于隨時提取相關的聯(lián)動信息，有助于把握數(shù)學的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系。比如：

柱體—直棱柱—直四棱柱—長方體—立方體，并附加需要添加的條件。平行四邊形、矩形、菱形、正方形都從邊角對角線、對稱性四維度探究性質(zhì)，也有多個相應的判定方法，可引導學生形成一張表格，形成體系，那么八下最后四五兩章節(jié)的內(nèi)容便濃縮成了一張表格，直觀、簡潔、明了。

七上一、二、三章內(nèi)容有易混淆的，如：絕對值，倒數(shù)，相反數(shù)，平方根，算術平方根，立方根，它們本身的分別是哪些，可整理成區(qū)塊，也可嘗試數(shù)學作文內(nèi)化成體系，如題為“0的特殊性”文章，學生大膽嘗試所有相關內(nèi)容，教師給予適當點評并補充。

（四）錯題利用

逐漸培養(yǎng)學生易錯題等進行整理分類的習慣，并不斷補充完善，定期查閱，學會交流，盡量避免二次錯誤。教師也可以將學生錯題為例題引入，加強對其的深入認識。亦可鼓勵家長充分利用手機App、打印機等設備，將錯題收集后可提取成冊，或組卷分享練習，監(jiān)督掌握情況。

錯題集能一定程度上保證學生對自我的認識評價，使他們從學會到會學，會一題通一類，有效幫助學生脫離題海戰(zhàn)術苦海，通過開展針對性錯題復習回顧，少做，精做，真正意義上實現(xiàn)適當減負。

（五）品質(zhì)培養(yǎng)

質(zhì)疑能力是善于發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，學起于思，思源于疑，潛心鉆研，丟棄浮躁，增強抗挫力做打不死的小強，鼓勵學生敢問，敢說，敢思，敢想。社會的快節(jié)奏，也使學生普遍浮躁，各種網(wǎng)絡的搜題等應用程序，能快速知曉答案，懶惰變得越來越強大，更給學生的靜心思索帶來嚴峻考驗。

培養(yǎng)數(shù)學意志，才能用大腦控制并調(diào)節(jié)行動，讓行動向有利的方向前行。部分學生往往看到數(shù)學題目一長就立馬心浮氣躁，只要是分類討論的，便立馬不求全部解答，倒地投降，完全缺乏攻破它的意志力。加強同伴與教師影響力，讓共同進步、一起探索的氛圍感染個體心間，提高數(shù)學學習的興趣和信心，讓思維之花逐漸絢爛多彩，是我們不斷的追求。

本研究還是具體實例較多，普遍性的策略可能還留于表面，還有待進一步地深入和探討，尚處于摸索階段，有待各位專家學者批評指正。

總之，學生的錯誤由多重因素影響導致，根據(jù)學生出現(xiàn)的不同錯誤，變錯為寶，讓錯誤成為正確不可或缺的資源，在錯誤中反思調(diào)整，靜待花開，撥云見日，即使絕非一朝一夕可得，但仍要堅信厚積薄發(fā)，量變到質(zhì)變。

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