引領學生學習小結，提升學生解題能力

江蘇豐縣民族中學 王艷菊

華羅庚先生在對中學生談學習方法時說：讀一本書，第一遍時，應當由薄到厚，這是因為第一遍閱讀時做了眉批，寫了心得，甚至寫在小紙條上夾在書里，所以厚了，以后再讀第二遍、第三遍……在融會貫通的過程中，書讀到后來就會越來越薄。這也告訴我們，在學習知識的過程中，要勤于動腦思考、善于總結反思，一旦理解了知識的內在聯系，把知識內化吸收后，深刻地留在記憶中，那么我們研究的問題也會迎刃而解。

教學也是這樣，有經驗的教師總會引導學生對本節課所學的知識、涉及的思想方法等進行小結，這樣不僅能讓學生對本節課所學的概念、例題、習題、定理等基礎知識、基本內容、基本方法有更深的理解，同時有利于學生形成自己的知識體系，培養良好的數學素養，而且能使課堂教學更簡潔、有效。同樣，教師通過對學生的學法指導可以有效提高學生的數學素養。在日常的課堂教學中，教師要時時注意引導學生對所學的知識進行歸納小結，通過對各類知識的小結，讓學生對所學的新識與已有的知識之間進行比對分析，尋找知識間的區別與聯系。對于共性的知識，找出統一性規律，加以理解深化，剖析個性的知識，找出其中的不同點加以區別，深化認識，避免解題時混淆出錯。這樣不僅使學生鞏固了所學的舊知識，而且也使學生對新知識有了更深層的認識，促進了知識的融會貫通、和諧統一，達到事半功倍的教學效果。

教學過程中，教師如何引導學生進行知識小結呢？一般情況，學生對知識的總結包含兩個方面：一是對所學知識的概念、定理、命題等的小結，二是對知識的應用方面的總結。

一、引導學生對所學內容進行小結，鞏固對基礎知識的掌握

當一天的新課教學結束后，教師要引導學生進行小結，而小結應該在處理完相應的配套練習后效果更好。現實是許多教師建議學生在做作業前，先復習教師所講的內容，我認為這種做法有值得商議的地方，這是因為當學生打開課本或筆記復習時，掩蓋了在聽課時不會的地方。正確的做法是學生在做作業之前，不要打開課本或課堂筆記復習教師在課堂中所講的內容，而是先回憶教師課堂上講的內容，通過練習加以鞏固，在解決練習的過程中看是否遇到困難，思考、研究如何利用所學的知識解決這些困難，最后對今天所學的內容進行小結。

學生每天對所學知識進行小結，有助于學生對數學概念、基本知識本源的理解。在日常教學過程中，教師會發現許多學生對概念、基本知識的記憶、背誦等方面非常好，但是在具體解決問題方面卻不會運用。數學來源于生活，也一定服務于生活。在解決問題的時候，一部分學生把數學方程式與它表示的含義分割開來，從而造成學生在解題中的困難，甚至解決不了。通過小結，學生加深對數學知識與幾何意義的聯系的理解，便于學生利用概念、數形結合思想解決問題。

二、每章小結有助于學生系統性把握知識，理解知識的內在結構

數學教材中的每個章節的知識結構是一個整體，每個章節的內在知識之間存在著系統性的聯系。當每章學習結束后，許多教師往往通過讓學生做大量的習題來鞏固所學的知識。誠然，通過做大量的習題可鞏固所學的知識，還可提高學生解決問題的能力，但是教師發現：學生解題能力的提高與投入的時間與精力并不是成正比，同時，在思考的深度、知識的理解與掌握方面并不理想。事實證明，教師通過鼓勵學生對所學章節知識進行總結，可以幫助學生從整體框架下認識知識間的聯系，實現教學效益最大化。

學生對章節內容進行小結主要包括本章的基本知識，涉及的公理、定理、性質，試題歸類，解題思想歸類，本章知識與已學知識間的聯系與區別。

案例2：下面是學生在《數列》章節學習結束后，學生對本章內容的小結（部分）。

（1）利用這種關系，已知Sn=f（n），求an時，注意n=1，n≥2這兩種情況的討論。

（2）an與Sn的互化：an=Sn-Sn-1（n≥2）。

特別地，對于數列{an}與前n項和Sn=an2+bn+c，當c=0時，數列{an}為等差數列，當c≠0時，則數列{an}僅從第2項開始為等差數列。

2.常見題型分類。

（1）證明題：①證明數列是等差（比）數列的方法，一般有定義法、中項法、通項公式法。②證明數列的增減性的常用方法一般有作差法、構造函數法等。

（2）求值題：利用等差或等比數列的基本量求其通項、前n項和及特殊項等。

（3）求最值：最常利用數列的單調性求最值。對于等差數列前n項和Sn的最大（最小）值問題，可以通過在等差數列{an}中：

（4）應用題：建立數列模型解決數學問題或解決實際問題。

3.常用數學思想方法。

（1）數列是一種函數（離散型），項的序號是它的自變量，項是它的函數值，在解決問題時，可利用函數思想、數形結合思想來解決。

（2）在等差、等比數列中，有a1，an，d，q，Sn這5個基本量，在解決問題時，如果要把5個量都求出來，只要在已知條件中分析出3個量，列出方程即可求解。

（3）涉及等比數列的前n項和Sn時，切記要對公比q進行討論，否則會使問題考慮不全面，體現了分類討論的思想。

（4）遞推數列求通項的方法有：①利用an與Sn的關系求an。②累加法（例如求等差數列通項）。③累乘法（例如求等比數列通項）。④待定系數法（例如求形如an+1=αan+β（α≠0，1，β≠1）。對一些不容易求數列的通項公式，要學會將其轉化為我們常見的類型，再解決問題。

（5）數列求和的基本方法有：公式法、錯位相減法、分組求和法、裂項相消法、并項求和法、倒序相加法等。在進行數列求和時，關鍵是分析通項an的特點。有些數列求和問題不能直接利用等差、等比數列求和公式時，要學會轉化的方法。

三、解題規律的總結，有助于學生尋找解決問題的最佳策略

教育家孫維剛教師說過：一支好箭拿在手里搓來搓去，贊曰“好箭、好箭”，并不把它射出去，再好的箭也沒有任何好處。好的解題規律正如一把好箭，應該來源于實踐，也應該在指導學生解決問題中顯示其強大的威力。當學生解決完一道或幾道試題后，教師應該引導學生對解決的問題進行反思小結：解決問題的方法是隨時想到的，還是在總結解決問題的規律的基礎上得到的？此題是否還有解決問題的方法和思路？如果有新的解決問題的方法、規律，應把它記下來。這是因為解決問題的方法一般不是唯一的，我們必須在解決問題的過程中進行總結、完善、提煉、升華。通過這些方法，就會使學生在解題時形成清晰透徹的解題思路，使學生在解決問題時有法可依、有規可循，從而提高解決問題的效率。

此題中，點B，F的坐標易表示出來，通過條件，點A的坐標容易求出來，再利用點在橢圓上，即可求得橢圓的離心率。解題規律總結：如果在條件中涉及的三個點中有兩個點的坐標是已知的，利用相關方法求出第三個點的坐標，代入曲線方程即可解決問題。

（1）求橢圓C的離心率；

總之，好的總結不但能使學生對所學知識掌握得更加牢固，而且能使學生更全面、深刻地認識所學的知識。教師長期堅持讓學生對所學的內容進行小結，學生在解決問題時自然想到優化解決問題的方法，從而提升了學生的數學運算能力，推動學生數學素養的形成。